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线性代数基础概念#xff1a;行列式
1. 行列式的定义
1.1 递归定义
1.2 代数余子式定义
1.3 几何定义
2. 行列式的性质
2.1 行列式等于其转置的行列式
2.2 交换两行或两列#xff0c;行列式变号
2.3 将一行或一列乘以一个数 k#xff0c;行列式乘以 k
2.4 将…目录
线性代数基础概念行列式
1. 行列式的定义
1.1 递归定义
1.2 代数余子式定义
1.3 几何定义
2. 行列式的性质
2.1 行列式等于其转置的行列式
2.2 交换两行或两列行列式变号
2.3 将一行或一列乘以一个数 k行列式乘以 k
2.4 将一行或一列加上另一行或列的倍数行列式不变
2.5 行列式为 0 的充要条件是矩阵不可逆
2.6 行列式的乘法性质
3. 行列式的计算方法
3.1 展开式
3.2 初等变换
3.3 代数余子式
4. 行列式的应用
4.1 判断矩阵是否可逆
4.2 求解线性方程组
4.3 计算向量空间的体积
4.4 特征值与特征向量
5. 行列式总结
总结 线性代数基础概念行列式 行列式是线性代数中一个重要的概念它与矩阵密切相关可以用来判断矩阵是否可逆、求解线性方程组、计算向量空间的体积等。 1. 行列式的定义 行列式 是一个将方阵映射到一个数的函数它反映了矩阵的某些性质例如矩阵的可逆性。 对于一个 n 阶方阵 A它的行列式记为 det(A) 或 |A|。 行列式的定义可以通过以下几种方式给出 1.1 递归定义 1 阶矩阵的行列式 对于 1 阶矩阵 A [a]它的行列式就是它唯一的元素即 det(A) a。n 阶矩阵的行列式 对于 n 阶矩阵 A它的行列式可以通过展开它的第一行或第一列来计算。 展开第一行 det(A) a11 * A11 - a12 * A12 a13 * A13 - ... (-1)^(n1) * a1n * A1n展开第一列 det(A) a11 * A11 - a21 * A21 a31 * A31 - ... (-1)^(n1) * an1 * An1其中Aij 是矩阵 A 中第 i 行第 j 列元素的代数余子式它等于矩阵 A 去掉第 i 行第 j 列后得到的 (n-1) 阶矩阵的行列式并乘以 (-1)^(ij)。 例如 A [ 1 2 3 ][ 4 5 6 ][ 7 8 9 ]展开第一行计算行列式 det(A) 1 * | 5 6 | - 2 * | 4 6 | 3 * | 4 5 | 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) 3 * (4*8 - 5*7) 01.2 代数余子式定义 对于一个 n 阶矩阵 A它的行列式可以表示为它的所有元素的代数余子式的线性组合。 det(A) a11 * A11 a12 * A12 ... a1n * A1n其中Aij 是矩阵 A 中第 i 行第 j 列元素的代数余子式。 例如 A [ 1 2 3 ][ 4 5 6 ][ 7 8 9 ]根据代数余子式定义计算行列式 det(A) 1 * | 5 6 | - 2 * | 4 6 | 3 * | 4 5 | 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) 3 * (4*8 - 5*7) 01.3 几何定义 对于一个 n 阶矩阵 A它的行列式可以表示为由矩阵 A 的列向量所张成的平行多面体的体积。 例如 2 阶矩阵 由矩阵 A 的两个列向量所张成的平行四边形的面积等于 det(A)。3 阶矩阵 由矩阵 A 的三个列向量所张成的平行六面体的体积等于 det(A)。 几何定义可以帮助我们理解行列式的几何意义它反映了矩阵变换对空间的缩放比例。 2. 行列式的性质 行列式具有以下重要性质 2.1 行列式等于其转置的行列式 det(A) det(AT)例如 A [ 1 2 ][ 3 4 ]AT [ 1 3 ][ 2 4 ]det(A) 1*4 - 2*3 -2
det(AT) 1*4 - 3*2 -22.2 交换两行或两列行列式变号 det(A) -det(B)其中 B 是由 A 交换两行或两列得到的矩阵。 例如 A [ 1 2 ][ 3 4 ]B [ 3 4 ][ 1 2 ]det(A) 1*4 - 2*3 -2
det(B) 3*2 - 4*1 22.3 将一行或一列乘以一个数 k行列式乘以 k det(kA) k det(A)例如 A [ 1 2 ][ 3 4 ]2A [ 2 4 ][ 6 8 ]det(A) 1*4 - 2*3 -2
det(2A) 2*8 - 4*6 -42.4 将一行或一列加上另一行或列的倍数行列式不变 det(A) det(B)其中 B 是由 A 将一行或一列加上另一行或列的倍数得到的矩阵。 例如 A [ 1 2 ][ 3 4 ]B [ 1 2 ][ 32*1 42*2 ] [ 1 2 ][ 5 8 ]det(A) 1*4 - 2*3 -2
det(B) 1*8 - 2*5 -22.5 行列式为 0 的充要条件是矩阵不可逆 det(A) 0 当且仅当 A 不可逆例如 A [ 1 2 ][ 2 4 ]det(A) 1*4 - 2*2 0矩阵 A 不可逆因为它的行列式为 0。 2.6 行列式的乘法性质 det(AB) det(A) det(B)例如 A [ 1 2 ][ 3 4 ]B [ 5 6 ][ 7 8 ]det(A) 1*4 - 2*3 -2
det(B) 5*8 - 6*7 -2
det(AB) det(A) det(B) (-2) * (-2) 43. 行列式的计算方法 3.1 展开式 通过展开行列式的第一行或第一列来计算行列式。 例如 A [ 1 2 3 ][ 4 5 6 ][ 7 8 9 ]展开第一行计算行列式 det(A) 1 * | 5 6 | - 2 * | 4 6 | 3 * | 4 5 | 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) 3 * (4*8 - 5*7) 03.2 初等变换 通过对矩阵进行初等变换将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵然后计算行列式。 例如 A [ 1 2 3 ][ 4 5 6 ][ 7 8 9 ]对矩阵 A 进行初等变换将矩阵化为上三角矩阵 [ 1 2 3 ]
[ 0 -3 -6 ]
[ 0 0 0 ]上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积因此 det(A) 1 * (-3) * 0 0。 3.3 代数余子式 通过计算矩阵的代数余子式来计算行列式。 例如 A [ 1 2 3 ][ 4 5 6 ][ 7 8 9 ]根据代数余子式定义计算行列式 det(A) 1 * | 5 6 | - 2 * | 4 6 | 3 * | 4 5 | 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) 3 * (4*8 - 5*7) 04. 行列式的应用 4.1 判断矩阵是否可逆 det(A) 0 当且仅当 A 不可逆。 例如 A [ 1 2 ][ 2 4 ]det(A) 1*4 - 2*2 0矩阵 A 不可逆因为它的行列式为 0。 4.2 求解线性方程组 克莱姆法则可以用行列式来求解线性方程组。 例如 x 2y 5
2x 4y 10将方程组写成矩阵形式 [ 1 2 ] [ x ] [ 5 ]
[ 2 4 ] [ y ] [ 10 ]根据克莱姆法则方程组的解为 x det(Ax) / det(A)
y det(Ay) / det(A)其中Ax 是将方程组的系数矩阵 A 的第一列替换为常数向量 [5, 10] 得到的矩阵Ay 是将方程组的系数矩阵 A 的第二列替换为常数向量 [5, 10] 得到的矩阵。 Ax [ 5 2 ][ 10 4 ]Ay [ 1 5 ][ 2 10 ]det(A) 1*4 - 2*2 0
det(Ax) 5*4 - 2*10 0
det(Ay) 1*10 - 5*2 0由于 det(A) 0因此方程组无解。 4.3 计算向量空间的体积 由矩阵 A 的列向量所张成的平行多面体的体积等于 det(A)。 例如 A [ 1 2 ][ 3 4 ]由矩阵 A 的两个列向量所张成的平行四边形的面积等于 det(A) 14 - 23 -2。 4.4 特征值与特征向量 行列式可以用来计算矩阵的特征值。 特征值 是一个数它满足以下方程 Ax λx其中 A 是一个矩阵x 是一个非零向量λ 是一个数。 特征向量 是一个非零向量 x它满足上述方程。 为了求解矩阵 A 的特征值我们可以将上述方程改写为 (A - λI)x 0其中 I 是单位矩阵。 为了使方程有非零解矩阵 (A - λI) 的行列式必须为 0 det(A - λI) 0这个方程被称为特征方程它的解就是矩阵 A 的特征值。 例如 A [ 2 1 ][ 1 2 ]求解矩阵 A 的特征值 det(A - λI) det([ 2-λ 1 ][ 1 2-λ ]) (2-λ)^2 - 1 0解得 λ1 1λ2 3。 求解矩阵 A 的特征向量 对于 λ1 1 (A - λ1I)x 0
[ 1 1 ] [ x1 ] [ 0 ]
[ 1 1 ] [ x2 ] [ 0 ]解得 x1 -x2因此特征向量为 [1, -1] 的倍数。 对于 λ2 3 (A - λ2I)x 0
[ -1 1 ] [ x1 ] [ 0 ]
[ 1 -1 ] [ x2 ] [ 0 ]解得 x1 x2因此特征向量为 [1, 1] 的倍数。 5. 行列式总结 概念描述行列式将方阵映射到一个数的函数行列式的定义递归定义、代数余子式定义、几何定义行列式的性质行列式等于其转置的行列式、交换两行或两列行列式变号、将一行或一列乘以一个数 k行列式乘以 k、将一行或一列加上另一行或列的倍数行列式不变、行列式为 0 的充要条件是矩阵不可逆、行列式的乘法性质行列式的计算方法展开式、初等变换、代数余子式行列式的应用判断矩阵是否可逆、求解线性方程组、计算向量空间的体积、特征值与特征向量 总结 行列式是线性代数中的重要概念它与矩阵密切相关可以用来判断矩阵是否可逆、求解线性方程组、计算向量空间的体积等。理解行列式的定义、性质、计算方法和应用是学习线性代数的关键。
