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定义#xff1a;前缀和数组#xff08;Prefix Sum Array#xff09;是一个数组#xff0c;它存储了原数组#xff08;或序列#xff09;的连续子数组之和。对于一个给定的数组 nums#xff0c;其前缀和数组 cumulativeSum 的第 i 个元素 cumulativeSum[…一、基本概念
定义前缀和数组Prefix Sum Array是一个数组它存储了原数组或序列的连续子数组之和。对于一个给定的数组 nums其前缀和数组 cumulativeSum 的第 i 个元素 cumulativeSum[i] 表示 nums 从第一个元素到第 i 个元素的累加和。
表示累加和前缀和数组的计算公式可以表示为 cumulativeSum[i] cumulativeSum[i - 1] nums[i - 1]其中 cumulativeSum[0] 通常初始化为 0以便于计算。
二、构造方法
初始化在构造前缀和数组时首先需要创建一个长度比原数组 nums 多一个元素的新数组 cumulativeSum。这样做是为了简化边界条件的处理特别是当需要计算从第一个元素开始的子区间和时。
遍历更新通过遍历原数组 nums我们可以逐个计算前缀和数组的元素。这个过程可以表示为一个循环从 i 1 遍历到 nums.length每次更新 cumulativeSum[i] 的值为 cumulativeSum[i - 1] 加上 nums[i - 1]。
三、查询操作
快速计算给定一个闭区间 [left, right]我们可以通过以下公式快速计算该区间的累加和
sum cumulativeSum[end 1] - cumulativeSum[start]这里end 1 是为了包含 end 索引的元素在内因为前缀和数组的索引是从 1 开始的。
时间复杂度查询操作的时间复杂度是 O(1)因为一旦前缀和数组被构造出来任何区间和的查询都可以直接通过数组索引完成无需再次遍历原数组。
四、应用场景
区间查询在处理需要频繁查询区间和的问题时前缀和数组非常有用。例如在一个数据流应用中你可能需要快速回答“到目前为止总共有多少数据量”前缀和数组可以立即给出答案。
动态规划在动态规划问题中前缀和数组可以用来优化状态转移特别是在涉及到区间和计算的问题如最长递增子序列、最小子树和等。
五、优化和变种
优化技巧在某些情况下我们可以优化前缀和数组的构造过程。例如如果原数组是有序的我们可以利用二分查找来加速更新过程。
变种前缀和数组的概念可以扩展到多维。例如在二维数组中我们可以构造一个二维前缀和数组用于快速计算矩形区域的和后续内容。
六、代码实现
public class CumulativeSumCalculator {// 累积和数组private int[] cumulativeSum;// 初始化累积和数组public CumulativeSumCalculator(int[] nums) {// 初始化累积和数组第一个元素为0cumulativeSum new int[nums.length 1];// 计算累积和for (int index 1; index nums.length; index) {cumulativeSum[index] cumulativeSum[index - 1] inputArray[index - 1];}}// 查询指定区间的累积和public int querySum(int start, int end) {// 返回区间 [start, end] 的累积和return cumulativeSum[end 1] - cumulativeSum[start];}
}
