谷歌网站站长指南,dede网站 异步生成,开发网站软件,wordpress 增加其它语言首先#xff0c;我们考虑复数函数的泰勒级数展开式。对于任意一个复数函数f(z)#xff0c;我们可以将其在za处进行泰勒级数展开#xff1a; f(z) f(a) f(a)(z-a) f(a)(z-a)^2/2! f(a)(z-a)^3/3! ... 其中f(a)表示f(z)在za处的导数#xff0c;f(a)表示f(z)在…首先我们考虑复数函数的泰勒级数展开式。对于任意一个复数函数f(z)我们可以将其在za处进行泰勒级数展开 f(z) f(a) f(a)(z-a) f(a)(z-a)^2/2! f(a)(z-a)^3/3! ... 其中f(a)表示f(z)在za处的导数f(a)表示f(z)在za处的二阶导数以此类推。 接下来我们考虑复指数函数e^z的泰勒级数展开式。对于这个函数我们可以得到 利用这个泰勒级数展开式我们可以将复指数函数表示为幂级数的形式。 然后我们考虑复数函数f(z) e^iz。根据欧拉公式的定义我们知道e^ix cos(x) isin(x)。因此我们有 现在我们使用泰勒级数展开式将f(z)表示为幂级数的形式 f(z) 1 (iz) (iz)^2/2! (iz)^3/3! ... 根据幂级数的性质我们可以重新排列和化简这个级数 f(z) 1 iz - z^2/2! - iz^3/3! z^4/4! ... 我们可以将这个幂级数的实部和虚部分开得到 Re(f(z)) 1 - z^2/2! z^4/4! - z^6/6! ... Im(f(z)) z - z^3/3! z^5/5! - z^7/7! ... 观察这两个级数我们发现实部部分是一个偶幂次项的级数而虚部部分是一个奇幂次项的级数。 现在我们考虑一个复数z其中z可以表示为z x i*y其中x和y都是实数。将z代入实部和虚部的级数展开式中 Re(f(z)) 1 - (x^2 - y^2)/2! (x^4 - y^4)/4! - (x^6 - y^6)/6! ... Im(f(z)) (x i*y) - (x^3 3*x*y^2)/3! (x^5 5*x^3*y^2 x*y^4)/5! - (x^7 7*x^5*y^2 7*x^3*y^4 x*y^6)/7! ... 令x^2 - y^2等于cosθ2*x*y等于sinθ我们可以得到 Re(f(z)) 1 - cosθ/2! cosθ^2/4! - cosθ^3/6! ... Im(f(z)) sinθ - sinθ^3/3! sinθ^5/5! - sinθ^7/7! ... 现在我们回顾一下欧拉公式的定义e^ix cos(x) isin(x)。比较Re(f(z))和Im(f(z))我们可以发现它们分别与cosθ和sinθ是相同的级数。 综上所述我们可以得出结论对于任意一个复数z我们有e^iz cos(z) isin(z)。这就是欧拉公式的证明。
