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如果 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ ∣ ∣ x 2 ∣ ∣ ||x_1||||x_2|| ∣∣x1∣∣∣∣x2∣∣#xff0c;那么 ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) \phi(x_1)\phi(x_2) ϕ(x1)ϕ(x2) 的函数 ϕ \phi ϕ 就是径向函数#xff0c;即仅由 r ∣ ∣ x ∣ ∣ r||x|| r∣∣…一、径向基函数的定义
如果 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ ∣ ∣ x 2 ∣ ∣ ||x_1||||x_2|| ∣∣x1∣∣∣∣x2∣∣那么 ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) \phi(x_1)\phi(x_2) ϕ(x1)ϕ(x2) 的函数 ϕ \phi ϕ 就是径向函数即仅由 r ∣ ∣ x ∣ ∣ r||x|| r∣∣x∣∣ 控制的函数径向基函数是一个取值仅仅依赖于离原点距离的实值函数或者还可以是到任意一点 c c c 的距离。
给定一个一元函数 ϕ R → R \phiR_\rightarrow R ϕR→R在定义域 x ∈ R d x\in R^d x∈Rd 上所有形如 ψ ( x ) ϕ ( ∣ ∣ x − c ∣ ∣ ) \psi(x)\phi(||x-c||) ψ(x)ϕ(∣∣x−c∣∣) 及其线性组合张成的函数空间称为由函数 ϕ \phi ϕ 导出的径向基函数空间。
在一定的条件下只要取 { x j } \{x_j\} {xj} 两两不同 { ϕ ( x − x j ) } \{\phi(x-x_j)\} {ϕ(x−xj)} 就是线性无关的从而形成径向基函数空间中某子空间的一组基。当 { x j } \{x_j\} {xj} 几乎充满 R R R 时 { x j } \{x_j\} {xj} 几乎充满 R R R 时 { ϕ ( x − x j ) } \{\phi(x-x_j)\} {ϕ(x−xj)} 及其线性组合可以逼近几乎任何函数。
各类文献中常用的径向基函数有
Kriging 方法的 Gauss 分布函数 ϕ ( r ) e − c 2 r 2 \phi(r)e^{-c^2r^2} ϕ(r)e−c2r2Kriging 方法的 Markoff 分布函数 ϕ ( r ) e − c ∣ r ∣ \phi(r)e^{-c|r|} ϕ(r)e−c∣r∣及其他概率分布函数Hardy 的 Multi-Quadric 函数 ϕ ( r ) ( c 2 r 2 ) β \phi(r)(c^2r^2)^\beta ϕ(r)(c2r2)β其中 β \beta β 是正的实数Hardy 的逆 Multi-Quadric 函数 ϕ ( r ) ( c 2 r 2 ) − β \phi(r)(c^2r^2)^{-\beta} ϕ(r)(c2r2)−β其中 β \beta β 是正的实数Duchon 的薄板样条 d d d 为偶数时 ϕ ( r ) r 2 k − d log r \phi(r)r^{2k-d}\log r ϕ(r)r2k−dlogr d d d 为奇数时 ϕ ( r ) r 2 k − d \phi(r)r^{2k-d} ϕ(r)r2k−d
二、径向基函数插值
定义径向基函数插值是对于给定的多元散乱数据 { x j , f j } j 1 n , x j ∈ R n , f j ∈ R , j 1 , ⋯ , n \{x_j,f_j\}^n_{j1},x_j\in R^n,f_j\in R,j1,\cdots,n {xj,fj}j1n,xj∈Rn,fj∈R,j1,⋯,n。选取径向函数 ϕ : R → R \phi:R_\rightarrow R ϕ:R→R 来构造函数系 { ϕ ( ∣ ∣ x − x j ∣ ∣ ) } j 1 n \{\phi(||x-x_j||)\}_{j1}^n {ϕ(∣∣x−xj∣∣)}j1n 并寻找形如 S ( x ) ∑ j 1 n λ j ϕ ( ∣ ∣ x − x j ∣ ∣ ) S(x)\sum_{j1}^n\lambda_j\phi(||x-x_j||) S(x)∑j1nλjϕ(∣∣x−xj∣∣) 的插值函数 S ( x ) S(x) S(x)使其满足条件 S ( x j ) f j , j 1 , ⋯ , n S(x_j)f_j,j1,\cdots,n S(xj)fj,j1,⋯,n。
为了方便我们定义 { f T ( f 1 , f 2 , ⋯ , f n ) ϕ T ( x ) ( ϕ ( ∣ ∣ x − x 1 ∣ ∣ , ϕ ( ∣ ∣ x − x 2 ∣ ∣ , ⋯ , ϕ ( ∣ ∣ x − x n ∣ ∣ ) ) λ T ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) A ( ϕ ( ∣ ∣ x j − x k ∣ ∣ ) ) n × n \begin{cases} \pmb{f^T}(f_1,f_2,\cdots,f_n)\\[2ex] \pmb{\phi^T}(x)\Big(\phi(||x-x_1||,\phi(||x-x_2||,\cdots,\phi(||x-x_n||)\Big)\\[2ex] \pmb{\lambda^T}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\\[2ex] \pmb{A}\Big(\phi(||x_j-x_k||)\Big)_{n\times n} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧fT(f1,f2,⋯,fn)ϕT(x)(ϕ(∣∣x−x1∣∣,ϕ(∣∣x−x2∣∣,⋯,ϕ(∣∣x−xn∣∣))λT(λ1,λ2,⋯,λn)A(ϕ(∣∣xj−xk∣∣))n×n
上述插值方程对任意两两不同的 x j x_j xj 的数据 { x j , f j } \{x_j,f_j\} {xj,fj} 有解的充要条件是对任意两两不同的 x j x_j xj对称矩阵 A \pmb A A 都非奇异。
定理函数 ϕ : R → R \phi:R_\rightarrow R ϕ:R→R 是连续的 lim r → ∞ ϕ ( r ) 0 \lim_{r\rightarrow\infty}\phi(r)0 limr→∞ϕ(r)0那么对于 n n n 元的径向基函数插值总是存在唯一解的充分条件是矩阵 A \pmb A A 是正定矩阵。
上面提到的径向基函数中逆 Multi-Quadric 函数和 Gauss 函数在任意维空间上都是正定函数因此插值是唯一的。
三、用高斯函数进行散乱数据的插值
对于数据量少的情况径向基函数尤其是高斯函数插值的结果较令人满意而且计算也比较简单。
令径向基函数插值方程为 S ( x ) ∑ j 1 n λ j ϕ ( ∣ ∣ x − x j ∣ ∣ ) S(x)\sum_{j1}^n\lambda_j\phi(||x-x_j||) S(x)j1∑nλjϕ(∣∣x−xj∣∣)
将已知点 ( x j , f j ) , j 1 , ⋯ , n (x_j,f_j),j1,\cdots,n (xj,fj),j1,⋯,n 代入方程可得 [ λ 1 λ 2 ⋯ λ n ] [ ϕ ( ∣ ∣ x 1 − x 1 ∣ ∣ ) ϕ ( ∣ ∣ x 2 − x 1 ∣ ∣ ) ⋯ ϕ ( ∣ ∣ x n − x 1 ∣ ∣ ) ϕ ( ∣ ∣ x 1 − x 2 ∣ ∣ ) ϕ ( ∣ ∣ x 2 − x 2 ∣ ∣ ) ⋯ ϕ ( ∣ ∣ x n − x 2 ∣ ∣ ) ⋮ ⋮ ⋮ ϕ ( ∣ ∣ x 1 − x n ∣ ∣ ) ϕ ( ∣ ∣ x 2 − x n ∣ ∣ ) ⋯ ϕ ( ∣ ∣ x n − x n ∣ ∣ ) ] [ f 1 f 2 ⋯ f n ] \left[ \begin{matrix} \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \phi(||x_1-x_1||) \phi(||x_2-x_1||) \cdots \phi(||x_n-x_1||)\\ \phi(||x_1-x_2||) \phi(||x_2-x_2||) \cdots \phi(||x_n-x_2||)\\ \vdots \vdots \vdots\\ \phi(||x_1-x_n||) \phi(||x_2-x_n||) \cdots \phi(||x_n-x_n||)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} f_1 f_2 \cdots f_n\\ \end{matrix} \right] [λ1λ2⋯λn] ϕ(∣∣x1−x1∣∣)ϕ(∣∣x1−x2∣∣)⋮ϕ(∣∣x1−xn∣∣)ϕ(∣∣x2−x1∣∣)ϕ(∣∣x2−x2∣∣)⋮ϕ(∣∣x2−xn∣∣)⋯⋯⋯ϕ(∣∣xn−x1∣∣)ϕ(∣∣xn−x2∣∣)⋮ϕ(∣∣xn−xn∣∣) [f1f2⋯fn]
求解上述方程可求出 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn 的值从而求出插值曲线方程。插值曲面方程类似将 x x x 替换成向量 X X X 即可。
具体应用到高斯函数设高斯函数插值方程为 S ( x ) ∑ j 1 n λ j e − α ∣ ∣ x − x j ∣ ∣ 2 α 0 S(x)\sum_{j1}^n\lambda_je^{-\alpha||x-x_j||^2}\quad\alpha0 S(x)j1∑nλje−α∣∣x−xj∣∣2α0
其中 α \alpha α 为形状调整参数可根据散乱数据点分布特征选取当数据点对应的函数值变化较大时 α \alpha α 可取的稍大些数据点对应的函数值变化较小时 α \alpha α 可取得稍小些。
python 代码实现
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef gen_data(x1, x2):# 用于生成插值节点和总数据点 x1,x2 分别为插值节点的横坐标构成的行向量总数据点的横坐标构成的行向量y_sample np.sin(np.pi * x1 / 2) np.cos(np.pi * x1 / 3) # 插值节点的函数值y_all np.sin(np.pi * x2 / 2) np.cos(np.pi * x2 / 3) # 总数据点的函数值return y_sample, y_alldef kernel_interpolation(y_sample, x1, sig):# 求解插值函数中高斯基函数的系数gaussian_kernel lambda x, c, h: np.exp(-h*(x - x[c]) ** 2) # 高斯基函数num len(y_sample)w np.zeros(num)int_matrix np.asmatrix(np.zeros((num, num)))for i in range(num):int_matrix[i, :] gaussian_kernel(x1, i, sig)w np.asmatrix(y_sample) * int_matrix.Iw w.Treturn wdef kernel_interpolation_rec(w, x1, x2, sig):gkernel lambda x, xc, h: np.exp(-h*(x - xc) ** 2) # 高斯基函数num len(x2)y_rec np.zeros(num)for i in range(num):for k in range(len(w)):y_rec[i] y_rec[i] w[k] * gkernel(x2[i], x1[k], sig)return y_recif __name__ __main__:snum 20 # control point数量ratio 20 # 总数据点数量snum*ratiosig 0.5 # 核函数宽度xs -8xe 8x1 np.linspace(xs, xe, snum)x2 np.linspace(xs, xe, (snum - 1) * ratio 1)y_sample, y_all gen_data(x1, x2)plt.figure(1)w kernel_interpolation(y_sample, x1, sig)y_rec kernel_interpolation_rec(w, x1, x2, sig)plt.plot(x2, y_rec, k)plt.plot(x2, y_all, r:)plt.ylabel(y)plt.xlabel(x)for i in range(len(x1)):plt.plot(x1[i], y_sample[i], go, markerfacecolornone)plt.legend(labels[reconstruction, original, control point], loclower left)plt.title(kernel interpolation:$ysin(\pi x/2)cos(\pi x/3)$)plt.show()
运行结果 Matlab 代码实现
clc;clear;%% 参数
snum 20; % 插值节点个数
ratio 20; % 总数据点个数(snum-1)*ratio 1
sig 0.5; % 形状控制参数xs -8; % 起点
xe 8; % 终点%% 生成样本点
x1 linspace(xs,xe,snum); % 生成插值点坐标
x2 linspace(xs,xe,(snum-1)*ratio 1);
[y_sample,y_all] gen_data(x1,x2);figure(Name,RBF插值方法)%% 计算基函数技术lambda
w kernel_interpolation(y_sample,x1,sig);%% 重构曲线
y_rec kernel_interpolation_rec(w,x1,x2,sig);%% 绘图
plot(x2,y_rec,--,x2,y_all,:,LineWidth,2)
hold on
for i 1:1:length(x1)scatter(x1(i),y_sample(i),70,green)
endtitle($ysin(\pi x/2)cos(\pi x/3)$,Interpreter,latex)
xlabel(x)
ylabel(y)
legend(重构曲线,原始曲线,插值点,Location,southwest)%% 生成插值节点和总数据点
function [y_sample,y_all] gen_data(x1,x2)
y_sample sin(pi * x1 / 2) cos(pi * x1 / 3);
y_all sin(pi * x2 / 2) cos(pi * x2 / 3);
end%% 求解插值函数中高斯基函数的系数
function w kernel_interpolation(y_sample,x1,sig)
num length(y_sample);
int_matrix zeros(num,num);for i 1:1:num int_matrix(i,:) exp(-sig.*(x1-x1(i)).^2);
endw y_sample * inv(int_matrix);
end%% 重构曲线
function y_rec kernel_interpolation_rec(w,x1,x2,sig)
num length(x2);
y_rec zeros(1,num);for i 1:1:numfor k 1:1:length(w)y_rec(i) y_rec(i) w(k) .* exp(-sig.*(x2(i)-x1(k)).^2);end
end
end
运行结果
