英文网站制作++官网,做网站地图邮什么好处,山东住房和城乡建设厅网站教育中心,wordpress多条件筛选插件在网上翻到一个非常有意思的问题#xff1a;这个问题乍看起来无厘头#xff0c;但实际上是个非常深刻的问题#xff0c;涉及到抽象代数(abstract algebra)的一些基本概念#xff0c;因此我打算写篇文章来详细阐述一下。人类的数学从数数开始#xff0c;最早诞生的概念是自…在网上翻到一个非常有意思的问题这个问题乍看起来无厘头但实际上是个非常深刻的问题涉及到抽象代数(abstract algebra)的一些基本概念因此我打算写篇文章来详细阐述一下。人类的数学从数数开始最早诞生的概念是自然数(natrual number)。后来随着数学应用范围的扩大又产生了新类型的数。初中时我们对数的体系做了详细地介绍到了高中我们又学了集合的概念从集合的角度来研究数。为了叙述的方面我们把由不同类型的数组成的集合用一个字母来表示我们学过的有如下几个自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R复数集C相信很多小伙伴在这里也会碰到同这位网友一样的疑问无理数(irrational number)也是很重要的数的类型为什么它们的集合没有字母表示呢是书上忘了讲还是说数学家懒得起名字其实无理数集没有用字母表示是有其中的道理的要弄清楚这个道理就得先弄清楚三个基本概念集合(set)二元运算(binary operation)和封闭(closed)。基本概念集合集合这个概念我们已经很清楚了指的就是具有某些特定性质的元素做成的集体。当然关于集合的精确定义还有很多需要讨论但是理解到这个层次也就足够了。二元运算二元运算我们其实也已经很熟悉了但是之前没有给它做出过精确的定义。用不太正式的语言来叙述一个二元运算就是一种把两个数变成一个数的对应法则。比如加法就是一个二元运算因为他把1和1变成2把2和3变成5等等。同样道理四则运算加减乘除都是二元运算。不过我们一般把减法运算看作是加法运算的逆运算把除法运算看作是乘法运算的逆运算因此最基本的二元运算只有两种。于是有人就会问了既然有二元运算那有没有一元运算呢当然是有的所谓的一元运算无非就是把一个数变成另一个数呗我们常见的比如对数运算开方运算都是一元运算。但其实所谓的一元运算就相当于我们学过的函数。同样道理还会有三元运算四元运算n元运算等等我们不再做过多讨论。封闭“封闭”其实是理解本文最核心的一个概念。封闭是建立在集合与二元运算的概念的基础之上的。对于某个数集和某种运算如果从该数集里面任意挑两个数做二元运算所得到的结果仍然是这个集合中的数就说该数集对于这个二元运算是封闭的。比如举个最简单的例子自然数集对加法就是封闭的因为任意两个自然数相加的结果还是一个自然数。而自然数集对减法运算不封闭比如我随便就可以举出两个数来2和3他俩都是自然数但是2-3-1它就不是自然数了。封闭要回答本文提出的问题就得从封闭这个概念来着手。我们先来分析一下已知的集合对四则运算的封闭性。自然数集N对于加法运算和乘法运算都是封闭的但是对于减法运算和除法运算不封闭。整数集Z对于加法运算减法运算乘法运算都是封闭的但是对于除法运算不封闭。有理数集Q对于四则运算都是封闭的。实数集R对于四则运算都是封闭的。复数集C对于四则运算都是封闭的。这里我想特别强调一下有理数集有理数集对加减乘除4则运算都封闭不是一件很明显的事情我们需要有严格的证明。所谓有理数就是可以写成两个整数之比的数所以我们假设有两个有理数b1/a1b2/a2其中a1、b1、a2、b2都是整数考察一下它们做四则运算的结果可以看出四个运算结果依然都还是有理数这就证明了有理数集对四则运算都是封闭的。这里我想说的是数学家们已经证明了有理数集是对加减乘除四则运算都封闭的最小的数集。意思就是说任何比有理数还要小的集合哪怕只比有理数集少一个数就不再对加减乘除四则运算封闭了。在抽象代数学中我们把对加减乘除四则运算都封闭的集合称为一个数域(number field)可以看出实数集和复数集都是数域。而我们上面提到的结论就是有理数集是最小的数域。换句话说任何数域都包含有理数集作为它的子集。无理数集分析完这些我们就可以来看看无理数集了。我们会发现无理数及对四则运算都不封闭。我们很容易就能举出例子来对加法√2和-√2都是无理数但是加在一起等于00不是无理数。对减法√2和-√2的例子可以看成是√2-√2结果也是0。对乘法√2×√2结果是22不是无理数。对除法√2÷√2结果是11不是无理数。原来无理数集是个如此糟糕的集合这就是我们不给它用字母表示的原因。在现代代数学中数学家们主要关注的就是集合及集合中元素的运算结构产生了群(group)环(ring)域(field)等一系列概念。一个集合上某个运算是封闭的那么研究它才有意义会有很多很美好的性质。但是如果运算不封闭那么研究起来就会杂乱无章并没有太大意义。对于前面五个集合都存在至少一种运算使其封闭我们就利用这种封闭性来得出不少新的性质解决了很多数学问题甚至构造出更多更复杂的结合。数学家们经常使用这五个集合为了叙述上的方便就拿五个字母来代替他们。但是对于无理数集合因为它对四则运算都不封闭因此无法得到像前面五个集合那样丰富的性质使用起来也就不如它们频繁所以我们就没有必要拿一个单独的字母来命名它。结束语讲到这里就不得不稍微提一下近世代数(modern algebra)的发展。近世代数中最主要的概念——群思想起源于19世纪法国数学天才伽罗瓦(Galois18111832)。伽罗瓦利用群论的方法彻底解决了五次及以上方程根式解的问题是数学发展史上开天辟地的事情。我这位旷世数学天才却因为意外而英年早逝年仅21岁是人类数学史上的一大憾事。不过我们现在在教科书上学到的代数学之所以长这个样子则主要归功于20世纪德国女数学家被誉为“现代代数之母”的艾米·诺特(Emmy Noether18821935)。诺特是数学史上毫无争议的最伟大的女数学家他和他的学生所形成的“诺特学派”彻底改变了代数学的全貌。
