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机器学习的基本任务
机器学习能实现许多不同…机器学习的理论部分学习知识点比较乱且杂。我这里通过几篇文章简单总结一下自己对机器学习理论的理解以防遗忘。第一篇文章主要概述了机器学习的基本任务以及一个常用的降维方法主成分分析。
机器学习的基本任务
机器学习能实现许多不同的任务基本分为以下几类:
分类 : 算法需要判断输入属于哪一种类别。例如通过一张人像图片判断人的身份。回归 : 算法需要将一个数值与输入联系起来。例如通过气象学的 参数判断24小时的温度。重写 : 通过观察输入将其重写为文字形式。例如通过一张谷歌街道的图片识别街道的名称。翻译 : 将一系列的符号文字转化为另一种语言的符号和文字。例如将英语翻译成中文将Java代码翻译为对应的C代码。异常寻找: 判断输入是不是非典型的。例如检测是否有逆行的车辆。合成 : 生成与样本数据类似的新的样本。例如合成另一个角度的风景图。降噪 : 对样本数据进行降噪处理。
协方差矩阵
协方差矩阵用于描述各个维度之间的联系其元素是各个向量元素之间的协方差。 例如如果我们我们有N个维度为n的向量数据xix_ixi他们的协方差矩阵如下 Σ1N∑i1N(xi−μ)(xi−μ)T\Sigma \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N}(x_i-\mu)(x_i-\mu)^TΣN1i1∑N(xi−μ)(xi−μ)T 其中μ\muμ是数据xix_ixi的平均向量。协方差矩阵维度为n*n且对称。协方差矩阵中编码了数据各个维度之间的相互关系以及各个维度的方差。例如在n2二维平面中协方差矩阵可以表示为 : Σ(σxxσxyσyxσyy)\Sigma \left( \begin{matrix} \sigma_{xx}\space\space \sigma_{xy}\\ \sigma_{yx}\space\space\sigma_{yy} \end{matrix} \right) Σ(σxx σxyσyx σyy) 主对角线描述了该维度上数据的方差副对角线描述了各个维度之间的协方差当各个维度处于相同数量级时可以一定程度上反应各个维度之间的相关性。
主成分分析
现实生活中的样本数据的分布可能与很多的潜在因素有关因此使得我们的数据往往呈现出高维的形式。高维度的数据会对我们进行数据分析造成很多干扰例如在我们进行分类分析时随着样本容量的不断增大维度越高计算量将呈几何倍数的增长且难以避免的会有噪声的影响。因此如何降维也是数据预处理十分重要的步骤。其中主成分分析可以有效地降低样本数据的维度减少计算量的同时使得样本数据对噪音干扰更不敏感。
主成分分析 principal component analysis, 其中心思想是将高维度的数据投影到低维度以此来实现降维。例如下图中将原本的二维空间(O,i1i_1i1,i2i_2i2)中的数据投影到向量i1′i{_1}i1′上。主成分分析的要点即是将数据投影到新的坐标系中其中坐标系的前几个基底向量应该包含样本数据最多的信息量。在进行主成分分析之间要对数据进行预处理中心化规格化数据即对每个数据作减去平均值并除以标准差的操作。 主成分分析的数学表示如下: 对于每个在原始坐标系中的数据点xix_ixi,xixi1i1xi2i1...xini1x_i x_{i1}i_1 x_{i2}i_1 ... x_{in}i_1xixi1i1xi2i1...xini1其中xinx_{in}xin是xix_ixi在各个维度的分量。将数据投影到新的坐标轴i1′i{_1}i1′后新的坐标为xi1′xiTi1′x{_{i1}} x{_i}^Ti{_1}xi1′xiTi1′。数据集沿着新的坐标轴i1′i{_1}i1′的方差计算如下: σ1N∑i1Nxi1′21N∑i1Nxi1′Txi1′1N∑i1Ni1′TxixiTi1′\sigma \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N}x{_{i1}}^2 \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N}x{_{i1}}^Tx{_{i1}} \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N}i{_1}^Tx_ix_{i}^Ti{_1} σN1i1∑Nxi1′2N1i1∑Nxi1′Txi1′N1i1∑Ni1′TxixiTi1′
1Ni1′T(∑i1NxixiT)i1′ \frac{1}{N}i{_1}^T (\sum_{i1}^{N}x_ix_i^T)i{_1}N1i1′T(i1∑NxixiT)i1′ σi1′TΣi1′\sigma i{_1}^T\Sigma i{_1} σi1′TΣi1′ 其中 Σ\SigmaΣ 是协方差矩阵 Σ1N(∑i1NxixiT)\Sigma \frac{1}{N}(\sum_{i1}^{N}x_ix_i^T)ΣN1(i1∑NxixiT) 在进行主成分分析时我们假设某一维度所包含的信息量与该维度数据的方差是呈正相关的因此主成分分析问题就转化成了最大值问题使用拉格朗日乘数法找到使方差最大化的剩余维度: Li1′TΣi1−λ(i1′Ti1′−1)L i{_1}^T \Sigma i_1 - \lambda(i{_1}^T i{_1} - 1)Li1′TΣi1−λ(i1′Ti1′−1) ∂L∂i1′0即Σi1′λi1′\frac{\partial L}{\partial i{_1}} 0 即 \Sigma i{_1} \lambda {i_1}∂i1′∂L0即Σi1′λi1′
其中i1′i{_1}i1′ 和 λ\lambdaλ 分别是数据协方差矩阵的特征向量和对应的特征值。第一个投影维度对应协方差矩阵的第一个特征向量(特征值最大的特征向量)。第二个投影维度对应第二个特征向量以此类推我们可以得到一组对应特征值递减的特征向量。通过选出协方差矩阵的前K个特征向量我们就能选出包含信息量最大的主成分维度实现对原始数据的降噪排除掉高维度的干扰使得后续的数据分析成果更稳定。
Tips : 协方差矩阵是对称构成的且至少是半正定矩阵因此其所有的特征向量都是实数所有的特征值都是正数或0所有的特征向量互相垂直不相关。
