深圳网站建设网络推广,flash企业网站源码,做网站按什么收费,wordpress 多个网站文章目录 分段插值引入背景分段线性插值插值条件余项估计 分段三次Hermite插值引入背景插值条件余项估计 本篇文章适合个人复习翻阅#xff0c;不建议新手入门使用 分段插值
引入背景 龙格#xff08;Runge#xff09;现象 对某些函数使用等距节点构造高次多项式插值时不建议新手入门使用 分段插值
引入背景 龙格Runge现象 对某些函数使用等距节点构造高次多项式插值时插值区间端点处不收敛无论是Lagrange插值还是Hermite插值 多项式的整性 多项式函数是整函数局部改变会引起全局变化
分段线性插值
插值条件
在每个小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi] 内基于节点 x i − 1 , x i x_{i-1},x_i xi−1,xi 使用 Lagrange 插值两个节点得到一次插值多项式记为 ϕ n ( x ) \phi_n(x) ϕn(x)
余项估计 ∣ f ( x ) − ϕ n ( x ) ∣ [ x i − 1 , x i ] ∣ L 1 ( x ) − f ( x ) ∣ 1 2 ∣ f ′ ′ ( ξ ) ∣ ∣ ( x − x i − 1 ) ⋅ ( x − x i ) ∣ ≤ 1 8 M h 2 \begin{split} |f(x)-\phi_n(x)|_{[x_{i-1},x_i]}\\ |L_1(x)-f(x)|\\ \frac{1}{2}|f(\xi)||(x-x_{i-1})\cdot(x-x_i)|\\ \leq \frac{1}{8}Mh^2 \end{split} ≤∣f(x)−ϕn(x)∣[xi−1,xi]∣L1(x)−f(x)∣21∣f′′(ξ)∣∣(x−xi−1)⋅(x−xi)∣81Mh2
分段三次Hermite插值
引入背景
解决分段线性插值不光滑的问题
插值条件
在每个小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi] 内基于节点 x i − 1 , x i x_{i-1},x_i xi−1,xi 使用 Hermite 插值得到三次插值多项式记为 H h ( x ) H_h(x) Hh(x) h max ∣ x i − x i − 1 ∣ h\max|x_i-x_{i-1}| hmax∣xi−xi−1∣
余项估计 ∣ f ( x ) − H h ( x ) ∣ [ x i − 1 , x i ] ∣ 1 4 ! f ( 4 ) ( ξ ) ( x − x i ) 2 ( x − x i 1 ) 2 ∣ ≤ M 4 ! ( x i 1 − x i 2 ) 4 M h 4 384 \begin{split} |f(x)-H_h(x)|_{[x_{i-1},x_i]}\\ |\frac{1}{4!}f^{(4)}(\xi)(x-x_i)^2(x-x_{i1})^2|\\ \leq \frac{M}{4!}(\frac{x_{i1}-x_i}{2})^4\\ \frac{Mh^4}{384}\\ \end{split} ≤∣f(x)−Hh(x)∣[xi−1,xi]∣4!1f(4)(ξ)(x−xi)2(x−xi1)2∣4!M(2xi1−xi)4384Mh4 参考书籍《数值分析》李庆扬 王能超 易大义 编
