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1 目标问题#xff1a; 什么是条件期望#xff1f; 条件期望有什么用#xff1f;
2 条件期望#xff0c;全期望公式
3 条件期望#xff0c;全期望公式 和 条件概率#xff0c;全概率公式的区别和联系
3.1 公式如下
3.2 区别和联系
3.3 概率和随机过程
4 有什…目录
1 目标问题 什么是条件期望 条件期望有什么用
2 条件期望全期望公式
3 条件期望全期望公式 和 条件概率全概率公式的区别和联系
3.1 公式如下
3.2 区别和联系
3.3 概率和随机过程
4 有什么用---可以解决很多递归的问题
4.1 使用前有个前提界定清楚你要求的随机变量的目标和类型
4.1.1 求的是次数还是数量
4.1.2 确定你要求的目标变量
4.2 例题1计算出去的 时间 步数 次数属于这一类问题
4.3 例题2求次数计算几何分布的期望
4.4 例题3求个数适合二项分布求成功的次数的期望
5 条件期望全期望公式和 马尔可夫转移 区别 1 目标问题 什么是条件期望 条件期望有什么用 这次先不说目标先引用一个小学数学题作为开头 Q:假设已知1班平均分是932班平均分是95那么两个班的平均分怎么算 错误算法: (9395)/294 除非两个班的学生数量一样否则就是错的这个不能用简单算术平均得用加权平均 正确算法 假设1班学生数量n1,平均分A193假设2班学生数量n2,平均分A295根据平均分的定义A0 总分数/总人数 (A1*n1 A2*n2)/(n1n2) n1/(n1n2)*A1 n2/(n1n2)*A2 系数1*A1系数2*A2 人数权重比例1*A1人数权重比例2*A2而权重 本班人数/ sum(所有班级人数和) 从这里引出了一个问题
Q1: 我们想知道总体的平均值当然可以直接用总体的数计算比如A0 总分数/总人数。但是如果我们已经知道了 总体的每个部分的平均值是否可以根据这些算出总体的平均值呢
A1: 答案是可以的前面这个例子已经看到是可以的总体均值 Σ部分均值*权重比例。
Q2: 接着问如果这个总体不是确定的而是一个随机变量比如我们要求的是这个随机变量的期望呢
A2: 那么权重比例就变成了随机变量的概率其实这个也就是 条件期望和全期望公式的内容
因此引出了我们要讨论的主题 类比 总体均值 Σ部分均值*权重比例全期望可以这么看E(X) ΣPi*E(X|Yi) 和上面是同一个表达方式E(X) E(E(X|Y))E(X) P1*E(X|Y1) ..... Pk*E(X|Yk) ΣPi*E(X|Yi)E(X) E(E(X|Y)) ΣPI*E(X|Yi) P1*E(X|Y1) ..... Pk*E(X|Yk) ,其中i属于(1,k) 2 条件期望全期望公式
下面不同写法的概念是不同的
step1: E(X) 是一个具体的数随机变量的数学期望随机变量的(概率)加权平均值具体的数step2: 因为在Yy1的前提下X还是有可能有几种情况假设也是x1,x2...xk所以条件期望 E(X|Yy1) Σxi*P(xi|Yy1) x1*P(x1|Yy1) x2*P(x2|Yy1) ...xk*P(xk|Yy1)step3: 而对于随机变量X,Y还有多个取值y1,y2....yj比如 E(X|Yy1) 本身还对应着一个概率 Pj. 因此可以求期望 E(E(X|Y)) ΣPI*E(X|Yj) P1*E(X|Y1) P2*E(X|Y2) .....Pj*E(X|Yj) 而实际上可证明E(E(X|Y))E(X)step4: 所以全期望公式 E(X) E(E(X|Y)) ΣPI*E(X|Yi) P1*E(X|Y1) P2*E(X|Y2) ..... Pj*E(X|Yj) ,其中i属于(1,j) 看下面的图理解
图是知乎的参考 zhuanlan.zhihu.com/p/612709393 3 条件期望全期望公式 和 条件概率全概率公式的区别和联系
3.1 公式如下
条件概率 P(A|B) P(AB) / P(B)全概率公式 P(A) P(AB1) * P(B1) P(AB2) * P(B2) ......P(ABn) * P(Bn)条件期望 E(X|Yy1) E(X|y1) Σxi*P(xi|Yy1)全期望公式 E(X) E(E(X|Y)) ΣPj*E(X|Yj) P1*E(X|Y1) ..... Pj*E(X|Yj) ,其中j属于(1,k) 3.2 区别和联系
条件概率全概率公式是用来求概率的条件期望全期望公式是用来求各种 随机变量的期望值而不是概率比如合成的平均次数合成的目标的平均数量... ... 等等。 3.3 概率和随机过程
概率一般是求 瞬时/切面的发生可能主要关注概率随机过程一般是求一个时间过程内的情况或一个时间过程后的情况可以关注概率次数数量。。。等等 4 有什么用---可以解决很多递归的问题
4.1 使用前有个前提界定清楚你要求的随机变量的目标和类型
4.1.1 求的是次数还是数量
条件期望和全期望公式之所以不如条件概率和全概率公式那么好理解是因为需要仔细理解好要分析的问题里目标--随机变量到底是什么
是希望知道多次随机之后随机变量的数量 是希望知道多次随机后达到某个状态所用的次数 有点类几何分布等等 4.1.2 确定你要求的目标变量
比如1个A有可能变成A,B,C,D对于的概率是0.5,0.2,0.2,0.1那么如果我们有100个A那么想问可以生成多少个D那么如果我们有100个A那么想问可以生成多少个C如果我想合成1个D需要多少次呢这都是不同的问题 4.2 例题1计算出去的 时间 步数 次数属于这一类问题 一个矿工被困矿井里面前可以打开3个门均等概率1个门回到外面花费3小时1个门回到现在地方花费5小时1个门回到现在地方花费7小时求问矿工回到外面平均需要时间设置X为矿工出去要花的时间E(X) 1/3* 3 1/3* (E(X)5)1/3* (E(X)7)3 E(X) 3 E(X)5 E(X)7E(X) 15 4.3 例题2求次数计算几何分布的期望 如果丢硬币 假设正面成功概率p, 反面失败概率1-p问直到成功1次的次数是多少同几何分布 可以直接用几何分布的概率和期望公式计算 几何分布概率 pdfp*(1-p)^n几何分布期望次数 E(X)1/p 也可以用 条件期望和全期望公式 令n为第1次出现正面的次数而Y表示单次实验的正反情况 E(N) P*E(N|Y1) (1-P)*E(N|Y0) 显然 E(N|Y1) 1因为既然 Y1了那就成功了那么次数N也就1而因为Y0了已经多了1次而每次试验都是独立了又开始重新试验E(N所以E(N|Y0) 1E(N 这就是递归的规律 E(N) P*1 (1-P)*(1E(N))E(N) P (1-P) (1-P)*E(NE(N) 1 (1-P)*E(NE(N) 1/p 这也是一个递归的问题 4.4 例题3求个数适合二项分布求成功的次数的期望 Q: 如果丢硬币 假设正面成功概率p, 反面失败概率1-p问直到丢100次平均有几次是成功呢(多少个正面) A: 只要 p不等于0且因为每次丢硬币都是独立的理论上每次都可能是正面/反面所以100次试验正面的次数可能是0100 那么平均会出现几次正面呢 不适合几何分布求最后1次成功的次数而二次分布看起来是合适的二项分布的概率是求成功K次的概率而二项分布的期望是np, 是k所有不同取值时*对应概率求和E(X)np 正好就是成功k次的平均次数。也可以用 条件期望和全期望公式 而Y表示单次实验的正反情况 一次试验时可能是正面的个数 E(N) P*E(N|Y1) (1-P)*E(N|Y0) E(N) P*1 (1-P)*0 如果E(N|Y1) ,因为既然 Y1了那就成功了那么这就有了1个正面的个数1 如果E(N|Y0) ,那就是这次生成了反面没有生成正面那么正面的个数就是0 这就是递归的规律 先看单次试验的E(N) P*1 (1-P)*0E(N) P 而N次试验是独立的所以n*E(N)np 5 条件期望全期望公式和 马尔可夫转移 区别
总结1
一般来说求次数求个数都可以用条件期望等。而马尔可夫链一般是用来求概率的当然也可以来求平均次数
总结2
条件期望全期望公式比马尔可夫链的适用性更广马尔可夫链的要求比较严格但是对适合处理的情况处理更快更方便。马尔可夫链只关注 n-1状态和n状态之间的关系马尔可夫链一般适合1个东西进行多状态之间切换一般不适合多变1等合成问题一般要求各个状态之间是等权重的步长相等不能被扭曲。而且如果状态数量太大好像马尔可夫链计算也很麻烦。
