公司部门等级划分,seo具体seo怎么优化,网站仿站建设,小程序开发平台找哪家好Python小白的数学建模课-22.插值方法 插值、拟合、回归和预测#xff0c;都是数学建模中经常提到的概念#xff0c;也经常被混淆。插值#xff0c;是在离散数据的基础上补插连续函数#xff0c;使得插值函数通过全部给定的离散数据点#xff0c;多用于图像处理和缺失数据处…Python小白的数学建模课-22.插值方法 插值、拟合、回归和预测都是数学建模中经常提到的概念也经常被混淆。插值是在离散数据的基础上补插连续函数使得插值函数通过全部给定的离散数据点多用于图像处理和缺失数据处理。使用 Scipy 工具包的 interpolate 插值模块通过例程讲解一维插值、二维插值的实现方法。『Python小白的数学建模课 Youcans』带你从数模小白成为国赛达人。 1. 数据插值
1.1 插值与拟合
插值与拟合不仅是基本的数学建模方法也是最常用的数据处理方法。
不过插值和拟合却经常会被混为一谈所以我们首先看看这两个概念。
插值是在离散数据的基础上补插连续函数使得插值函数通过全部给定的离散数据点。 插值是离散函数逼近的重要方法利用它可通过函数在有限个点处的取值状况估算出函数在其他点处的近似值。简单地说插值是求过一组已知点的近似函数。拟合是用一个连续函数曲线靠近给定的离散数据使其与给定的数据相吻合。拟合也是根据一组已知点求近似函数但不要求过已知点。
因此插值和拟合都是根据一组已知数据点求变化规律和特征相似的近似曲线的过程。但是插值要求近似曲线完全经过所有的给定数据点而拟合只要求近似曲线在整体上尽可能接近数据点并反映数据的变化规律和发展趋势。
插值可以看作是一种特殊的拟合是要求误差函数为 0 的拟合。由于数据点通常都带有误差误差为 0 往往意味着过度拟合过拟合模型对于训练集以外的数据的泛化能力往往是较差的。因此在实践中插值多用于图像处理和缺失数据处理拟合多用于实验数据处理。
此外还有一个常用而且容易混淆的概念 回归。回归是研究一组随机变量与另一组随机变量之间关系的统计分析方法包括建立数学模型并估计模型参数并检验数学模型的可信度也包括利用建立的模型和估计的模型参数进行预测或控制。
回归是一种数据分析方法拟合是一种具体的数据处理方法。拟合侧重于曲线参数寻优使曲线与数据相符而回归侧重于研究两个或多个变量之间的关系。 1.2 Scipy 插值工具箱
数据插值是数据处理的常用方法常见的插值算法有线性插值、B样条插值、临近插值等。
Scipy 工具包带有插值工具箱提供了丰富的插值方法和函数可以用于一维、二维和多维插值。
一维函数插值的类 interp1d提供了多种插值方法如样条函数插值、一维和多维插值、拉格朗日插值、泰勒多项式插值及自定义插值函数。函数 griddata 则提供了 N维插值的接口N1,2,3,…。 2. Scipy 一维插值方法内插值
2.1 一维插值类 interp1d
Scipy.interpolate 中的 interp1d 类是一种基于固定数据点创建函数的方法可以使用函数插值在给定数据定义的域内的任何位置对其进行计算。注意 interp1d 是内插法不能外推运算外插值。
该类定义调用允许使用 x 轴值调用对象此时应计算插值函数并返回插值的 y 轴值。具体地说interp1d 类生成已知数据点集的插值函数 yf(x)通过调用这个插值函数可以在已知数据之间插值得到指定 x 的函数值 f(x)。
class scipy.interpolate.interp1d(x, y, kind‘linear’, axis- 1, copyTrue, bounds_errorNone, fill_valuenan, assume_sortedFalse)
主要参数
x一维数组给定数据点集的 x 值。yN 维数组给定数据点集的 y 值数组长度必须与 x 相等。kind字符串或整数可选项指定使用的样条曲线的种类或插值方法。 可选的字符串‘linear’, ‘nearest’, ‘nearest-up’, ‘zero’, ‘slinear’, ‘quadratic’, ‘cubic’, ‘previous’, ‘next’‘zero’, ‘slinear’, ‘quadratic’, ‘cubic’ 分别表示零次、一次、二次、三次样条插值‘previous’, ‘next’ 分别表示只前点插值或后点插值‘nearest’ 表示向下舍入 ‘nearest-up’ 表示向上舍入默认值为 ‘linear’即线性插值。
interp1d 允许通过参数 bounds_error、fill_value 设置外推时的边界值但这并不是进行外推插值。
返回值
类 interp1d() 返回一个函数其调用方法使用插值来查找新点的值。 2.2 Python 例程interp1d 的使用
使用示例
# 1. 一维插值使用示例
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.interpolate import interp1d # 导入 scipy 中的一维插值工具 interp1d# 已知数据点集 (x,y)
x [0.0, 2.0, 4.0, 6.0, 8.0, 10.0] # 已知数据 x
y [3.1, 2.7, 1.5, 0.1, 1.0, 3.9] # 已知数据 y
# 由给定数据点集 (x,y) 求插值函数 fx
fx interp1d(x, y, kindlinear) # 由已知数据 (x,y) 求出插值函数 fx
# 由插值函数 fx 计算插值点的函数值
xInterp np.linspace(0,10,100) # 指定需插值的数据点集 xInterp
yInterp fx(xInterp) # 调用插值函数 fx计算 xInterp 的函数值
# 绘图
plt.plot(xInterp, yInterp, labellinear interpolate)
plt.show()2.3 Python 例程一维插值方法比较
通过设置 interp1d 类的参数kind可以指定使用的样条曲线的种类或插值方法。
上节中介绍了 kind 各种选项所指的插值方法本节进一步通过例程来比较不同方法的插值结果。
Python 例程
# mathmodel24_v1.py
# Demo24 of mathematical modLSing algorithm
# Demo of interpolate with Scipy.interpolate
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated2021-08-01# 2. 一维插值方法(内插)比较
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.interpolate import interp1d # 导入 scipy 中的一维插值工具 interp1d# 生成已知数据点集 (x,y)需插值的数据点集 xnew
np.random.seed(5)
x np.linspace(0, 5, 10) # 生成已知数据点集的 x
y np.cos(x/10)*2 0.5*np.random.rand(10) # 生成已知数据点集的 y
xnew np.linspace(0, 5, 100) # 指定需插值的数据点集 xnew# 使用不同插值方法由给定数据点集 (x,y) 求插值函数 fx
f1 interp1d(x, y, kindlinear) # 线性插值
f2 interp1d(x, y, kindzero) # 零阶样条插值
f3 interp1d(x, y, kindslinear) # 一次样条插值
f4 interp1d(x, y, kindquadratic) # 二次样条插值
f5 interp1d(x, y, kindcubic) # 三次样条插值
f6 interp1d(x, y, kindnearest) # 临近点插值向下舍入
# f7 interp1d(x, y, kindnearest-up) # 临近点插值向上舍入
f8 interp1d(x, y, kindprevious) # 前点插值
f9 interp1d(x, y, kindnext) # 后点插值# 绘图
plt.figure(figsize(8,6))
plt.suptitle(Data interpolate) # 全局标题
plt.subplot(221)
plt.plot(x, y, o, labeldata) # 已知数据点
plt.plot(xnew, f2(xnew), label0-order spline) # 零阶样条插值
plt.plot(xnew, f3(xnew), label1-order spline) # 一阶样条插值
plt.legend(loclower left)
plt.subplot(222)
plt.plot(x, y, o, labeldata) # 已知数据点
plt.plot(xnew, f4(xnew), label2-order spline) # 二阶样条插值
plt.plot(xnew, f5(xnew), label3-order spline) # 三阶样条插值
plt.legend(loclower left)
plt.subplot(223)
plt.plot(x, y, o, labeldata) # 已知数据点
plt.plot(xnew, f1(xnew), labellinear) # 线性插值
plt.plot(xnew, f6(xnew), labelnearest) # 临近点插值向下舍入
# plt.plot(xnew, f7(xnew), labelnearest-up) # 临近点插值向上舍入
plt.legend(loclower left)
plt.subplot(224)
plt.plot(x, y, o, labeldata) # 已知数据点
plt.plot(xnew, f8(xnew), labelprevious) # 前点插值
plt.plot(xnew, f9(xnew), labelnext) # 后点插值
plt.legend(loclower left)
plt.show()程序运行结果 结果分析 线性插值是常用的插值方法简单地说可以理解为将相邻的数据点用线段连接算法简单、运算速度快。一阶样条曲线插值等效于线性插值。 最近邻点插值、前点插值、后点插值和 0阶样条插值的结果都是阶梯形状曲线只是选点方法不同。 样条插值是重要的插值方法用光滑曲线连接数据点。每一个样条都是用一个多项式表达的多项式的次数就是样条曲线的阶数决定了样条曲线的形状和性质 0 阶样条曲线在每一区间上样条函数为常数样条曲线呈阶梯形状1 阶样条曲线在每一区间上样条函数为线性函数样条曲线呈折线段形状2 阶样条曲线在每一区间上样条函数为二次函数整体一阶连续可导依次类推。由二阶开始插值函数不再具有局域性改变某一节点函数整体都会改变。2 阶和 3阶样条插值最为常用更高阶的样条插值过于复杂通常结果的差异并不大。图中的 2阶和 3阶样条插值结果就已经近似是重合的。 3. Scipy 一维插值方法外插值
3.1 一维插值类 UnivariateSpline
Scipy.interpolate 中的 UnivariateSpline 类是一种基于固定数据点创建函数的方法使用一维样条曲线拟合到给定的数据点集。
该类定义调用允许使用 x 轴值调用对象此时应计算样条曲线并返回插值的 y 轴值。具体地说UnivariateSpline 类生成已知数据点集的样条插值函数 yspl(x)通过调用样条插值函数可以计算指定 x 的函数值 f(x)。
class scipy.interpolate.UnivariateSpline(x, y, wNone, bbox[None, None], k3, sNone, ext0, check_finiteFalse)
主要参数
x一维数组数值必须递增。y一维数组数组长度必须与 x 相等。w一维数组正数可选项。每个数据点的权重默认所有点的权重相等。k整数可选项。样条函数的阶数1≤k≤51 \leq k \leq 51≤k≤5默认值为 3。s实数可选项平滑参数 s0数据插值样条曲线必须通过所有数据点s0数据拟合满足 ∑(w(y−spl(x)))2≤s\sum(w(y-spl(x)))^2 \leq s∑(w(y−spl(x)))2≤s默认不设置 s则 slen(w)。 ext整数或字符串可选项。用于控制外推插值的方案 ext 0 或 “extrapolate”返回外推值默认值ext 1 或 “zeros”返回 0ext 2 或 “raise”抛出异常值 ValueErrorext 3 或 “const”返回边界值。
返回值
类 UnivariateSpline() 返回一个函数其调用方法使用插值来查找新点的值。
UnivariateSpline 可以外插值允许通过设置参数 ext 0 或 “extrapolate” 外推插值。但如果外推范围过大 3.2 Python 例程一维插值UnivariateSpline
Python 例程
# 3. 一维插值方法(外插)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.interpolate import UnivariateSpline # 导入 scipy 中的一维插值工具 UnivariateSpline# 生成已知数据点集 (x,y)需插值的数据点集 xnew
x np.linspace(0, 10, 11) # 生成已知数据点集的 x
y np.cos((x)**2/30)*22 # 生成已知数据点集的 y
xnew np.linspace(-0.5, 10.5, 110) # 指定需插值的数据点集 xnew# 使用 UnivariateSpline 插值工具由给定数据点集 (x,y) 求插值函数 fSpl
fSpl1 UnivariateSpline(x, y, s0) # 三次样条插值s0插值函数经过所有数据点
y1 fSpl1(xnew) # 由插值函数 fSpl1 计算插值点的函数值 y1fSpl2 UnivariateSpline(x, y) # 三次样条插值默认 s len(w)
y2 fSpl2(xnew) # 由插值函数 fSpl2 计算插值点的函数值 y2fSpl2.set_smoothing_factor(0.1) # 设置光滑因子 sf
y3 fSpl2(xnew) # 由插值函数 fSpl2(sf0.1) 计算插值点的函数值 y3# 绘图
fig, ax plt.subplots(figsize(8,6))
plt.plot(x, y, ro, ms5, labeldata)
plt.plot(xnew, y1, m, label3rd spline interpolate)
plt.plot(xnew, y2, g, label3rd spline fitting)
plt.plot(xnew, y3, b--, labelsmoothing factor)
ax.set_title(Data interpolate with extrapolation)
plt.legend(locbest)
plt.show()程序运行结果 结果分析
类 UnivariateSpline 既可以进行数据插值也可以进行数据拟合。 参数 s0 时要求样条函数通过所有数据点即为数据插值s0 或不设置参数 s 时不要求样条函数通过所有数据点就是用样条函数拟合给定的数据。 类 UnivariateSpline 进行数据插值或数据拟合具有一定的外推能力可以由插值函数进行外推计算。但插值算法的外推范围十分有限容易发散或失真使用时要非常谨慎。图中绿色曲线是三次样条数据拟合的结果蓝色曲线对拟合曲线作了进一步的平滑处理。 4. Scipy 二维插值方法
4.1 二维插值类 interp2d
Scipy.interpolate 中的 interp2d 类是一种基于固定数据点集创建函数的二维插值方法经常用于二维图像处理。
类 interp2d 的定义和使用方法与一维插值 interp1d 类似。该类定义调用允许使用 (x,y) 值调用对象此时计算插值函数并返回插值的 z轴值。具体地说interp2d 类生成已知数据点集的插值函数 zf(x,y)通过调用这个插值函数可以在已知数据之间插值得到指定 (x,y) 的函数值 f(x,y)。
class scipy.interpolate.interp2d(x,y,z,kind‘linear’,copyTrue,bounds_errorFalse,fill_valueNone))
主要参数
x,y一维数组给定数据点集的 x,y 值。z一维数组给定数据点集对应的函数值 z。kind字符串或整数可选项指定使用的样条曲线的种类或插值方法‘linear’ 表示线性插值‘cubic’ 表示三次插值‘quintic’ 表示五次插值。默认值为 ‘linear’即线性插值。
返回值
类 interp2d() 返回一个函数其调用方法使用插值来查找新点的值。
注意给定数据点集 x,y,z 有两种方式 以一维数组 x 和 y 定义给定网络点集的列坐标和行坐标序列一维数组 x 与 y 的长度 len(x)、len(y) 不一定相等二维数组 z 的形状为 len(x)*len(y)zijf(xi,yi)z_{ij}f(x_i,y_i)zijf(xi,yi) 是数据网格点 (xi,yj) 的函数值。 以一维数组 x, y 定义给定网络点集的列坐标和行坐标序列网络点集中每个点的坐标分别由二维数组 xx 和 yy 表示 二维数组 z 是与 (xx,yy) 对应的网格中每一个数据点的函数值$z_{ij} f(xx_{ij}, yy_{ij}) $。 4.2 Python 例程二维插值interp2d
使用示例
# mathmodel24_v1.py
# Demo24 of mathematical modLSing algorithm
# Demo of interpolate with Scipy.interpolate
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated2021-08-01# 4. 二维插值方法
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp2d # 导入 scipy 中的二维插值工具 interp2d# 生成已知数据网格点集 (xx,yy,z)
x np.linspace(-1, 1.5, 25) # x 是一维数组
y np.linspace(-1, 1, 20) # y 是一维数组
xx, yy np.meshgrid(x, y) # 生成网格点的坐标 xx,yy (二维数组)
z np.sin((xxyyxx**2yy**2)) # 计算数据网格点的值 zf(xx,yy)
print(shape of original dataset:\n\txx:{},yy:{},z:{}.format(xx.shape,yy.shape,z.shape))# 由给定数据网格点集 (xx,yy,z) 求插值函数 fInterp: xx,yy,z 都是形状相同的二维数组
fInterp interp2d(xx, yy, z, kindcubic) # 三阶样条插值# 由插值函数 fInterp 计算需插值的数据点的函数值
xnew np.linspace(-1, 1.5, 150) # xnew 是一维数组
ynew np.linspace(-1, 1, 100) # ynew 是一维数组
znew fInterp(xnew, ynew) # 计算插值函数 fInterp 在 (xnew, ynew) 所描述网格点集的函数值
print(shape of interpolation dataset:\n\txnew:{},ynew:{},znew:{}.format(xnew.shape,ynew.shape,znew.shape))# 绘图
fig plt.figure(figsize(10, 6))
ax1 plt.subplot(1, 2, 1, projection3d)
ax1.set_title(2-D original data)
# ax1.plot_wireframe(xx, yy, z, rstride2, cstride2, linewidth1)
surf ax1.plot_surface(xx, yy, z, rstride2, cstride2, cmapplt.cm.coolwarm)
ax1.set_zlabel(zData)
xxnew, yynew np.meshgrid(xnew, ynew) # 将一维数组 xnew, ynew 转换为网格点集二维数组
print(\txxnew:{},yynew:{},znew:{}.format(xxnew.shape,yynew.shape,znew.shape))
ax2 plt.subplot(1, 2, 2, projection3d) # 3D 绘图要求 x,y,z 都是 n*m 二维数组
ax2.set_title(2-D interpolation data)
ax2.plot_wireframe(xxnew, yynew, znew, rstride2, cstride2,linewidth1)
surf2 ax2.plot_surface(xxnew, yynew, znew, rstride2, cstride2, cmapplt.cm.coolwarm)
ax2.set_zlabel(zInterp)
plt.show()运行结果
shape of original dataset:xx:(20, 25),yy:(20, 25),z:(20, 25)
shape of interpolation dataset:xnew:(150,),ynew:(100,),znew:(100, 150)xxnew:(100, 150),yynew:(100, 150),znew:(100, 150)注意 由给定数据点集 (xx,yy,z) 求插值函数 fInterp 时 xx,yy,z 都是形状相同的二维数组矩阵由插值函数 fInterp 计算插值时所使用的 xnew,ynew 是一维数组插值函数 fInterp 在 (xnew, ynew) 所构造的栅格点计算并返回插值函数值返回值 z 是二维数组矩阵。 4.3 Python 例程二维插值
通过设置 interp1d 类的参数kind可以指定使用的样条曲线的种类或插值方法。
上节中介绍了 kind 各种选项所指的插值方法本节进一步通过例程来比较不同方法的插值结果。
Python 例程
# mathmodel24_v1.py
# Demo24 of mathematical modLSing algorithm
# Demo of interpolate with Scipy.interpolate
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated2021-08-01# 5. 二维插值方法
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp2d # 导入 scipy 中的二维插值工具 interp2d# 生成已知数据网格点集 (xx,yy,z)
yy, xx np.mgrid[-2:2:20j,-3:3:30j] # 生成网格点 30x20 600
z (1-0.5*xxxx**5yy**3) * np.exp(-xx**2-2*yy**2) # 计算网格点的值 z
x, y xx[0,:], yy[:,0] # 由数据网格点 xx,yy 转换一维数组 x, y
print(shape of original dataset:\n\txx:{},yy:{},z:{}.format(xx.shape,yy.shape,z.shape))
print(\tx:{},y:{},z:{}.format(x.shape, y.shape, z.shape))# 由给定数据点集 (x,y,z) 求插值函数 fInterp x,y 是一维数组z 是 len(x)*len(y) 二维数组
f1 interp2d(x, y, z, kindlinear) # 线性插值
f2 interp2d(x, y, z, kindcubic) # 三阶样条插值
f3 interp2d(x, y, z, kindquintic) # 五阶样条插值# 由插值函数 fInterp 计算需插值的网格点集 ynew,xnew 的函数值
xnew np.linspace(-3, 3, 120) # xnew 是一维数组
ynew np.linspace(-2, 2, 80) # ynew 是一维数组
z1 f1(xnew, ynew) # 根据线性插值函数 f1 计算需插值的网格点集的函数值
z2 f2(xnew, ynew) # 根据三阶样条插值函数 f2 计算需插值的网格点集的函数值
z3 f3(xnew, ynew) # 根据五阶样条插值函数 f3 计算需插值的网格点集的函数值
print(shape of interpolation dataset:\n\txnew:{},ynew:{},znew:{}.format(xnew.shape,ynew.shape,z1.shape))# 绘图
plt.figure(figsize(8,6))
plt.suptitle(2-D data interpolate) # 全局标题
plt.subplot(221)
plt.pcolor(xx, yy, z, cmapplt.cm.hsv, shadingauto)
plt.title(original)
plt.colorbar()
plt.subplot(222)
plt.pcolor(xnew, ynew, z1, cmapplt.cm.hsv, shadingauto)
plt.title(linear)
plt.colorbar()
plt.subplot(223)
plt.pcolor(xnew, ynew, z2, cmapplt.cm.hsv, shadingauto)
plt.title(cubic)
plt.colorbar()
plt.subplot(224)
plt.pcolor(xnew, ynew, z3, cmapplt.cm.hsv, shadingauto)
plt.title(quintic)
plt.colorbar()
plt.show()程序运行结果 【本节完】 版权声明
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