南京有制作网站的吗,网站建设模式化的体现,建酒店网站,做写手一般上什么网站好注#xff1a;本文为 “线性代数 矩阵 | 秩” 相关合辑。 图片清晰度受引文原图所限。 略作重排#xff0c;未全校去重。 如有内容异常#xff0c;请看原文。 矩阵的秩及其应用
一、矩阵秩的基本概念
#xff08;一#xff09;k 阶子式
设矩阵 A(aij)mnA (a_{ij})_{m…注本文为 “线性代数 · 矩阵 | 秩” 相关合辑。 图片清晰度受引文原图所限。 略作重排未全校去重。 如有内容异常请看原文。 矩阵的秩及其应用
一、矩阵秩的基本概念
一k 阶子式
设矩阵 A(aij)m×nA (a_{ij})_{m \times n}A(aij)m×n在矩阵 AAA 中任意选取 kkk 行1≤k≤m1 \leq k \leq m1≤k≤m和 kkk 列1≤k≤n1 \leq k \leq n1≤k≤n将位于这些行与列交叉处的 k2k^2k2 个元素按原有的相对位置组成一个 kkk 阶行列式该行列式称为矩阵 AAA 的一个 k 阶子式。
对于 m×nm \times nm×n 矩阵 AAAkkk 阶子式的总数为组合数 Cmk×Cnk\mathrm{C}_{m}^{k} \times \mathrm{C}_{n}^{k}Cmk×Cnk其中 Cnkn!k!(n−k)!\mathrm{C}_{n}^{k} \frac{n!}{k!(n - k)!}Cnkk!(n−k)!n! 表示从 nnn 个元素中选取 kkk 个元素的组合数。
示例设矩阵 A(123413411412)A \begin{pmatrix} 1 2 3 4 \\ 1 3 4 1 \\ 1 4 1 2 \end{pmatrix}A111234341412
选取第 1、2 行和第 2、4 列交叉处元素组成的 2 阶子式为 D2′∣2431∣D_2 \begin{vmatrix} 2 4 \\ 3 1 \end{vmatrix}D2′2341选取第 1、3 行和第 1、3 列交叉处元素组成的 2 阶子式为 D2′′∣1311∣D_2 \begin{vmatrix} 1 3 \\ 1 1 \end{vmatrix}D2′′1131该矩阵的 2 阶子式总数为 C32×C423×618\mathrm{C}_{3}^{2} \times \mathrm{C}_{4}^{2} 3 \times 6 18C32×C423×6183 阶子式总数为 C33×C431×44\mathrm{C}_{3}^{3} \times \mathrm{C}_{4}^{3} 1 \times 4 4C33×C431×44。
二矩阵秩的定义
设矩阵 A(aij)m×nA (a_{ij})_{m \times n}A(aij)m×n若存在一个 rrr 阶子式不为 000且所有 r1r 1r1 阶子式若存在全为 000则称 rrr 为矩阵 AAA 的秩记作 R(A)R(A)R(A) 或 rank(A)\mathrm{rank}(A)rank(A)。
特殊规定零矩阵所有元素均为 000 的矩阵的秩为 000即 R(0)0R(0) 0R(0)0。
重要结论
对任意 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA必有 0≤R(A)≤min{m,n}0 \leq R(A) \leq \min\{m, n\}0≤R(A)≤min{m,n}若 nnn 阶方阵 AAA 的秩 R(A)nR(A) nR(A)n则称 AAA 为 满秩矩阵或非奇异矩阵此时 det(A)≠0\det(A) \neq 0det(A)0det(A)\det(A)det(A) 表示矩阵 AAA 的行列式若 nnn 阶方阵 AAA 的秩 R(A)nR(A) nR(A)n则称 AAA 为 降秩矩阵或奇异矩阵此时 det(A)0\det(A) 0det(A)0。
三秩的等价描述
矩阵的秩本质反映了矩阵中行或列向量的线性无关性具体等价描述如下
行秩矩阵 AAA 的行向量组中线性无关的行向量的最大个数列秩矩阵 AAA 的列向量组中线性无关的列向量的最大个数定理对任意矩阵 AAA其行秩 列秩 秩即 R(A)行秩列秩R(A) \text{行秩} \text{列秩}R(A)行秩列秩。
二、矩阵秩的计算方法
一子式判别法定义法
根据矩阵秩的定义通过寻找“最高阶非零子式”来确定秩步骤如下
从低阶子式开始计算先判断 1 阶子式即矩阵元素是否全为 000若全为 000则 R(A)0R(A) 0R(A)0若存在非零 1 阶子式继续判断 2 阶子式若存在非零 2 阶子式继续判断 3 阶子式以此类推找到最大的 rrr使得存在非零 rrr 阶子式且所有 r1r 1r1 阶子式全为 000则 R(A)rR(A) rR(A)r。
示例 1求矩阵 A(123001010010)A \begin{pmatrix} 1 2 3 0 \\ 0 1 0 1 \\ 0 0 1 0 \end{pmatrix}A100210301010 的秩
选取第 1、2、3 行和第 1、2、3 列组成的 3 阶子式为 ∣123010001∣1≠0\begin{vmatrix} 1 2 3 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{vmatrix} 1 \neq 010021030110矩阵 AAA 为 3×43 \times 43×4 矩阵不存在 4 阶子式因此 R(A)3R(A) 3R(A)3。
示例 2求矩阵 D(125034000)D \begin{pmatrix} 1 2 5 \\ 0 3 4 \\ 0 0 0 \end{pmatrix}D100230540 的秩
1 阶子式如元素 111、222、555 等非零2 阶子式如 ∣1203∣3≠0\begin{vmatrix} 1 2 \\ 0 3 \end{vmatrix} 3 \neq 0102330非零所有 3 阶子式仅 1 个即矩阵 DDD 的行列式为 ∣125034000∣0\begin{vmatrix} 1 2 5 \\ 0 3 4 \\ 0 0 0 \end{vmatrix} 01002305400因此 R(D)2R(D) 2R(D)2原内容此处写为 R(A)R(A)R(A)属于符号混淆已修正为 R(D)R(D)R(D)。
二初等变换法最常用方法
1. 重要定理
矩阵的初等变换行变换或列变换不改变矩阵的秩即若矩阵 AAA 经过初等变换化为矩阵 BBB则 R(A)R(B)R(A) R(B)R(A)R(B)。
初等变换的类型
行变换 交换两行记为 ri↔rjr_i \leftrightarrow r_jri↔rj用非零常数 kkk 乘某一行记为 krik r_ikrik≠0k \neq 0k0某一行的 kkk 倍加到另一行记为 rikrjr_i k r_jrikrj。 列变换 交换两列记为 ci↔cjc_i \leftrightarrow c_jci↔cj用非零常数 kkk 乘某一列记为 kcik c_ikcik≠0k \neq 0k0某一列的 kkk 倍加到另一列记为 cikcjc_i k c_jcikcj。
2. 行阶梯形矩阵的定义
满足以下两个条件的矩阵称为 行阶梯形矩阵
全零行所有元素均为 000 的行位于矩阵的下方非零行的第一个非零元素称为“主元”的列序数从上到下严格递增。
示例(102−401−120000)\begin{pmatrix} 1 0 2 -4 \\ 0 1 -1 2 \\ 0 0 0 0 \end{pmatrix}1000102−10−420 是行阶梯形矩阵主元分别在第 1 列、第 2 列列序数递增全零行在最下方。
3. 计算步骤
对矩阵 AAA 施行初等行变换将其化为行阶梯形矩阵 BBB行阶梯形矩阵 BBB 中非零行的行数即为矩阵 AAA 的秩R(A)非零行数R(A) \text{非零行数}R(A)非零行数。
示例 1求矩阵 A(102−4213−6−1−1−12)A \begin{pmatrix} 1 0 2 -4 \\ 2 1 3 -6 \\ -1 -1 -1 2 \end{pmatrix}A12−101−123−1−4−62 的秩
第一步消去第 1 列下方元素以第 1 行第 1 列元素 111 为主元 A→r2−2r1(102−401−12−1−1−12)→r3r1(102−401−120−11−2)A \xrightarrow{r_2 - 2 r_1} \begin{pmatrix} 1 0 2 -4 \\ 0 1 -1 2 \\ -1 -1 -1 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 r_1} \begin{pmatrix} 1 0 2 -4 \\ 0 1 -1 2 \\ 0 -1 1 -2 \end{pmatrix}Ar2−2r110−101−12−1−1−422r3r110001−12−11−42−2第二步消去第 2 列下方元素以第 2 行第 2 列元素 111 为主元 →r3r2(102−401−120000)\xrightarrow{r_3 r_2} \begin{pmatrix} 1 0 2 -4 \\ 0 1 -1 2 \\ 0 0 0 0 \end{pmatrix}r3r21000102−10−420行阶梯形矩阵中非零行的行数为 222因此 R(A)2R(A) 2R(A)2。
示例 2求矩阵 A(4−2112−2−18−7214−13)A \begin{pmatrix} 4 -2 1 \\ 1 2 -2 \\ -1 8 -7 \\ 2 14 -13 \end{pmatrix}A41−12−228141−2−7−13 的秩
第一步交换第 1、2 行使第 1 列主元为 111简化计算 A→r1↔r2(12−24−21−18−7214−13)A \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 1 2 -2 \\ 4 -2 1 \\ -1 8 -7 \\ 2 14 -13 \end{pmatrix}Ar1↔r214−122−2814−21−7−13第二步消去第 1 列下方元素 →r2−4r1(12−20−109−18−7214−13)→r3r1(12−20−109010−9214−13)→r4−2r1(12−20−109010−9010−9)\xrightarrow{r_2 - 4 r_1} \begin{pmatrix} 1 2 -2 \\ 0 -10 9 \\ -1 8 -7 \\ 2 14 -13 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 r_1} \begin{pmatrix} 1 2 -2 \\ 0 -10 9 \\ 0 10 -9 \\ 2 14 -13 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_4 - 2 r_1} \begin{pmatrix} 1 2 -2 \\ 0 -10 9 \\ 0 10 -9 \\ 0 10 -9 \end{pmatrix}r2−4r110−122−10814−29−7−13r3r110022−101014−29−9−13r4−2r110002−101010−29−9−9第三步消去第 2 列下方元素 →r3r2(12−20−109000010−9)→r4r2(12−20−109000000)\xrightarrow{r_3 r_2} \begin{pmatrix} 1 2 -2 \\ 0 -10 9 \\ 0 0 0 \\ 0 10 -9 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_4 r_2} \begin{pmatrix} 1 2 -2 \\ 0 -10 9 \\ 0 0 0 \\ 0 0 0 \end{pmatrix}r3r210002−10010−290−9r4r210002−1000−2900行阶梯形矩阵中非零行的行数为 222因此 R(A)2R(A) 2R(A)2。
三含参数矩阵的秩需分类讨论
当矩阵中含参数时需根据参数的取值判断最高阶非零子式的阶数进而确定秩。
示例设矩阵 A(1−1123λ−1253μ6)A \begin{pmatrix} 1 -1 1 2 \\ 3 \lambda -1 2 \\ 5 3 \mu 6 \end{pmatrix}A135−1λ31−1μ226且 R(A)2R(A) 2R(A)2求 λ\lambdaλ 和 μ\muμ 的值
第一步对 AAA 施行初等行变换化为行阶梯形 A→r2−3r1(1−1120λ3−4−453μ6)→r3−5r1(1−1120λ3−4−408μ−5−4)A \xrightarrow{r_2 - 3 r_1} \begin{pmatrix} 1 -1 1 2 \\ 0 \lambda 3 -4 -4 \\ 5 3 \mu 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 5 r_1} \begin{pmatrix} 1 -1 1 2 \\ 0 \lambda 3 -4 -4 \\ 0 8 \mu - 5 -4 \end{pmatrix}Ar2−3r1105−1λ331−4μ2−46r3−5r1100−1λ381−4μ−52−4−4第二步由 R(A)2R(A) 2R(A)2 可知行阶梯形矩阵中第 3 行需为全零行因此第 2、3 行对应元素成比例 即 λ38−4μ−5−4−4\frac{\lambda 3}{8} \frac{-4}{\mu - 5} \frac{-4}{-4}8λ3μ−5−4−4−4第三步求解比例方程 由 −4−41\frac{-4}{-4} 1−4−41得 λ38×1⟹λ5\lambda 3 8 \times 1 \implies \lambda 5λ38×1⟹λ5−4(μ−5)×1⟹μ1-4 (\mu - 5) \times 1 \implies \mu 1−4(μ−5)×1⟹μ1因此当 λ5\lambda 5λ5 且 μ1\mu 1μ1 时R(A)2R(A) 2R(A)2。
三、矩阵化简的形式与方法
一矩阵化简的基本原理
矩阵化简通过初等变换行变换或列变换实现初等变换不改变矩阵的秩是计算秩、求解线性方程组的关键工具。常见化简目标包括行阶梯形、行简化行阶梯形、列阶梯形及等价标准形不同形式适用于不同场景。
二常见化简形式及规则
1. 行阶梯形Row Echelon Form, REF
REF 是“阶梯状”的基础化简形式需满足以下 4 条规则
全零行位于矩阵最下方非零行的第一个非零元素称为“主元”的列索引严格大于上一行主元的列索引形成“阶梯”结构主元下方的所有元素全为 000主元可为任意非零数无需强制为 111。
示例主元用橙色标注 (23570−14200030000)\begin{pmatrix} \color{orange}{2} 3 5 7 \\ 0 \color{orange}{-1} 4 2 \\ 0 0 0 \color{orange}{3} \\ 0 0 0 0 \end{pmatrix} 20003−10054007230
用途快速判断矩阵的秩非零行数 秩初步求解线性方程组需后续“回代”步骤。 注意一个矩阵的 REF 不唯一主元可缩放不同初等行变换可能得到不同 REF。
2. 行简化行阶梯形Reduced Row Echelon Form, RREF
RREF 是 REF 的“最简形式”在 REF 规则基础上额外满足 2 条严格规则
所有主元的值必为 111主元上方的所有元素全为 000即主元列仅主元为 111其余元素均为 000。
示例将上述 REF 化为 RREF主元用橙色标注 (1017/2001−4000010000)\begin{pmatrix} \color{orange}{1} 0 17/2 0 \\ 0 \color{orange}{1} -4 0 \\ 0 0 0 \color{orange}{1} \\ 0 0 0 0 \end{pmatrix} 1000010017/2−4000010
重要性质一个矩阵的 RREF 是唯一的无论采用何种初等行变换最终结果完全相同。 用途直接读取线性方程组的解无需回代确定矩阵的主元列对应列空间的基判断向量组的线性相关性。
3. 列阶梯形Column Echelon Form, CEF
CEF 与 REF 逻辑对称通过初等列变换实现需满足以下 4 条规则
全零列位于矩阵最右侧非零列的第一个非零元素称为“列主元”的行索引严格大于左一列列主元的行索引列主元右侧的所有元素全为 000列主元可为任意非零数无需强制为 111。
示例列主元用橙色标注 (20003−10054007230)\begin{pmatrix} \color{orange}{2} 0 0 0 \\ 3 \color{orange}{-1} 0 0 \\ 5 4 0 0 \\ 7 2 \color{orange}{3} 0 \end{pmatrix} 23570−14200030000
用途分析矩阵的行空间非零行是行空间的基计算矩阵的左逆当矩阵列满秩时。
4. 等价标准形相抵标准形
若同时允许初等行变换和初等列变换任意 m×nm \times nm×n 矩阵可化为唯一的“等价标准形”形式为 E(Ir0r×(n−r)0(m−r)×r0(m−r)×(n−r))\mathbf{E} \begin{pmatrix} \mathbf{I}_r \mathbf{0}_{r \times (n-r)} \\ \mathbf{0}_{(m-r) \times r} \mathbf{0}_{(m-r) \times (n-r)} \end{pmatrix} E(Ir0(m−r)×r0r×(n−r)0(m−r)×(n−r)) 其中
m,nm, nm,n 分别为原矩阵的行数和列数rR(A)r R(A)rR(A)矩阵的秩Ir\mathbf{I}_rIr 为 rrr 阶单位矩阵0\mathbf{0}0 为对应维度的零矩阵。
示例秩为 222 的 3×43 \times 43×4 矩阵的等价标准形 (100001000000)\begin{pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 0 0 \end{pmatrix} 100010000000
用途判断两个矩阵是否“等价”若两个矩阵的等价标准形相同则二者等价简化矩阵的秩与行列式计算。
三矩阵化简的应用场景总结
为清晰区分不同化简形式的适用场景下表梳理了重要信息
化简目标推荐化简形式操作方式典型用途快速计算矩阵的秩行阶梯形REF初等行变换初步分析矩阵的有效维度判断向量组线性相关性求解线性方程组行简化行阶梯形RREF初等行变换直接读取唯一解或无穷解的通解无需回代确定列空间的基行简化行阶梯形RREF初等行变换主元列对应原矩阵的列向量构成列空间的基确定行空间的基列阶梯形CEF初等列变换主元行对应原矩阵的行向量构成行空间的基判断两个矩阵是否等价等价标准形初等行变换 初等列变换比较两个矩阵的结构相似度验证是否可通过初等变换互化
四、矩阵秩的性质
设 AAA、BBB 为任意矩阵kkk 为非零常数nnn 为方阵的阶数则矩阵的秩满足以下性质下表结合“性质内容”与“直观说明”展开
性质序号性质内容说明1R(AT)R(A)R(A^T) R(A)R(AT)R(A)转置后秩不变矩阵的行秩 列秩转置后行与列互换秩的本质线性无关向量的最大个数不变2R(A)≤min{m,n}R(A) \leq \min\{m, n\}R(A)≤min{m,n}AAA 为 m×nm \times nm×n 矩阵秩反映矩阵的“有效维度”无法超过矩阵的行数行向量最大可能无关个数或列数列向量最大可能无关个数3R(kA)R(A)R(kA) R(A)R(kA)R(A)k≠0k \neq 0k0非零常数 kkk 仅缩放矩阵元素不改变子式的“非零性”非零子式缩放后仍非零零子式缩放后仍为零4R(A)0⟺A0R(A) 0 \iff A 0R(A)0⟺A0零矩阵的充要条件零矩阵所有子式均为 000故秩为 000若 R(A)0R(A)0R(A)0则无任何非零子式矩阵必为零矩阵5R(AB)≤R(A)R(B)R(A B) \leq R(A) R(B)R(AB)≤R(A)R(B)和的秩不超过秩的和矩阵 ABA BAB 的行向量可由 AAA 和 BBB 的行向量组线性表示因此其线性无关向量的最大个数不超过两组向量无关个数之和6R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB) \leq \min\{R(A), R(B)\}R(AB)≤min{R(A),R(B)}乘积的秩不超过因子矩阵的秩ABABAB 的列向量可由 AAA 的列向量线性表示故 R(AB)≤R(A)R(AB) \leq R(A)R(AB)≤R(A)行向量可由 BBB 的行向量线性表示故 R(AB)≤R(B)R(AB) \leq R(B)R(AB)≤R(B)因此取最小值7R(A)R(B)−n≤R(AB)R(A) R(B) - n \leq R(AB)R(A)R(B)−n≤R(AB)Sylvester 不等式对 nnn 阶方阵 AAA、BBB乘积的秩存在下界反映了因子矩阵秩与乘积矩阵秩的“关联约束”可用于证明矩阵可逆性等问题8若 AAA 为 nnn 阶可逆矩阵则 R(AB)R(B)R(AB) R(B)R(AB)R(B)R(BA)R(B)R(BA) R(B)R(BA)R(B)可逆矩阵可通过初等变换化为单位阵而初等变换不改变矩阵的秩因此 AAA 的可逆性不影响 BBB 的秩传递
五、矩阵秩的应用
矩阵的秩是连接“矩阵结构”与“线性代数问题”的桥梁以下从四个典型场景展开结合示例说明其应用逻辑
一判断线性方程组的解
对于线性方程组 AxbA \boldsymbol{x} \boldsymbol{b}AxbAAA 为 m×nm \times nm×n 系数矩阵A‾(A∣b)\overline{A} (A \mid \boldsymbol{b})A(A∣b) 为增广矩阵解的存在性与唯一性完全由 R(A)R(A)R(A) 和 R(A‾)R(\overline{A})R(A) 的关系决定重要结论如下
无解R(A)R(A‾)R(A) R(\overline{A})R(A)R(A)增广矩阵的秩比系数矩阵多 111对应矛盾方程 0d≠00 d \neq 00d0即“约束条件冲突”唯一解R(A)R(A‾)nR(A) R(\overline{A}) nR(A)R(A)n秩等于未知数个数无自由变量即“约束条件恰好确定唯一解”无穷多解R(A)R(A‾)nR(A) R(\overline{A}) nR(A)R(A)n秩小于未知数个数存在自由变量即“约束条件不足解有多个”。
示例判断方程组 {x14x27x312x15x28x323x16x29x33\begin{cases} x_1 4 x_2 7 x_3 1 \\ 2 x_1 5 x_2 8 x_3 2 \\ 3 x_1 6 x_2 9 x_3 3 \end{cases}⎩⎨⎧x14x27x312x15x28x323x16x29x33 的解
第一步构造增广矩阵 A‾(147125823693)\overline{A} \begin{pmatrix} 1 4 7 1 \\ 2 5 8 2 \\ 3 6 9 3 \end{pmatrix}A123456789123第二步初等行变换化为行阶梯形 A‾→r2−2r1(14710−3−603693)→r3−3r1(14710−3−600−6−120)→r3−2r2(14710−3−600000)\overline{A} \xrightarrow{r_2 - 2 r_1} \begin{pmatrix} 1 4 7 1 \\ 0 -3 -6 0 \\ 3 6 9 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 3 r_1} \begin{pmatrix} 1 4 7 1 \\ 0 -3 -6 0 \\ 0 -6 -12 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 2 r_2} \begin{pmatrix} 1 4 7 1 \\ 0 -3 -6 0 \\ 0 0 0 0 \end{pmatrix}Ar2−2r11034−367−69103r3−3r11004−3−67−6−12100r3−2r21004−307−60100第三步分析秩的关系R(A)2R(A) 2R(A)2R(A‾)2R(\overline{A}) 2R(A)2且未知数个数 n3n 3n3满足 R(A)R(A‾)nR(A) R(\overline{A}) nR(A)R(A)n因此方程组有无穷多解。
二判断向量组的线性相关性
设向量组 α1,α2,…,αs\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_sα1,α2,…,αs 构成矩阵 AAA列向量组构成 A(α1,α2,…,αs)A (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)A(α1,α2,…,αs)行向量组构成 A(α1Tα2T…αsT)A \begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \dots \\ \alpha_s^T \end{pmatrix}Aα1Tα2T…αsT则向量组的线性相关性与 R(A)R(A)R(A) 的关系为
若 R(A)sR(A) sR(A)s则向量组 线性无关矩阵的秩等于向量个数所有向量均可作为“有效约束”无冗余若 R(A)sR(A) sR(A)s则向量组 线性相关矩阵的秩小于向量个数存在冗余向量可由其他向量线性表示。
示例判断向量组 α1(1,2,3)T\alpha_1 (1, 2, 3)^Tα1(1,2,3)Tα2(2,5,8)T\alpha_2 (2, 5, 8)^Tα2(2,5,8)Tα3(3,6,9)T\alpha_3 (3, 6, 9)^Tα3(3,6,9)T 的线性相关性
构造矩阵 A(α1,α2,α3)(123256389)A (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 2 5 6 \\ 3 8 9 \end{pmatrix}A(α1,α2,α3)123258369初等行变换化为行阶梯形A→r2−2r1(123010389)→r3−3r1(123010020)→r3−2r2(123010000)A \xrightarrow{r_2 - 2 r_1} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 1 0 \\ 3 8 9 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 3 r_1} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 1 0 \\ 0 2 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 2 r_2} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 1 0 \\ 0 0 0 \end{pmatrix}Ar2−2r1103218309r3−3r1100212300r3−2r2100210300得 R(A)23R(A) 2 3R(A)23向量个数因此向量组线性相关。
三判断矩阵的可逆性
对 nnn 阶方阵 AAA“可逆性”与“秩”紧密关联以下条件完全等价可互相推导
AAA 可逆存在逆矩阵 A−1A^{-1}A−1满足 AA−1A−1AInA A^{-1} A^{-1} A \mathbf{I}_nAA−1A−1AInAAA 为满秩矩阵R(A)nR(A) nR(A)n即矩阵无冗余行/列有效维度等于阶数det(A)≠0\det(A) \neq 0det(A)0行列式非零对应“最高阶子式非零”符合满秩定义AAA 可通过初等行变换化为单位阵 In\mathbf{I}_nIn初等变换不改变秩单位阵秩为 nnn故 AAA 秩也为 nnn。
示例设 A(123212312)A \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 2 1 2 \\ 3 1 2 \end{pmatrix}A123211322验证 AAA 可逆并化为单位阵
第一步计算 R(A)R(A)R(A) A→r2−2r1(1230−3−4312)→r3−3r1(1230−3−40−5−7)→r3−53r2(1230−3−400−13)A \xrightarrow{r_2 - 2 r_1} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 -3 -4 \\ 3 1 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 3 r_1} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 -3 -4 \\ 0 -5 -7 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - \frac{5}{3} r_2} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 -3 -4 \\ 0 0 -\frac{1}{3} \end{pmatrix}Ar2−2r11032−313−42r3−3r11002−3−53−4−7r3−35r21002−303−4−31行阶梯形中非零行数为 3n3 n3n阶数故 R(A)3R(A) 3R(A)3AAA 可逆第二步继续化为单位阵 →r3×(−3)(1230−3−4001)→r24r3(1230−30001)→r2×(−13)(123010001)→r1−3r3(120010001)→r1−2r2(100010001)I3\xrightarrow{r_3 \times (-3)} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 -3 -4 \\ 0 0 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 4 r_3} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 -3 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \times (-\frac{1}{3})} \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 - 3 r_3} \begin{pmatrix} 1 2 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 - 2 r_2} \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix} \mathbf{I}_3r3×(−3)1002−303−41r24r31002−30301r2×(−31)100210301r1−3r3100210001r1−2r2100010001I3。
四数据降维和信息压缩
在机器学习、信号处理等领域矩阵的秩反映“数据冗余度”低秩矩阵R(A)≪min{m,n}R(A) \ll \min\{m, n\}R(A)≪min{m,n}表示数据存在大量冗余可通过“保留核心信息、剔除冗余”实现降维与压缩典型应用为奇异值分解SVD 和主成分分析PCA。
逻辑对矩阵 AAA 进行奇异值分解得 AUΣVTA U \Sigma V^TAUΣVT其中 Σ\SigmaΣ 为对角矩阵对角元素奇异值按从大到小排列取前 rrr 个非零奇异值rR(A)r R(A)rR(A)对应的子矩阵可得到原矩阵的低秩逼近 ArUrΣrVrTA_r U_r \Sigma_r V_r^TArUrΣrVrT实现用 r(mn−r)r(m n - r)r(mn−r) 个元素表示原 m×nm \times nm×n 矩阵大幅减少存储量。示例图片压缩。灰度图片可表示为 m×nm \times nm×n 矩阵元素为像素灰度值若矩阵秩 rrr 远小于 mmm 和 nnn用低秩逼近矩阵 ArA_rAr 替代原矩阵视觉上几乎无差异但存储量显著降低。
六、特殊矩阵的秩
部分结构特殊的矩阵其秩可直接通过“直观特征”计算无需复杂变换以下列举两类典型矩阵
一三角矩阵
三角矩阵分为上三角矩阵和下三角矩阵其秩由“主对角线元素”直接决定
上三角矩阵主对角线下方元素全为 000(a11a12…a1n0a22…a2n⋮⋮⋱⋮00…ann)\begin{pmatrix} a_{11} a_{12} \dots a_{1n} \\ 0 a_{22} \dots a_{2n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ 0 0 \dots a_{nn} \end{pmatrix}a110⋮0a12a22⋮0……⋱…a1na2n⋮ann下三角矩阵主对角线上方元素全为 000(a110…0a21a22…0⋮⋮⋱⋮an1an2…ann)\begin{pmatrix} a_{11} 0 \dots 0 \\ a_{21} a_{22} \dots 0 \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{n1} a_{n2} \dots a_{nn} \end{pmatrix}a11a21⋮an10a22⋮an2……⋱…00⋮ann秩的计算规则三角矩阵的秩等于主对角线上非零元素的个数。 原因三角矩阵的行列式为“主对角线元素乘积”最高阶非零子式的阶数由非零对角元素的个数决定。
示例上三角矩阵 A(23500400−1)A \begin{pmatrix} 2 3 5 \\ 0 0 4 \\ 0 0 -1 \end{pmatrix}A20030054−1主对角线元素为 2,0,−12, 0, -12,0,−1非零个数为 222故 R(A)2R(A) 2R(A)2。
二对角矩阵
对角矩阵是特殊的三角矩阵主对角线外元素全为 000形式为(a110…00a22…0⋮⋮⋱⋮00…ann)\begin{pmatrix} a_{11} 0 \dots 0 \\ 0 a_{22} \dots 0 \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ 0 0 \dots a_{nn} \end{pmatrix}a110⋮00a22⋮0……⋱…00⋮ann
秩的计算规则对角矩阵的秩等于对角线上非零元素的个数与三角矩阵规则一致因对角矩阵同时属于上三角矩阵和下三角矩阵。
示例对角矩阵 B(−300000005)B \begin{pmatrix} -3 0 0 \\ 0 0 0 \\ 0 0 5 \end{pmatrix}B−300000005对角线上非零元素为 −3-3−3 和 555共 222 个故 R(B)2R(B) 2R(B)2。
七、MATLAB 计算矩阵秩的代码实现
在 MATLAB 中可直接使用内置函数 rank() 快速计算矩阵的秩其底层通过奇异值分解SVD实现能有效避免数值误差对结果的影响。以下为具体实现步骤与示例
% 1. 定义矩阵 A以 3×3 矩阵为例
A [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];% 2. 计算矩阵 A 的秩
rank_A rank(A);% 3. 显示结果
disp([矩阵 A 的秩为: , num2str(rank_A)]);运行结果矩阵 A 的秩为: 2与通过初等变换手动计算的结果一致。
说明
rank() 函数的逻辑是对矩阵进行奇异值分解得到奇异值后将小于某个阈值默认约为 10−1510^{-15}10−15的奇异值视为 000非零奇异值的个数即为矩阵的秩阈值可通过函数参数调整例如 rank(A, tol) 中 tol 为自定义阈值适用于对数值精度有特殊要求的场景该函数适用于任意维度的矩阵包括非方阵是工程计算中高效可靠的秩计算工具。
八、例题解析矩阵秩的应用
一题目
已知行简化行阶梯形矩阵 A(120400130000)A \begin{pmatrix} 1 2 0 4 \\ 0 0 1 3 \\ 0 0 0 0 \end{pmatrix}A100200010430完成以下任务
求 AAA 的秩求 AAA 的行秩并验证其与秩的关系求 AAA 的列秩并验证其与秩的关系。
二解答过程
1. 求矩阵 AAA 的秩
根据“行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数”这一结论
矩阵 AAA 中非零行包括第 1 行 (1204)\begin{pmatrix} 1 2 0 4 \end{pmatrix}(1204) 和第 2 行 (0013)\begin{pmatrix} 0 0 1 3 \end{pmatrix}(0013)共 222 行零行仅第 3 行 (0000)\begin{pmatrix} 0 0 0 0 \end{pmatrix}(0000)且位于所有非零行下方符合行阶梯形结构。
因此R(A)2R(A) 2R(A)2。
2. 求矩阵 AAA 的行秩
矩阵 AAA 的行向量组为 α1(1,2,0,4),α2(0,0,1,3),α3(0,0,0,0)\alpha_1 (1, 2, 0, 4),\ \alpha_2 (0, 0, 1, 3),\ \alpha_3 (0, 0, 0, 0)α1(1,2,0,4), α2(0,0,1,3), α3(0,0,0,0)
行秩是“行向量组中线性无关的最大向量个数”分析如下
线性无关性验证假设存在常数 k1,k2k_1, k_2k1,k2 使得 k1α1k2α20k_1\alpha_1 k_2\alpha_2 \boldsymbol{0}k1α1k2α20零向量展开得 (k1,2k1,k2,4k13k2)(0,0,0,0)(k_1, 2k_1, k_2, 4k_1 3k_2) (0, 0, 0, 0)(k1,2k1,k2,4k13k2)(0,0,0,0) 解得 k10k_1 0k10 且 k20k_2 0k20故 α1,α2\alpha_1, \alpha_2α1,α2 线性无关最大性验证零向量 α3\alpha_3α3 可由 α1,α2\alpha_1, \alpha_2α1,α2 线性表示α30⋅α10⋅α2\alpha_3 0 \cdot \alpha_1 0 \cdot \alpha_2α30⋅α10⋅α2因此行向量组中线性无关的最大向量个数为 222。
因此AAA 的行秩为 222且 R(A)行秩R(A) \text{行秩}R(A)行秩。
3. 求矩阵 AAA 的列秩
矩阵 AAA 的列向量组为 β1(100),β2(200),β3(010),β4(430)\beta_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \beta_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \beta_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \beta_4 \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}β1100, β2200, β3010, β4430
列秩是“列向量组中线性无关的最大向量个数”分析如下选取主元列 β1,β3\beta_1, \beta_3β1,β3 验证
线性无关性验证假设存在常数 l1,l3l_1, l_3l1,l3 使得 l1β1l3β30l_1\beta_1 l_3\beta_3 \boldsymbol{0}l1β1l3β30零向量展开得 (l1l30)(000)\begin{pmatrix} l_1 \\ l_3 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}l1l30000 解得 l10l_1 0l10 且 l30l_3 0l30故 β1,β3\beta_1, \beta_3β1,β3 线性无关最大性验证非主元列可由主元列线性表示 β22β10⋅β3\beta_2 2\beta_1 0 \cdot \beta_3β22β10⋅β3β44β13β3\beta_4 4\beta_1 3\beta_3β44β13β3因此列向量组中线性无关的最大向量个数为 222。
因此AAA 的列秩为 222且 R(A)列秩行秩R(A) \text{列秩} \text{行秩}R(A)列秩行秩。
三结论
通过例题验证矩阵的秩、行秩与列秩三者完全相等这一性质是矩阵理论的重要结论也是理解矩阵结构与向量组关系的关键。
九、总结
矩阵的秩是线性代数中刻画矩阵“本质维度”的重要概念其定义基于子式的非零性计算可通过子式判别法或更高效的初等变换法实现。矩阵的秩具有诸多重要性质如转置不变性、乘积秩的有界性等这些性质为分析矩阵关系提供了有力工具。
在应用层面矩阵的秩决定了线性方程组解的存在性与唯一性可判断向量组的线性相关性验证矩阵的可逆性同时在数据降维、信息压缩等领域有广泛应用。掌握矩阵秩的概念、计算方法与应用场景是学好线性代数的重要基础。 从两个角度看矩阵和向量相乘
Limi _zhihu
前提条件
设矩阵 AAA 与向量 xxx 进行乘法运算结果为向量 bbb其维度与 xxx 相同。进行此乘法运算的前提条件是矩阵 AAA 的列数等于向量 xxx 的行数。以下从两个方面探讨如何求得 bbb 行视角Row Aspect和列视角Column Aspect。
行视角Row Aspect 将矩阵 AAA 视作“行向量的堆叠”即 AAA 的每一行均为一个向量。则向量 bbb 的第 iii 个维度的值为 AAA 的第 iii 行向量与 xxx 作内积的结果即 bi(Ai,x)b_i (A_i, x)bi(Ai,x) 。内积运算要求两个向量的维度相同这也解释了矩阵与向量相乘时矩阵列数与向量行数需相等的原因。此外在矩阵 ×\times× 矩阵的运算中常采用的计算方法为矩阵 AAA 的第 iii 行与矩阵 BBB 的第 jjj 列相乘结果为 Ci,jC_{i,j}Ci,j 。矩阵 ×\times× 向量可视为矩阵 ×\times× 矩阵的特殊情形即右侧矩阵仅有一列。
列视角Column Aspect 将矩阵 AAA 视作“列向量的并列”即每一列均为一个向量。以向量 xxx 的第 iii 个元素乘以矩阵 AAA 的第 iii 个列向量可得到 nnn 个向量若矩阵 AAA 有 nnn 列。将这 nnn 个向量相加即得结果 bbb 表达式为
b∑i1nAi∗xib \sum_{i1}^{n} A_i \ast x_i bi1∑nAi∗xi
其中AiA_iAi 为列向量xix_ixi 为标量。此方法同样解释了矩阵列数与向量行数需相等的原因。该方法可视为对矩阵 AAA 的 nnn 个向量进行线性组合以得到新向量在某些情况下更易于理解。在 3b1b 的线性代数课程中有一种解释是将 AAA 的每个列向量视为向量空间的基向量向量 xxx 的每个值为对应基向量的投影长度。将每个投影长度与基向量相乘后再求和即可得到新向量。
总结与对比 综合来看列视角Column Aspect在理解矩阵与向量相乘方面更具优势具有重要的现实意义。
发布于 2022-08-04 17:14・广东 矩阵的秩以及行秩 列秩的原因
Limi _zhihu
在矩阵理论中矩阵的秩是一个重要概念广泛应用于多个数学分支。矩阵的秩定义为矩阵中线性无关行向量或列向量的最大数目。具体来说矩阵 AAA 的列秩是其线性无关列向量的最大数目而行秩是其线性无关行向量的最大数目。这两个定义是等价的即矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩。
用数学符号表示矩阵 AAA 的秩通常记作 r(A)r(A)r(A)、rk(A)\text{rk}(A)rk(A) 或 rank A\text{rank}\ Arank A。矩阵的秩反映了矩阵中线性无关向量的最大数量这一数量决定了矩阵的“厚度”或“维度”。
对于矩阵 Am×nA_{m \times n}Am×n可以将其视为由 nnn 个列向量组成的矩阵。每个列向量对应一个基底因此极大线性无关组的列向量个数矩阵的秩也称为列空间Column Space的维度。
在求解矩阵的秩时通常通过基本行变换将其转换为阶梯矩阵。在阶梯矩阵中每一行的第一个非零元素的列数依次向右移动全零行除外。即第 i1i 1i1 行的第一个非零元素位于第 iii 行第一个非零元素的右下方。矩阵的秩 rrr 等于阶梯矩阵中单位向量unit vector的个数。单位向量是指向量中只有一个元素为 1其余元素均为 0也称为基向量pivot column或标准向量standard vector类似于 one-hot 编码。例如[1,0,0][1, 0, 0][1,0,0] 和 [0,1,0][0, 1, 0][0,1,0] 均为单位向量。 如图所示左侧为原始矩阵右侧为阶梯矩阵。阶梯矩阵中有 3 个单位向量红色框标记因此列秩为 3。紫色向量为何不能计入矩阵的极大线性无关组呢因为其非零元素出现的位置并非对应行的第一个即在其左侧存在单位向量该向量可由其左侧的单位向量线性表示。例如图中的矩阵 [−1,0,1,0]−1×[1,0,0,0]0×[0,1,0,0]1×[0,0,1,0][-1, 0, 1, 0] -1 \times [1, 0, 0, 0] 0 \times [0, 1, 0, 0] 1 \times [0, 0, 1, 0][−1,0,1,0]−1×[1,0,0,0]0×[0,1,0,0]1×[0,0,1,0]。线性无关向量组中的向量不能相互表示因此紫色向量不能计入。
通过上述例子可知单位向量的特点是该向量中 1 的位置是其所在行的第一个非零元素。阶梯矩阵中单位向量的个数即为矩阵的秩。进一步分析可得“第一个出现的非零元素” 的个数等于非零行的行数即行秩。因此矩阵的行秩等于列秩。此外还可得出 rank(A)≤min{m,n}\text{rank}(A) \leq \min\{m, n\}rank(A)≤min{m,n}。
总结如下图 三种典型的子空间
列空间Column Space与行空间Row Space与零空间Null Space 对于零空间Null Space即 Ax0Ax 0Ax0 的基础解系构成的空间。以下是一个例子其中存在 2 个自由变量free variable可得两个基向量basis因此零空间的维度为 2。矩阵的秩为 3满足 rank(A)dimension(Null space)n\text{rank}(A) \text{dimension}(\text{Null space}) nrank(A)dimension(Null space)n。 具体分析如下共有 nnn 个变量其中 kkk 个为自由变量其余 n−kn - kn−k 个变量可直接确定。在由 kkk 个自由变量构成的 kkk 维空间中任取一个向量再与 n−kn - kn−k 个确定的值组合即可得到 Ax0Ax 0Ax0 的解。从另一个角度理解存在 kkk 个自由变量是因为在阶梯矩阵中有 kkk 个列向量可由其余 n−kn - kn−k 个基向量pivot columns线性表示。因此给定一组 n−kn - kn−k 个值即可求得一组 kkk 个值。综合所有情况可形成一个 kkk 维空间。
单位向量unit vector的重要作用
单位向量是指向量中仅有一个位置为 1其余位置均为 0。对于 nnn 维向量存在 nnn 个单位向量。按“1” 的位置从小到大排序分别为 e1,e2,e3,…,ene_1, e_2, e_3, \dots, e_ne1,e2,e3,…,en。其中e1[1,0,0,…,0]Te_1 [1, 0, 0, \dots, 0]^Te1[1,0,0,…,0]Te2[0,1,0,…,0]e_2 [0, 1, 0, \dots, 0]e2[0,1,0,…,0]…\dots…en[0,0,0,…,1]Te_n [0, 0, 0, \dots, 1]^Ten[0,0,0,…,1]T。
利用这些单位向量可“提取矩阵”。具体而言AeiA e_iAei 得到的向量是矩阵 AAA 的第 iii 列。以下是一个示例
[01−10][10][0−1][01−10][01][10]\begin{bmatrix} 0 1 \\-1 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\-1 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 1 \\-1 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix} [0−110][10][0−1][0−110][01][10]
矩阵与向量相乘可视为向量与其对应投影长度的乘积。单位向量 eie_iei 仅在第 iii 个位置为 1其余位置为 0因此只有矩阵 AAA 的第 iii 个列向量的投影长度为 1其余投影长度为 0从而可提取矩阵 AAA 的第 iii 列。
编辑于 2022-08-07 20:16 线性代数 —— 矩阵的列秩和行秩
原创于 2019-09-04 19:20:42 发布
1. 矩阵的列秩和行秩及秩的关系行秩 列秩 秩 2. 初等行变换不改变矩阵的线性相关性 3. 任一矩阵的秩、行秩和列秩相等 4. 求矩阵列向量组的秩及最大无关组示例 via: 矩阵秩的计算方法-CSDN博客 https://blog.csdn.net/edward_zcl/article/details/90177159 矩阵的秩及其求法-CSDN博客 https://blog.csdn.net/qq_55342245/article/details/120188405 什么是矩阵的秩矩阵的秩如何计算-CSDN博客 https://blog.csdn.net/weixin_44114030/article/details/143424474 从两个角度看矩阵和向量相乘 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/549884913 矩阵的秩以及为什么行秩列秩 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/550019600 线性代数学习笔记——矩阵的列秩和行秩_行秩和列秩怎么求-CSDN博客 https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/100545450
