织梦网站怎么上传,广州小程序制作开发,自己制作wordpress子主题,婚庆公司招聘文章目录写在前面分部积分法#x1f615; 一个小问题✨ 分部积分法是怎么来的#xff1f;#x1f330; 几个小例子⭐ 最终总结#xff01;后话写在前面
文章传送门#xff1a;高数 不定积分#xff08;4-2#xff09;#xff1a;换元积分法
今天再更一篇:) 上篇文章 一个小问题✨ 分部积分法是怎么来的 几个小例子⭐ 最终总结后话写在前面
文章传送门高数 不定积分4-2换元积分法
今天再更一篇:) 上篇文章我们在复合函数求导法则的基础上得到了换元积分法。这篇文章我们就要利用两个函数乘积的求导法则了解另一个求积分的方法——分部积分法。 分部积分法 一个小问题
问题求 ∫x2lnxdx\int x^2\ln x\mathrm dx∫x2lnxdx.
我们发现这个积分用换元积分法不易求得但是我们看到了关键x2lnxx^2\ln xx2lnx 具有乘积形式所以它很有可能就来自某两个函数乘积求导的一部分。具体应该怎么做呢接下来我们就要引出神奇的分部积分法来解决这个问题了。
✨ 分部积分法是怎么来的
我们知道两个函数乘积的导数公式 设 uu(x)uu(x)uu(x)vv(x)vv(x)vv(x) 具有连续导数则 (uv)′u′vuv′(uv)uvuv(uv)′u′vuv′. 也就是“前导后不导后导前不导”。
移项就可以得到uv′(uv)′−u′vuv(uv)-uvuv′(uv)′−u′v. 我们对这个式子两边求不定积分就会得到这样一个式子∫uv′dxuv−∫u′vdx.\int uv\mathrm dxuv-\int uv\mathrm dx.∫uv′dxuv−∫u′vdx. 那么这个公式就称为分部积分公式。为了简便起见我们也可以将这个公式写成∫udvuv−∫vdu.\int u\mathrm dvuv-\int v\mathrm du.∫udvuv−∫vdu. 就像上面的问题一样当求 ∫uv′dx\int uv\mathrm dx∫uv′dx 有困难而求 ∫u′vdx\int uv\mathrm dx∫u′vdx 相对容易时分部积分公式就可以发挥作用了。
我们先来解决上面的问题求 ∫x2lnxdx\int x^2\ln x\mathrm dx∫x2lnxdx.
该怎么求呢我们首先需要选出分部积分公式左端的“u”和“dv”。确定了它们才可以进行后续的运算。根据被积函数的形式我们可以设 ulnxu\ln xulnxdvx2dx\mathrm dvx^2\mathrm dxdvx2dx 即 v13x3v\dfrac13 x^3v31x3下面就可以根据分部积分公式运算了。 I13∫lnxd(x3)13(lnx⋅x3−∫x3dlnx)13(x3lnx−∫x3⋅1xdx)13(x3lnx−13x3)CI\dfrac13\int\ln x\mathrm d(x^3)\dfrac13(\ln x\cdot x^3-\int x^3\mathrm d\ln x)\dfrac13(x^3\ln x-\int x^3\cdot\dfrac 1x\mathrm dx)\dfrac 13(x^3\ln x-\dfrac 13x^3)CI31∫lnxd(x3)31(lnx⋅x3−∫x3dlnx)31(x3lnx−∫x3⋅x1dx)31(x3lnx−31x3)C. 注意常系数可以自由进出积分号不定积分的一个性质。 几个小例子
我们再来看几个书上的例子
eg1. 求 ∫xcosxdx\int x\cos x\mathrm dx∫xcosxdx. 这个积分用换元公式也不容易求出结果所以我们试试用分部积分法来求。我们设 uxuxuxdvcosxdx\mathrm dv\cos x\mathrm dxdvcosxdx则 dudx\mathrm du\mathrm dxdudxvsinxv\sin xvsinx. 代入分部积分公式可得Ixsinx−∫sinxdxIx\sin x-\int\sin x\mathrm dxIxsinx−∫sinxdx. 而 ∫vdu∫sinxdx\int v\mathrm du\int\sin x\mathrm dx∫vdu∫sinxdx 容易积出∫sinxdx−cosxC\int\sin x\mathrm dx-\cos xC∫sinxdx−cosxC所以 IxsinxcosxC.Ix\sin x\cos xC.IxsinxcosxC. *但是我们发现如果设 ucosxu\cos xucosxdvxdx\mathrm dvx\mathrm dxdvxdx那么通过分部积分公式得出的被积表达式会更不容易求出。所以在使用分部积分法时一定要注意 uuu 和 dv\mathrm dvdv 的选取。其实根据上面的两个例子我们就能大概感觉到选取 uuu 和 dv\mathrm dvdv 的规则了
vvv 要容易求得∫vdu\int v\mathrm du∫vdu 要比 ∫udv\int u\mathrm dv∫udv 更容易积出。
eg2. 求 ∫xexdx\int xe^x\mathrm dx∫xexdx. 我们可以尝试用简化版的分部积分公式写 I∫xd(ex)xex−∫exdxxex−exC(x−1)exCI\int x\mathrm d(e^x)xe^x-\int e^x\mathrm dxxe^x-e^xC(x-1)e^xCI∫xd(ex)xex−∫exdxxex−exC(x−1)exC. eg3. 求 ∫x2exdx\int x^2e^x\mathrm dx∫x2exdx. 设 ux2ux^2ux2dvexdx\mathrm dve^x\mathrm dxdvexdx 则 ∫x2exdx∫x2d(ex)x2ex−2∫xexdx\int x^2e^x\mathrm dx\int x^2\mathrm d(e^x)x^2e^x-2\int xe^x\mathrm dx∫x2exdx∫x2d(ex)x2ex−2∫xexdx. 根据 eg2 的结论再用一次分部积分法就可以了。最终可得结果Iex(x2−2x2)CIe^x(x^2-2x2)CIex(x2−2x2)C. 通过上面的例子我们可以知道如果被积函数是幂函数和正余弦函数或幂函数和指数函数的乘积那么就可以考虑分部积分法并且设幂函数为 uuu. 这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次假定幂指数是正整数。
eg4. 求 ∫arccosxdx\int\arccos x\mathrm dx∫arccosxdx. 设 uarccosxu\arccos xuarccosxdvdx\mathrm dv\mathrm dxdvdx 则 Ixarccosx−∫xd(arccosx)xarccosx∫x1−x2dxxarccosx−12∫1(1−x2)12d(1−x2)xarccosx−1−x2CIx\arccos x-\int x\mathrm d(\arccos x)x\arccos x\int\dfrac x{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dxx\arccos x-\dfrac 12\int\dfrac 1{(1-x^2)^{\frac12}}\mathrm d(1-x^2)x\arccos x-\sqrt{1-x^2}CIxarccosx−∫xd(arccosx)xarccosx∫1−x2xdxxarccosx−21∫(1−x2)211d(1−x2)xarccosx−1−x2C. 我们也可以知道如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积就可以考虑分部积分法并设对数函数或反三角函数为 uuu.
还有一些例子方法比较典型。
eg5. 求 ∫exsinxdx\int e^x\sin x\mathrm dx∫exsinxdx. I∫sinxd(ex)exsinx−∫excosdxI\int \sin x\mathrm d(e^x)e^x\sin x-\int e^x\cos\mathrm dxI∫sinxd(ex)exsinx−∫excosdx. 对等式右端的积分再用一次分部积分法得Iexsinx−∫cosxd(ex)exsinx−excosx−∫exsinxdxIe^x\sin x-\int\cos x\mathrm d(e^x)e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\mathrm dxIexsinx−∫cosxd(ex)exsinx−excosx−∫exsinxdx. 我们将上式右端的第三项进行移项再在等式两边同除以 2就可以得到 I12ex(sinx−cosx)CI\dfrac12e^x(\sin x-\cos x)CI21ex(sinx−cosx)C. 这种方法就有点“解方程”的感觉。 再次提醒什么时候 CCC当所有积分号都去掉的时候就要加上任意常数 CCC.
同时在积分的过程中我们也会兼用换元法与分部积分法比如⬇️
eg6. 求 ∫exdx\int e^{\sqrt x}\mathrm dx∫exdx. 我们令 xt\sqrt xtxt则 xt2xt^2xt2dx2tdt\mathrm dx2t\mathrm dtdx2tdt. 所以 I2∫tetdtI2\int te^t\mathrm dtI2∫tetdt. 再利用 eg2 的结果并用 txt\sqrt xtx 代回便得到所求积分I2ex(x−1)CI2e^{\sqrt x}(\sqrt x-1)CI2ex(x−1)C. ⭐ 最终总结
分部积分法恰当地选取 uuu 和 dv\mathrm dvdv.一般可依次选取 uuu 的顺序为反对幂指三即对于 ∫xa\int x^a∫xa ➕ exe^xex / lnx\ln xlnx / 三角函数 / 反三角函数 dx\mathrm dxdx 将 exe^xex三角函数放在 d\mathrm dd 后而 lnx\ln xlnx反三角函数留在 d\mathrm dd 前。两个函数相乘把其中一个函数往后拿谁容易积分谁就往后拿。 什么意思呢uuu 和 dv\mathrm dvdv 的选取就像元素的化学性质。exe^xex 容易积分就好比金属铯遇到水会炸。由于 exe^xex 和三角函数sinx\sin xsinx 和 cosx\cos xcosx容易积分所以在选择 dv\mathrm dvdv 的时候优先选它们而选择 uuu 的时候则会考虑那些不那么容易积分的函数就让它们赖在那里不动比如说反三角和对数函数。而幂函数就像是中间人它可以充当 uuu也可以充当 dv\mathrm dvdv这种时候就得看情况了。 后话
感谢大家的支持~如有错误恳请指出:)
