申请建设单位门户网站的请示,怎样做网站快照,为什么前端都不用dw,网站制作费用低1、最短路径问题的常用算法
最短路径问题是图论研究中的经典算法问题#xff0c;用于计算图中一个顶点到另一个顶点的最短路径。 欢迎关注 Youcans 原创系列#xff0c;每周更新数模笔记
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1、最短路径问题的常用算法
最短路径问题是图论研究中的经典算法问题用于计算图中一个顶点到另一个顶点的最短路径。 欢迎关注 Youcans 原创系列每周更新数模笔记
Python数模笔记-PuLP库 Python数模笔记-StatsModels统计回归 Python数模笔记-Sklearn Python数模笔记-NetworkX Python数模笔记-模拟退火算法 1.1 最短路径长度与最短加权路径长度
在日常生活中最短路径长度与最短路径距离好像并没什么区别。但在具体的图论问题中却可能是不同的概念和问题经常会被混淆。
图论中有无权图和有权图无权图中的边没有权赋权图的边带有权可以表示距离、时间、费用或其它指标。在问题文字描述中往往并不直接指出是无权图还是有权图这时就要注意最短路径与最短加权路径的区别。路径长度是把每个顶点到相邻顶点的长度记为 1而不是指这两个顶点之间道路的距离——两个顶点之间的道路距离是连接边的权weight。通俗地说路径长度可以认为是飞行棋的步数或者公交站点的站数相邻顶点之间为一步相隔几个顶点就是几站。路径长度是从路径起点到终点的步数计算最短路径是要计算从起点到终点步数最小的路径。
如果问题不涉及顶点之间的距离要求从起点到终点的最短路径及对应的最短长度是指从这条路线从起点到终点有几站在图论中称为最短路径长度。但是如果问题给出顶点之间的道路长度或距离姑且称为各路段的距离要求从起点到终点的最短路径及对应的最短距离显然并不是在找经过最少步数的路径而是在找路径中各路段的距离之和最小的路径在图论中称为最短加权路径长度——这里权重是路段距离。
1.2 最短路径的常用算法
求解最短路径长度的常用算法是 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法和Floyd 算法另外还有启发式算法 A*。
Dijkstra 算法
Dijkstra 算法用于计算有权图中最短路径问题 。该算法从起点开始采用贪心法策略每次遍历到起点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点 直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(n^2)。如果边数远小于 n^2可以用堆结构将复杂度降为O((mn)log(n))。
Dijkstar算法不能处理负权边。
Bellman-Ford 算法
Bellman-Ford 算法用于求解单源最短路径问题。算法原理是对图进行 V-1次松弛操作得到所有可能的最短路径。
Bellman-Ford 算法的时间复杂度高达 O(V*E)V、E 分别是顶点和边的数量。
Bellman-Ford 算法可以处理负权边。其基本操作“拓展”是在深度上搜索而“松弛”操作则在广度上搜索因此可以对负权边进行操作而不影响结果。
Floyd 算法
Floyd 算法又称插点法利用动态规划思想求解有权图中多源点之间最短路径问题。算法从图的带权邻接矩阵开始递归地进行 n 次更新得到图的距离矩阵进而可以得到最短路径节点矩阵。
Floyd 算法的时间复杂度为 O(n^3)空间复杂度为 O(n^2)。算法时间复杂度较高不适合计算大量数据。Floyd 算法的优点是可以一次性求解任意两个节点之间的最短距离对于稠密图的效率高于执行 V 次 Dijkstra算法。
Floyd 算法可以处理负权边。
A* 算法
A*算法是一种静态路网中求解最短路径最有效的直接搜索方法。
A*算法是启发式算法采用最好优先Best-first搜索策略基于估价函数对每个搜索位置的评估结果猜测最好的位置优先进行搜索。
A*算法极大地减少了低质量的搜索路径因而搜索效率很高比传统的路径规划算法实时性更高、灵活性更强但是A*算法找到的是相对最优路径不是绝对的最短路径适合大规模、实时性高的问题。
1.3 最短路径算法的选择
需要求解任意两个节点之间的最短距离使用 Floyd 算法只要求解单源最短路径问题有负权边时使用 Bellman-Ford 算法没有负权边时使用 Dijkstra 算法A*算法找到的是相对最优路径适合大规模、实时性高的问题。 2、NetworkX 中的最短路径算法
2.1 无向图和有向图的最短路径求解函数
函数功能shortest_path(G[, source, target, weight,…])计算图中的最短路径all_shortest_paths(G, source, target[,…])计算图中所有最短的简单路径shortest_path_length(G[, source, target, …])计算图中的最短路径长度average_shortest_path_length(G[, weight, method])计算平均最短路径长度
2.2 无权图最短路径算法
函数功能single_source_shortest_path(G, source[,cutoff])计算从源到所有可达节点的最短路径single_source_shortest_path_length(G,source)计算从源到所有可达节点的最短路径长度single_target_shortest_path(G, target[,cutoff])计算从所有可达节点到目标的最短路径single_target_shortest_path_length(G,target)计算从所有可达节点到目标的最短路径长度all_pairs_shortest_path(G[, cutoff])计算所有节点之间的最短路径all_pairs_shortest_path_length(G[, cutoff])计算所有节点之间的最短路径长度
2.3 有权图最短路径算法
函数功能dijkstra_path(G, source, target[, weight])计算从源到目标的最短加权路径dijkstra_path_length(G, source, target[,weight])计算从源到目标的最短加权路径长度all_pairs_dijkstra_path(G[, cutoff, weight])计算所有节点之间的最短加权路径all_pairs_dijkstra_path_length(G[, cutoff,… ])计算所有节点之间的最短加权路径长度bellman_ford_path(G, source, target[, weight])计算从源到目标的最短路径bellman_ford_path_length(G, source, target)计算从源到目标的最短路径长度all_pairs_bellman_ford_path(G[, weight])计算所有节点之间的最短路径all_pairs_bellman_ford_path_length(G[,weight])计算所有节点之间的最短路径长度floyd_warshall(G[, weight])用 Floyd 法计算所有节点之间的最短路径长度floyd_warshall_numpy(G[, nodelist, weight])用 Floyd 法计算所有指定节点之间的最短路径长度3、NetworkX 中的 Dijkstra 算法
NetworkX 中关于 Dijkstra 算法提供了 13 个函数很多函数的功能是重叠的。这里只介绍最基本的函数 dijkstra_path() 和 dijkstra_path_length()。
3.1 dijkstra_path() 和 dijkstra_path_length() 使用说明
dijkstra_path() 用于计算从源到目标的最短加权路径dijkstra_path_length() 用于计算从源到目标的最短加权路径长度。
dijkstra_path(G, source, target, weight‘weight’)
dijkstra_path_length(G, source, target, weight‘weight’)
主要参数
G(NetworkX graph)图。source (node)起点。target (node)终点。weight (string or function)参数为字符串(string)时按该字符串查找边的属性作为权重如果该字符串对应的边属性不存在则权重置为1参数为函数时边的权重是函数的返回值。
返回值 dijkstra_path() 的返回值是最短加权路径中的节点列表数据类型为list。 dijkstra_path_length() 的返回值是最短加权路径的长度路径中的边的权重之和数据类型为 number。
3.2 dijkstra_path() 算法使用例程
本案例问题来自司守奎、孙兆亮数学建模算法与应用第2版P43例4.3国防工业出版社。
例4.3无向图的最短路问题。已知如图的有权无向图求顶点 v1 到 顶点 v11 的最短路径。
# networkX_E2.py
# Demo of shortest path with NetworkX
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated2021-05-18import matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包
import networkx as nx # 导入 NetworkX 工具包# 问题 2无向图的最短路问题司守奎数学建模算法与应用P43例4.3
G2 nx.Graph() # 创建空的 无向图
G2.add_weighted_edges_from([(1,2,2),(1,3,8),(1,4,1),(2,3,6),(2,5,1),(3,4,7),(3,5,5),(3,6,1),(3,7,2),(4,7,9),(5,6,3),(5,8,2),(5,9,9),(6,7,4),(6,9,6),(7,9,3),(7,10,1),(8,9,7),(8,11,9),(9,10,1),(9,11,2),(10,11,4)]) # 向图中添加多条赋权边: (node1,node2,weight)
# 两个指定顶点之间的最短加权路径
minWPath_v1_v11 nx.dijkstra_path(G2, source1, target11) # 顶点 0 到 顶点 3 的最短加权路径
print(顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径: , minWPath_v1_v11)
# 两个指定顶点之间的最短加权路径的长度
lMinWPath_v1_v11 nx.dijkstra_path_length(G2, source1, target11) #最短加权路径长度
print(顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径长度: , lMinWPath_v1_v11)
# 关注 Youcans 原创系列https://blog.csdn.net/youcans
pos nx.spring_layout(G2) # 用 FR算法排列节点
nx.draw(G2, pos, with_labelsTrue, alpha0.5)
labels nx.get_edge_attributes(G2,weight)
nx.draw_networkx_edge_labels(G2, pos, edge_labels labels)
plt.show()3.3 程序运行结果
顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径: [1, 2, 5, 6, 3, 7, 10, 9, 11]
顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径长度: 133.4 程序说明
图的输入。本例为稀疏的有权无向图使用 G.add_weighted_edges_from() 函数可以使用列表向图中添加多条赋权边每个赋权边以元组 (node1,node2,weight) 表示。图的绘制。使用nx.draw()绘图时默认的节点位置可能并不理想nx.spring_layout() 使用 Fruchterman-Reingold 力定向算法定位节点。绘制边的属性。使用 nx.draw_networkx_edge_labels() 可以绘制边的属性例程中选择显示权重属性。 4、NetworkX 中的 Bellman-Ford 算法
NetworkX 中关于 Bellman-Ford 算法提供了 13 个函数很多函数的功能是重叠的。这里只介绍最基本的函数 bellman_ford_path() 和 bellman_ford_path_length()。
4.1 bellman_ford_path() 和 bellman_ford_path_length() 使用说明
bellman_ford_path() 用于计算从源到目标的最短加权路径bellman_ford_path_length() 用于计算从源到目标的最短加权路径长度。
bellman_ford_path(G, source, target, weight‘weight’)
bellman_ford_path_length(G, source, target, weight‘weight’)
主要参数
G(NetworkX graph)图。source (node)起点。target (node)终点。weight (string)按字符串查找边的属性作为权重。默认值为权重 ‘weight’。
返回值 bellman_ford_path() 的返回值是最短加权路径中的节点列表数据类型为list。 bellman_ford_path_length() 的返回值是最短加权路径的长度路径中的边的权重之和数据类型为 number。
4.2 bellman_ford_path() 算法使用例程
本案例问题来自司守奎、孙兆亮数学建模算法与应用第2版P41例4.1国防工业出版社。
例4.1城市间机票价格问题。已知 6个城市之间的机票票价如矩阵所示无穷大表示没有直航求城市 c1 到其它城市 c2…c6 的票价最便宜的路径及票价。
# networkX_E1.py
# Demo of shortest path with NetworkX
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated2021-05-18import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包
import networkx as nx # 导入 NetworkX 工具包# 问题 1城市间机票价格问题司守奎数学建模算法与应用P41例4.1
# # 从Pandas数据格式顶点邻接矩阵创建 NetworkX 图
# # from_pandas_adjacency(df, create_usingNone) # 邻接矩阵n行*n列矩阵数据表示权重
dfAdj pd.DataFrame([[0, 50, 0, 40, 25, 10], # 0 表示不邻接[50, 0, 15, 20, 0, 25],[0, 15, 0, 10, 20, 0],[40, 20, 10, 0, 10, 25],[25, 0, 20, 10, 0 ,55],[10, 25, 0, 25, 55, 0]])
G1 nx.from_pandas_adjacency(dfAdj) # 由 pandas 顶点邻接矩阵 创建 NetworkX 图# 计算最短路径注意最短路径与最短加权路径的不同
# 两个指定顶点之间的最短路径
minPath03 nx.shortest_path(G1, source0, target3) # 顶点 0 到 顶点 3 的最短路径
lMinPath03 nx.shortest_path_length(G1, source0, target3) #最短路径长度
print(顶点 0 到 3 的最短路径为{}最短路径长度为{}.format(minPath03, lMinPath03))
# 两个指定顶点之间的最短加权路径
minWPath03 nx.bellman_ford_path(G1, source0, target3) # 顶点 0 到 顶点 3 的最短加权路径
# 两个指定顶点之间的最短加权路径的长度
lMinWPath03 nx.bellman_ford_path_length(G1, source0, target3) #最短加权路径长度
print(顶点 0 到 3 的最短加权路径为{}最短加权路径长度为{}.format(minWPath03, lMinWPath03))for i in range(1,6):minWPath0 nx.dijkstra_path(G1, source0, targeti) # 顶点 0 到其它顶点的最短加权路径lMinPath0 nx.dijkstra_path_length(G1, source0, targeti) #最短加权路径长度print(城市 0 到 城市 {} 机票票价最低的路线为: {}票价总和为{}.format(i, minWPath0, lMinPath0))
# 关注 Youcans 原创系列https://blog.csdn.net/youcans
# nx.draw_networkx(G1) # 默认带边框顶点标签
nx.draw(G1, with_labelsTrue, layoutnx.spring_layout(G1))
plt.show()4.3 程序运行结果
顶点 0 到 3 的最短路径为[0, 3]最短路径长度为1
顶点 0 到 3 的最短加权路径为[0, 4, 3]最短加权路径长度为35
城市 0 到 城市 1 机票票价最低的路线为: [0, 5, 1]票价总和为35
城市 0 到 城市 2 机票票价最低的路线为: [0, 4, 2]票价总和为45
城市 0 到 城市 3 机票票价最低的路线为: [0, 5, 3]票价总和为35
城市 0 到 城市 4 机票票价最低的路线为: [0, 4]票价总和为25
城市 0 到 城市 5 机票票价最低的路线为: [0, 5]票价总和为104.4 程序说明
图的输入。使用 pandas 中 DataFrame 读取数据文件非常方便本例中以 pandas 输入顶点邻接矩阵使用 nx.from_pandas_adjacency(dfAdj) 转换为 NetworkX 的图。邻接矩阵。邻接矩阵 dfAdj (i,j) 的值表示连接顶点 i、j 的边的权值 i、j 不相邻 dfAdj (i,j) 0 本例中表示没有直航。最短路径与最短路径长度。nx.shortest_path() 返回最短路径。nx.shortest_path_length() 返回最短路径长度本例中可以理解为从起点到终点的乘机次数1 表示直航2 表示中转一次。最短加权路径长度。nx.bellman_ford_path_length() 返回最短加权路径长度本例中权重为票价最短加权路径长度即为两点间最便宜的直航或中转的机票票价。 通过本案例可以直观地理解最短路径长度与最短加权路径长度的区别。 版权说明
本文内容及例程为作者原创并非转载书籍或网络内容。 本文中案例问题来自 1、司守奎、孙兆亮数学建模算法与应用第2版国防工业出版社。
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