自己做了个网站,上海企业名录地址电话,高端品牌包包,朝阳区seo143. 质数判定__模板题链接
前置知识
费马小定理#xff1a;ppp是质数#xff0c;则对于任意的aaa#xff0c;aaa与ppp互质#xff0c;则有ap−1≡1(modp)a ^ {p - 1} \equiv 1 \pmod {p}ap−1≡1(modp)。
二次探测定理#xff1a;如果ppp是一个质数#xff0c;x2≡1(…143. 质数判定__模板题链接
前置知识
费马小定理ppp是质数则对于任意的aaaaaa与ppp互质则有ap−1≡1(modp)a ^ {p - 1} \equiv 1 \pmod {p}ap−1≡1(modp)。
二次探测定理如果ppp是一个质数x2≡1(modp)x ^ 2 \equiv 1 \pmod px2≡1(modp)则有解为x11,x2p−1x_1 1, x_2 p - 1x11,x2p−1推理如下
⇒x2−1≡0(modp)\Rightarrow x ^ 2 - 1 \equiv 0 \pmod p⇒x2−1≡0(modp)
⇒p∣x2−1\Rightarrow p \mid x ^ 2 - 1⇒p∣x2−1
⇒p∣(x−1)(x1)\Rightarrow p \mid (x - 1)(x 1)⇒p∣(x−1)(x1)
⇒x11,x2p−1\Rightarrow x_1 1, x_2 p - 1⇒x11,x2p−1
同样的我们即可反证如果x2≡1(modp)x ^ 2 \equiv 1 \pmod {p}x2≡1(modp)并且x!1x!n−1x ! 1 x ! n-1x!1x!n−1那么我们一定可以认定ppp不是质数。
miller_radin的实现
对于一个质数ppp我们显然可以得到p−12sdp - 1 2 ^ s dp−12sd的形式ddd是奇数。
我们在[2,n)[2,n)[2,n)中随机选取一个数aaa显然有ap−1a2sd((((ad)2)……)2)a ^ {p - 1} a ^ {2 ^ s d} ((((a ^ d) ^ 2 )^ {……}) ^ 2)ap−1a2sd((((ad)2)……)2)。
所以我们可以从ada ^ dad开始做sss次二次探测如果二次探测失败我们直接得到这个数不止质数当二次探测完成时我们再做一次费马小定理的特判判断该数是不是质数。
miller_rabin 模板代码
ll quick_mult(ll a, ll b, ll mod) {ll ans 0;while(b) {if(b 1) ans (ans a) % mod;a (a a) % mod;b 1;}return ans;
}ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) {ll ans 1;while(n) {if(n 1) ans quick_mult(ans, a, mod);a quick_mult(a, a, mod);n 1;} return ans;
}bool miller_rabin(ll n) {if(n 2) return true;if(n 2 || !(n 1)) return false;ll s 0, d n - 1;while(!(d 1)) {d 1;s;}srand(time(0));for(int i 1; i 5; i) {ll a rand() % (n - 2) 2;ll now quick_pow(a, d, n), pre now;for(int j 1; j s; j) {now quick_mult(now, now, n);if(now 1 pre ! 1 pre ! n - 1) return false;pre now;}if(now ! 1) return false;}return true;
}
