私募股权基金网站建设,网站开场flash怎么做的,Wordpress 1688 采集,个人网站模板之家主要是课堂的补充#xff08;yysy#xff0c;我觉得课堂的教育模式真有够无聊的#xff0c;PPT、写作业、考试#xff0c;感受不到知识的魅力。 它告诉我们什么#xff1f; 小提琴琴弦上某个小段的加速度#xff0c;与相邻段相对于该段的平均位移成正比。 为什么重要yysy我觉得课堂的教育模式真有够无聊的PPT、写作业、考试感受不到知识的魅力。 它告诉我们什么 小提琴琴弦上某个小段的加速度与相邻段相对于该段的平均位移成正比。 为什么重要 它预测弦将会呈波浪般运动并且它自然地推广到其他会出现波的物理系统。 它带来了什么 我们对水波、声波、光波、弹性振动等的理解有了一个飞跃…… 地震学家使用它的改进版本由地球的振动方式推断其内部结构。石油公司使用类似的方法寻找石油。在第11章中我们将看到它如何预测电磁波的存在从而带来了无线电、电视、雷达和现代通信。 从弦乐说起
毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯世界观的重大成就之一来自音乐。流传的故事五花八门其中一篇说毕达哥拉斯经过一家铁匠铺他注意到不同大小的锤子发出不同音高的声音而有简单数字关系的锤子例如一个锤子是另一个的两倍大发出了和谐的声音。虽然这个故事很有趣但任何实际用真的锤子试过的人都会发现铁匠的操作并不特别具有音乐性而且锤子的形状太复杂不能和谐地振动。但是其中还是有一点儿道理的总的来说小的物体比大的物体产生的音调更高。 在提到毕达哥拉斯学派使用张紧的弦一种称为卡龙琴的简单乐器进行的一系列实验时这些故事就变得更加可信了。我们之所以知道这些实验是因为托勒密于公元150年左右在他的《谐和论》中提到了它们。通过将支撑物移动到琴弦上的各个位置毕达哥拉斯学派发现当两根张力相等的弦的长度成简单比例例如2:1或3:2时它们会产生异常和谐的音符。 乐理 音乐家利用“音程”来描述成对的音符它衡量的是某种音阶中两个音相距几度。最基本的音程是八度即钢琴上跨越八个白键的音。注意除了一个音比另一个高之外相距八度的音听起来非常相似它们非常和谐。事实上基于八度音阶的和声可能听起来有点儿乏味。在小提琴上要演奏比空弦高一个八度的音方法是将琴弦的中点压在指板上。弦长缩短一半音就高一个八度。因此八度音程对应的是简单的2:1数值比。 其他和谐音程也对应着简单的数值比。西方音乐中最重要的是四度比例为4:3还有五度比例为3:2。如果考虑C D E F G A B C的音阶这些音程的名字就说得通了。以C为根音对应的四度的音符是F五度是G八度是C。如果我们将音符连续编号根音为1那么这些音就对应音阶上的第4、第5和第8个音符。几何关系在吉他这样的乐器上特别清晰它在不同的相对位置上安装了金属条也就是“品格”。四度的品格就在弦长的四分之一处五度是三分之一处八度是中点处。你可以用卷尺来检查一下。 这些比例为音阶提供了理论基础并得出了如今大多数西方音乐中使用的音阶。这个故事很复杂所以我会给出一个简化的版本。为了下文的方便我从现在开始会把比例3:2写成分数。从根音开始每升高五度就可以得到一系列弦长 计算出这些分数的乘方就变成 除了前两个音符之外其他这些音符都太高了没法保持在八度音程内但我们可以反复将分数除以2来把它们降低一个或多个八度直到结果落在1和2之间。把它们按升序排列这就得到了分数 这些比例与钢琴上的C D E G A B音符非常接近。请注意没有F。事实上在人耳中和之间的距离听起来比其他音程要大。为了填补这个空白我们插入即四度的比例这与钢琴上的F非常接近。用高八度、比例为2的第二个C来补齐这套音阶也很好。现在我们就完全基于四度、五度和八度得到了一套音阶各个音的比例如下 长度与音高成反比因此我们必须把分数颠倒才能得到相应的长度。 我们现在已经解释了钢琴上所有白键的音但还有黑键的音。它们之所以会出现是因为音阶中挨着的两个音之间具有两种不同的比例全音和半音。例如与的比例是而与的比例是。“全音”和“半音”表示的是音程的近似比较。对应的比例数字分别是1.125和1.05。第一个比例更大所以全音对应的音调变化比半音更大。两个半音构成的比例是约为1.11距离1.25不远。所以两个半音接近一个全音。我承认不是很接近。 继续这样做下去的话我们可以将每个全音分成两个音程每个音程都接近一个半音从而得到12音的音阶。这有几种不同做法可以得到些微不同的结果。不管怎么做当改变乐曲的调号时都可能出现细微但可以听到的问题如果我们将每个音符向上移动半音则音程会略有改变。如果我们把半音定为一个特定比例令其12次幂等于2则可以避免这种效应。这样一来两个半音就可以精确地构成一个全音而12个半音将形成一个八度你可以通过向上或向下移动所有音符来改变音阶。 批注现在你已经知道对应关系了请制作一把乐器吧。
牛顿定律的运用
伯努利的研究 关键在于将加速度与力联系起来的牛顿第二运动定律。你还需要知道随着弦的运动也就是轻微地拉伸或收缩时张紧的弦的拉力如何变化。为此我们要使用牛顿那个不情不愿的对手胡克于1660年发现的东西它称为胡克定律弹簧长度的变化与施加给它的力成正比。小提琴琴弦实际上相当于一种弹簧所以适用相同的法则。还有一个障碍。我们可以将牛顿定律应用于由有限个质点组成的系统我们为每个质点列出一个方程然后尽力解出最终得到的方程组。但是小提琴琴弦是一个连续体一条由无限多个点组成的线。因此当时的数学家把弦看成大量排列紧密的质点由遵循胡克定律的弹簧连接在一起。他们写下了方程略微简化以使它们可解然后解出了方程最后他们让质点的数量变得任意大并搞清楚解会有什么变化。 批注那么形变量是怎么考虑的 约翰·伯努利在1727年实施了这个计划如果想想有多少困难被隐藏了起来这个结果算得上非常漂亮。为了避免在下面的描述中出现混淆想象把小提琴平放弦是水平的。拨弦时弦会在与小提琴垂直的方向上下振动。这是你要记住的一个情景。用弓拉弦会导致弦侧向振动而且弓的存在也十分麻烦。在数学模型中没有小提琴只有一根弦两端固定弦在平面内上下振动。 在这个情景中伯努利发现在任何时刻振动中的弦的形状都是正弦曲线。振动的幅度曲线的最大高度也遵循正弦曲线不过是随时间而不是随空间变化的正弦曲线。用符号表示的话他的解形如其中c是常数如图所示。空间项告诉我们形状但它在t时刻要缩放的倍数是因子。这个式子表示琴弦上下振动一遍又一遍地重复相同的动作。振荡周期也就是连续两次重复之间的时间是。 批注反正我觉得比上课讲得好md上课就是PPT做题无语了。 这是伯努利得到的最简单的解但还有其他解所有解都是正弦曲线也就是不同的振动“模态”指的是沿着弦的长度方向有1、2、3或更多个波浪如下图所示。同样任何时刻形状的快照都是正弦曲线振幅要乘上一个和时间相关的因子而这个因子也是正弦变化的。公式是……依此类推。 波动方程 如果我们将伯努利的方法用于方程而不是解那么根据牛顿第二运动定律就可以得到波动方程。1746年让·勒朗·达朗贝尔(Jean Le Rond dAlembert)遵循标准步骤将振动的小提琴琴弦作为质点的集合处理但是当质点数趋于无穷大时他没有求解方程并寻找模态而是研究了方程本身发生了什么。他推导出了一个方程描述了弦的形状随时间的变化。但在我向你展示它是什么样之前我们需要一个新的思想称为“偏导数”。 偏导数的概念 想象一下自己在大海中央看着各种形状和大小的波浪经过。当波浪经过时你会上下晃动。在物理上你可以通过几种不同的方式描述周围环境的变化。特别是你可以专注于时间的变化或空间的变化。随着时间的推移在你的位置上高度随着时间变化的速率就是高度对时间的导数。 但这并没有描述你附近海洋的形状只描述了经过你身下的波浪有多高。要描述形状你可以从概念上冻结时间并计算波浪的高度不仅是在你的位置还包括附近的位置。然后就可以使用微积分来计算波浪在你所在位置的倾斜程度。你是处于高峰或低谷吗如果是的话则斜率为零。你是在波浪的一半之处吗如果是的话则斜率非常大。用微积分的话来说你可以通过计算波的高度对空间的导数来求出这个斜率的值。 如果函数仅依赖于一个变量称之为我们将导数写为的微小变化除以的微小变化。但是就海浪而言函数波高不仅取决于空间还取决于时间。在任何给定时刻我们仍然可以计算出它告诉我们波浪的局部斜率。但我们可以固定时间让空间变化也可以固定空间让时间变化这告诉我们上下摆动的速度。我们可以使用符号来表示这个“时间导数”并将其解释为“的微小变化除以的微小变化”。但是这种记法隐藏了一个模糊的地方在这两种情况下高度的微小变化可能并且通常是不同的。如果你忘了这一点计算就可能出错。当我们对空间微分时是让空间变量稍微改变看看高度如何变化当我们对时间微分时则是让时间变量稍微改变看看高度如何变化。随时间的变化没有理由非要等于随空间的变化。 因此数学家决定把符号改成一种不会直接让他们想到是“微小变化”的东西以此提醒自己注意这种模糊的问题。他们选择了一个非常可爱的花体的写作然后把这两种导数分别写作和。你可能会说这并不是一个很大的进步因为两种不同的含义还是一样容易混淆。对这种批评有两个回应其一是在这种情况下你不应该认为是的特定微小变化其二是使用花哨的新符号提醒你不要混淆。第二个回应肯定是有效的只要你看到它就会告诉你你会看到相对于几个不同变量的变化率。这些变化率称为偏导数因为从概念上讲你只让部分变量变化而让其余变量保持不变。 批注看来我学的是真有够烂的捂脸。
回到达朗贝尔 当达朗贝尔计算出振动弦的方程时他就恰恰遇到了这种情况。弦的形状取决于空间沿着弦的距离以及时间。牛顿第二运动定律告诉他一小段弦的加速度与作用于它的力成正比。加速度是对时间的二阶导数。但是力是由相邻的弦段作用于我们研究的弦产生的而“相邻”意味着空间的微小变化。当他计算这些力时就得出了方程 其中u(x,t)是t时刻弦上x位置处的垂直位置c是与弦的张力以及弹性大小有关的常数。这个计算实际上比伯努利所做的更容易因为它避免了引入特解带来的特殊性质。达朗贝尔优雅的公式就是波动方程。和牛顿第二运动定律一样它是一个微分方程——涉及u的二阶导数。由于它们是偏导数因此波动方程是偏微分方程。空间二阶导数表示作用在弦上的净力而时间二阶导数是加速度。波动方程开创了一个先例经典数学物理学中的大多数关键方程以及许多现代数学物理方程是偏微分方程。 批注推导见下。 达朗贝尔一写下波动方程就做好了把它解出来的准备。这项任务因为它是一个线性方程而变得很容易。偏微分方程有许多解通常是无限多组解因为每个初始状态都会导致一个不同的解。例如小提琴琴弦原则上可以在释放之前弯曲成你喜欢的任何形状然后由波动方程接管。“线性”意味着如果u(x,t)和v(x,t)是解则任何线性组合au(x,t)bv(x,t)也是解其中a和b是常数。另一个术语是“叠加”。波动方程的线性来源于伯努利和达朗贝尔必须做出的近似——这样才能得到他们可以解的东西假设所有干扰都很小。现在弦施加的力可以用各个质点位移的线性组合来良好地近似。更好的近似将得出非线性偏微分方程那可就麻烦得多了。从长远来看这些复杂性必须被正面解决但先驱们已经有足够的东西要对付了所以他们选择了近似但非常优雅的方程并将注意力限制在振幅很小的波上。这个方法很好用。事实上对于振幅较大的波它通常也很好用这是一个幸运的奖励。 批注上课没讲过这个上课只讲如何做题笑麻了 达朗贝尔知道自己的方向是正确的因为他找到了固定的形状沿着弦线像波浪般行进的解。结果他发现波速就是等式中的常数c。波可以向左或向右传播于是叠加原理发挥了作用。达朗贝尔证明了所有解都是向左传播或向右传播的两个波的叠加。而且每个单独的波可以具有任何形状。在小提琴琴弦上看到的两端固定的驻波其实是两列形状相同但颠倒的波的组合一列向左传播另一列颠倒地向右传播。两列波在末端处完全抵消一列波的波峰与另一列波的波谷重合。因此它们符合物理边界条件。 批注这周刚好讲的是这个波的叠加u(x,t)f(x-ct)g(xct) 数学家现在面临着一个过犹不及的窘境。波动方程有两种解法伯努利的解法会得出正弦和余弦而达朗贝尔的解法会得出任意形状的波。乍看起来似乎达朗贝尔的解法肯定更加通用正弦和余弦都是函数但大多数函数不是正弦和余弦。然而波动方程是线性的所以你可以将伯努利的解叠加在一起也就是把解的常数倍加在一起。为了简单起见我们只考虑某个固定时刻的快照这样就不依赖于时间了。 例如下图是5sinx4sin2x-2cos6x。这是一个相当不规则的形状它扭来扭去但仍然光滑并呈波浪状。 让那些思维更为缜密的数学家感到困扰的是有些函数非常粗糙如锯齿般参差不齐你没有办法把它们表示成正弦和余弦的线性组合。好吧如果你使用有限项的话是没办法——而这就指明了一条出路。正弦和余弦的无穷级数如果收敛即无穷项之和是有意义的也满足波动方程。它是不是能同时表达锯齿状的函数和平滑的函数呢一流的数学家们就此进行了争论在热学理论中出现同样的问题时终于有了头绪。关于热流的问题自然会涉及有突变的不连续函数这比锯齿状的函数还要糟糕。我将在第9章讲述这个故事但最终结果是大多数“合理的”波形可以用正弦和余弦的无穷级数来表示也就是可以通过正弦和余弦的有限组合无限近似。 批注傅里叶变换吧。
波动方程的推导 考虑三个连续的质点编号分别为n-1、n、n1。假设在t时刻它们相对于水平轴上的初始位置的位移分别是、和。根据牛顿第二运动定律每个质点的加速度与作用于它的力成正比。简化假设设每个质点仅在垂直方向上移动很小的距离。那么一个很好的近似是质点n-1施加在质点n上的力与差值成正比类似地质点n1施加在质点n上的力与差值成正比。将这些全都加在一起施加在质点n上的总力与成正比。这就是这条式子上面两条式子之差因此对质点n施加的力是差值的差值。 现在假设质点非常紧密。在微积分中差值——除以适当的小常数——是对导数的近似。差值的差值是对导数的导数的近似即二阶导数。那么在质点数量趋于无穷大、质点之间距离趋于无穷小的极限弦上某一点所受的力就与成正比其中x是沿弦长度方向的空间坐标。根据牛顿第二运动定律它与垂直于轴线方向的加速度成正比也就是时间的二阶导数。将比例常数写作可得 三维空间的波动方程 数学家首先在他们能想到的最简单的条件下推导出了波动方程一条振动的线这是一个一维系统。现实中的应用需要更一般性的理论在二维和三维中对波建模。即使只谈音乐领域鼓也需要两个维度来模拟鼓皮振动的规律。海洋表面的水波也是如此。地震发生时整个地球像钟声一样响起而我们的星球是三维的。许多其他物理领域涉及二维或三维的模型。人们发现将波动方程扩展到更高维度十分简单、直接你所要做的就是重复类似于对小提琴琴弦的计算。学会在简单的条件下玩这个游戏之后在真实环境中玩就不难了。 例如在三维空间中我们使用三个空间坐标(x,y,z)和时间t。波用函数u来描述这个函数取决于这四个坐标。例如它可以描述声波穿过空气时空气中的压力变化。利用和达朗贝尔相同的假设特别是扰动的振幅很小用同样的方法可得出同样漂亮的方程 括号内的公式称为u的拉普拉斯算子它对应于所讨论的点与其附近的点之间u值的平均差。这种表达在数学物理学中出现得如此频繁以至于拥有了自己的特殊符号。如果要得到二维拉普拉斯算子我们只要略去涉及z的项就可以得出二维条件下的波动方程。 高维条件下出现的新东西主要在于发生波的区域称为方程的定义域可能很复杂。在一维条件下唯一连通的形状是区间也就是线段。然而在二维情况下它可以是你在平面中画出的任何形状在三维情况下它就可以是空间中的任何形状。你可以对方形鼓、矩形鼓、圆形鼓或轮廓像猫的鼓建模。对于地震你可以使用球形定义域或者为了得到更高精度使用在极点处略微压扁的椭球体。如果你正在设计汽车并希望消除不必要的振动那么定义域应该是汽车的形状或者工程师想要关注的汽车的任何部分。 对于任何选定形状的定义域都有类似于伯努利的正弦和余弦的函数——最简单的振动模式。这些模式被称为“模态”或更为精确地说是“简正模”。所有其他波都可以通过简正模的叠加得到而如果有必要的话还可以再次使用无穷级数。简正模的频率表示定义域的自然振动频率。如果定义域是矩形则这些函数是sinmxcosny形式的三角函数其中m和n是整数产生如下所示的波形。如果定义域是圆形则由称为贝塞尔函数的新函数确定具有更有趣的形状。由此产生的数学不仅适用于鼓也适用于水波、声波、电磁波或光见第11章甚至量子波见第14章。这是所有这些领域的基础。拉普拉斯算子也出现在其他物理现象的方程中特别是电场、磁场和引力场。“从玩具问题一个如此简单以至于不可能符合现实的问题入手”这个数学家们最喜欢的技巧在波上取得了巨大的成功。 这就是不应该用一个数学概念最初出现时的背景来评判它的原因。如果你想要了解的是地震那么对小提琴琴弦进行建模似乎毫无意义。但是如果你直接跳入深渊并试图解决真实地震的所有复杂性那你就会被淹死。你应该先开始在浅水区划水培养在游泳池游几个来回的信心然后你就可以做好准备爬上高高的跳板了。 对波动方程假设的完善 波动方程取得了辉煌的成功在某些物理领域它非常精确地描述了现实。但是它的推导需要几个简化的假设。当这些假设不切实际时可以修改相同的物理概念以适应条件从而得出波动方程的不同版本。 地震就是一个典型的例子。这里的主要问题不在于达朗贝尔假设波动的振幅很小而是在于定义域的物理性质起了变化。这些性质可以对地震波——通过地球传播的振动产生强烈的影响。通过了解这些效应我们可以深入了解我们的星球并搞清楚它是由什么组成的。 地震波有两种主要类型压力波和剪切波通常缩写为P波和S波还有很多其他波这是一个简化版本只介绍一些基础知识。两者都可以在固体介质中发生但S波不会在流体中发生。P波是压力的波类似于空气中的声波压力变化的方向是沿着波传播的方向我们把这种波叫作“纵波”。S波则是“横波”压力变化方向与传播方向垂直就像小提琴琴弦上的波一样。它们会导致固体发生剪切其形变就类似一沓被侧向推动的扑克牌牌与牌之间会相互滑动。流体的行为和一沓牌可不一样。 当地震发生时它会产生两种波。P波传播速度更快因此地表其他地方的地震学家会首先观察到它们。然后较慢的S波才会到达。1906年英国地质学家理查德·奥尔德姆(Richard Oldham)利用这种差异做出了关于地球内部的重大发现。粗略地说地球有一个铁芯周围是岩石地幔大陆漂浮在地幔顶部。奥尔德姆认为地核的外层必须是液体。如果是这样S波不能通过这些区域但P波可以。所以有所谓的S波阴影区你可以通过观察地震信号来计算出它的位置。英国数学家哈罗德·杰弗里斯(Harold Jeffreys)在1926年对细节进行了整理并确认奥尔德姆是正确的。 如果地震足够强烈它可能导致整个地球以其一种简正模振动——类似于琴弦上的正弦和余弦。整个地球像钟声一样响起在某种意义上说如果我们真能听到它极低的频率的话这甚至都不是一个比喻。能够记录这些模式的仪器出现在20世纪60年代它们被用于观察有科学记载的两次最猛烈的地震1960年的智利地震9.5级和1964年的阿拉斯加地震9.2级。第一次地震造成了约5000人死亡第二次地震由于发生在偏远地区造成了约130人死亡。两次地震都引发了海啸并造成了巨大的破坏。通过激发地球的基本振动模式两次地震都前所未有地让我们了解到了地球的内部深处。 波动方程的复杂版本使地震学家能够看到我们脚下数百千米处发生的事情。他们可以绘出地球的一个构造板块滑动到另一个板块之下的情况称为“俯冲”。俯冲作用会导致地震尤其是所谓的“大型逆冲区地震”就像前面提到的两次地震一样。它还会产生安第斯山等沿着大陆边缘的山脉以及火山——板块下沉得如此之深以至于开始融化导致岩浆上升到地表。最近的一个发现是板块不需要作为一个整体隐没而是可以分解成巨大的岩板沉入地幔的不同深度。 这个领域最有价值的东西就是可靠地预测地震和火山爆发的方法。地震和火山难以捉摸因为触发此类事件的条件是许多地点的许多因素的复杂组合。然而研究有所进展而地震学家使用的波动方程描述是许多正在被研究的方法的基石。
