常州建设工程交易网,一个网站可以优化多少关键词,网站建设服务商都有哪些,wordpress怎么改搜索来源#xff1a;《广西民族大学学报》2014年11月作者#xff1a;郭龙先#xff0c;黄永两千多年来#xff0c;数学家们一直试图从少数公理出发#xff0c;根据明确给出的演绎规则推导出其他数学定理#xff0c;从而把整个数学构造成为一个严密的演绎大厦#xff0c;然后… 来源《广西民族大学学报》2014年11月作者郭龙先黄永两千多年来数学家们一直试图从少数公理出发根据明确给出的演绎规则推导出其他数学定理从而把整个数学构造成为一个严密的演绎大厦然后用某种程序和方法彻底解决数学体系的可靠性问题。19世纪末集合已成为最基本、应用最广的一个概念人们曾经相信全部数学的基础理论可用集合概念统一起来,可是罗素在集合论中发现了一个深刻的悖论顿时使数学的理论基础发生动摇集合论中为什么会产生矛盾这是一个非常根本的问题涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题属于数学哲学的范畴,希尔伯特写道“单靠分析还不能使我们最深入地洞察无限的本性这种洞察只有通过一门和一般的哲学思考方法相近而又被设计得对有关无限的整套问题从新的方面来加以说明的学科才能得到。数学哲学的基本目标是解释数学并由此说明数学在整个理智事业中的地位。正是对于无限理论的不同看法导致了数学家的分裂。从1900到1930年许多数学家卷入了关于数学哲学基础的争论,由于所持的基本观点不同最终形成了三个流派即逻辑主义、直觉主义和形式主义。霍华德·伊夫斯说“数学哲学本质上就是一种尝试的再构造对历史积累的无秩序的一堆数学知识给予一定意义或秩序”。虽然三大学派持续了半个世纪之久的思想交锋随着哥德尔不完备定理的诞生而日渐沉寂但这些引领数学潮流的巨人超群绝伦的智慧殚精竭虑的运思杰作无论对错都已成为理解现代数学的宝贵遗产他们深邃的思想方法和执着的探索精神尤其值得后人学习与借鉴。从逻辑中展开数学——逻辑主义学派的无限观和思想方法现代逻辑创始于19世纪末叶其发展动力来自于数学中的公理化运动导致20世纪逻辑研究的数学化,由此发展出来的逻辑被称为“数理逻辑”开创了逻辑学史上继古希腊逻辑、欧洲中世纪逻辑之后的第三个高峰对现代数学、哲学、语言学和计算机科学的发展均产生了极为深远的影响。数学哲学中逻辑主义学派的核心人物是罗素与怀特海其奠基者则是德国数学家弗雷格。他认为分析的算术化最后必然建立在自然数理论之上而对自然数理论的探讨有必要研究数的概念以及正整数命题的性质。他认为“数是什么”是一个最根本的问题其数学哲学基于三个主要原则第一反对在数学基础上的经验主义否认数学来源的经验基础强调数学真理的先天性第二数学真理是客观的这种客观性基于数学的非经验基础,客观性是思想的必要条件第三一切数学最终都可以划归为逻辑数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念数学公理可以从逻辑原则中得到证明。数学划归为逻辑的观念还应追溯到莱布尼兹,他关于数理逻辑的基本设想是一所有概念可以还原为少数的原始概念这些原始概念构成“思想的字母表”二复合概念可以由原始概念通过逻辑乘法得出三原始概念彼此之间是没有矛盾的四任何命题都是谓项性的五任何真的肯定命题都是分析命题,莱布尼兹认为“数学真理就是逻辑真理。”他把逻辑学想象成一种普遍的科学使用精密的符号体系严格的逻辑推理就可消除人类自然语言中固有的含糊性。他说我们要造成这样一个结果使所有推理的错误都只成为计算的错误当争论发生的时候只需坐下来说“让我们来计算一下吧”这种逻辑先于一切科学的观点被公认为逻辑主义思想的先河。莱布尼兹企图构造数理逻辑的宏伟抱负当时并没有取得实质性的进展,直到19世纪英国数学家布尔创立了“布尔代数”德国数学家弗雷格发展了命题演算和谓词演算才建立了第一个严格的逻辑演算系统,意大利数学家皮亚诺以命题演算和谓词演算研究数学部分实现了莱布尼兹的思想迈出了关键的一步。弗雷格在《算术基础》一书中得出的结论是“算术”仅仅是一种扩展形成的逻辑每个算术句子就会是一条逻辑定律然而是一条导出的定律。这一观点后来被罗素作为逻辑主义的基本主张广为传播。罗素认为应当以一些已被普遍承认了的逻辑的前提出发再经过演绎而达到那些明显的属于数学的结果。他与怀特海完成于1913年的《数学原理》是逻辑学派的经典巨著,他们宣称全部数学可以从一个逻辑公理系统严格地推导出来从而使数学建立在逻辑基础之上。卡尔纳普认为数学基础的最重要问题之一是数学与逻辑的关系,他将逻辑主义的基本内容概括为1. 数学概念能通过明确的定义从逻辑概念中导出。2. 数学定理能通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来。虽然在《数学原理》中罗素与怀特海对怎样从逻辑导出数学作了详尽无遗的推演但是许多著名的数学家却并不接受“数学就是逻辑”的观点也不同意“一切数学思维都是逻辑思维”的说法。后来的研究者一致认为若要利用逻辑推导出全部数学至少要增加两条非逻辑公理其一是无穷公理须承认宇宙间有无穷数目的个体否则连最简单的自然数也无法构成其二是选择公理,如果没有这一公理无穷基数的乘法运算就无法得到定义数学中许多关键性定理也无法推导。比较公认的看法是罗素并没有将数学化归为逻辑而是化归为集合论,从逻辑过渡到数学必须发展集合论而集合论中存在悖论缺乏兼容性。为此罗素提出限制“恶性循环”的原则建立了分支类型论的方案。他说“凡是牵涉一集合的全体者它本身不能是该集合的一分子反之如果假定某一集体有一总体它便将含有一个元素只能由该总体才能定义的元素那么该集体必没有总体。”在此基础上提出的“分支类型论”就是禁止人们自己征引自己或自己涉及自己。这一思想的本质简单明了用集合论的术语来说个体元素的层次为0个体的一个集合层次为1集合的集合为第2层次依此类推。层次理论的应用确实避免了当时已知的数学悖论,但其理论展开却异常繁杂。按照该理论无理数由有理数定义而有理数可用正整数定义无理数比有理数具有更高的层次它们都比整数的层次高导致实数系由不同层次的成分构成因而不能得出关于所有实数的定理必须对每个层次的数分别陈述。这样即使是对简单明白的自然数定理的推导也繁琐得让人望而生畏。更为不幸的是从分支类型论也不能推出整个数学对数学归纳原理的推导有问题对实数论的推导问题更多,为了避免分支类型论带来的复杂性罗素和怀特海引进了“可化归公理”即任何较高层次的一个命题与一个层次为0的命题等价,但可化归公理的精神与禁止恶性循环的原则相冲突对此形成了两种不同的意见和处理方式或者不用可化归公理而保留分支类型论其代价是无法推出全部数学或者保留可化归公理直接采用简单类型论虽然可推导出全部数学但取消禁止恶性循环原则便等于放弃阻止悖论产生的防火墙。逻辑主义学派不仅承认康托尔理论而且还坚持无限性研究对象在数学领域中的合理性。因此既要确认全部数学的有效性就势必要确认实无限观点下的无限集理论,正如王浩所说由于要借助严格的逻辑概念来给出“无限”的一个充分根据这一困难才使得罗素关于数学与逻辑相等价的理论成为可疑。深入的研究表明逻辑主义自身确实存在着难以克服的理论困境,怀特海在1939年的一次演讲中已表示放弃逻辑主义的观点。罗素也说“我在数学里总是希望得到的那种壮丽的确定性消失在不知所措的困惑之中了。”尽管逻辑主义的主张未能完全实现但其研究纲领的价值和意义是不容忽视的。他们成功地把古典数学纳入一个统一的公理系统使之能从几个逻辑概念和公理出发再加上无穷公理就能推出集合论、一般算术和大部分数学来存在就是被构造——直觉主义学派的无限观及思想方法直觉主义学派认为逻辑不在数学之先数学的概念和原则不能归结为逻辑逻辑是数学活动的结果逻辑需要数学作为它的基本构造,坚定的数学直觉主义者海丁说当你们通过公理和演绎进行思维时我们则借助于可信性进行思维这就是全部区别”。直觉主义学派构造数学的基础并非集合论而是自然数论,这就是海丁所说的数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”直觉主义认同自然数来源于布劳威尔所说的“原始直觉”或“对象对偶直觉”。所谓对象对偶直觉是人皆有之的一种能力即某一时刻集中注意于某一对象紧接着又集中注意于另一对象这就形成了一个原始对偶以12来表示它,“存在即是被构造”是直觉主义数学学派的一个基本观点,他们主张只有建立在这种原始直觉和可构造性之上的数学才是可信的因为对于思想来说是如此直接其结果又是如此清楚以致不再需要任何别的什么基础。直觉主义关于无限的基本思想可以追溯到亚里士多德他是历史上第一位反对实无穷只承认潜无穷的哲学家。直觉主义学派坚持潜无限论的观点不承认已完成的实无穷体系。他们质疑无限集的可构造性,按照能行性的要求该学派也否定自然数全体的概念因为自然数只能是永远处于不断被构造和生成之中而非完成了的无穷实体。克罗内克就始终不承认无限集合的合理性他流传甚广的名言是上帝创造了自然数别的都是人造的”。他主张在自然数的基础上构造整个数学如分数可以用整数定义出来这样定义的分数被认为是一种方便的写法,克罗内克也因此被称为构造主义者,可构造的要义是必须在有限个步骤之内将结论确定到任何需要的精度,如借助于的一个无穷级数表示式可将其计算到小数点后的任意位这是构造主义者可以接受的。克罗内克并非完全否认无理数的存在而是反对那些不能提供计算程序的证明,他还计划将数学算术化并从数学中清除一切“非构造”的概念。庞加莱亦持潜无穷的观点他主张人类对自然数的认识是源于最基本的直觉并公开申明数学的确定性仅限于有限论证的严格范围之内而集合论所包含的仅仅是矛盾和无意义的概念,他认为集合论悖论已经证明了康托尔的理论是侵害数学机体的传染性病毒必除之而后快。荷兰数学家布劳威尔堪称直觉主义学派的集大成者,他认为除自然数外加法、乘法和数学归纳法在直觉上也是清晰的坚信数学只能建立在可构造性的基础上并反对一切以实无限为前提的数学定义以及非构造性论证。布劳威尔认为无穷是存在的因为对任一有限集人们总可以找到一个比它更大的有穷集合。直觉主义者特别强调数学证明中的能行性问题坚决主张没有能行性便没有存在性,如选择公理断定给定一个集合的集合如果它的各分子集是互相排斥的并且其中没有一个是空集那么至少存在这样一个集合它与给定集合的各个分子集都恰好有一个公共元素。对此波莱尔认为当给定的子集合有无穷多时如果不能从内涵方面给出选择的标准或办法要具体地做出无穷多个选择是不可能的。实现选择公理给出的结论甚至需要进行不可数的无穷个选择这对于直观来讲是不可理解的。确实选择公理做出了与无穷有关的断定只有假定此公理成立才能肯定选择集合的存在这对数学的展开是必不可少的。布劳威尔还反对在数学证明中使用排中律,他认为排中律和其他经典逻辑是从有穷集中抽象出来的如果无条件地承认排中律就等于承认所有命题总是能构造性地证其为真或不真但这是没有可靠根据的,对于无限集而言还有第三种情况不假即存在这样的命题既不能证明其为真也不可能证明其为假,因此在他们看来从A推出矛盾从而肯定非A成立的反证法是可以接受的但不承认由非A推出并非A从而断定A成立的双重否定消去的推理,因此夏皮罗直截了当地说直觉主义是指那些对排中律提出异议的数学哲学的一般术语”。直觉主义还严格区分了存在性证明与构造性证明。在经典数学中存在性证明只要求保证使命题成立的对象存在即可至于能否找到这样的对象则可存而不论。但从构造的角度来看就要求找到使命题成立的具体对象才算完成证明,如欧几里得关于质数有无穷多的证明虽然避免了运用排中律和间接证法但按照直觉主义者对可构造性的要求来看仍然不够满意,因为它并没有提供确定已知质数之外的质数的方法,但他们认为素数的定义是构造性的因为可以用有限的步骤确定一个数是否为素数,对于存在性证明的合法性。近代数学史上曾有过激烈的争论,在初等数论中大多数非构造性的存在证明都可以换为构造性的证明但在数学分析及其他更高等的部分里非直觉主义式的定义及证明却随处可见,例如在戴德金的分割表示中实数是以有理数的无穷集来定义的这已经涉及无穷整体和排中律了,希尔伯特坚持认为达到思想的简洁和经济就是存在性证明生存的理由。他说纯粹的存在性证明之价值恰恰在于通过它们就可以不必去考虑个别的构造而且各种不同的构造包括于同一个基本思想之下使得对证明来说是最本质的东西清楚地突显出来。直觉主义者所坚持的观点和方法就其出发点而言是希望借此排除数学理论中出现的悖论,但是由于限制太多只承认一部分最保险的数学从而走向了另一极端。20世纪30年代由于哥德尔的工作人们开始重视直觉主义,数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学得出不少重要结果,构造性数学已成为与现代计算机科学密切相关的重要学科形式公理与兼容性——希尔伯特规划与形式主义学派从一组公理推导出一系列定理这样形成的演绎体系叫作公理系统。皮亚诺断言一切数学都可以用符号加以形式地表述,从欧几里得《几何原本》中的实质性公理系统(对象——公理——演绎)到希尔伯特《几何基础》中的形式化公理系统再到现代纯形式的ZFC公理系统数学符号加规则这种奇特的理论形式甚至引发了诸多的哲学反思与争论。数学家J·托马于1898年明确提出形式主义”的名称,他说对形式主义者而言算术是一种称之为空记号的游戏,这意味它们除了为一定的组合规则“游戏规则”产生的行动所指定而外没有其他内容(在演算的游戏中)……算术的规则系统是这样的一个系统使得借助于简单公理数就能与各种各样的感知发生关系从而就能对我们的自然知识做出重要贡献……形式的立场可以使我们扫除一切形而上学的困难这就是它提供给我们的一个优点。把数学比喻成诸如象棋之类的游戏是关于形式主义的一种流行说法,这其中居于主导地位的只是一些需要遵循的规则数学家仅仅关心数字在数学游戏”中的角色,冯·诺依曼、鲁宾逊和柯恩等人都是这一论调的支持者,激进的游戏论形式主义者甚至认为数学的公理系统或逻辑的公理系统基本概念都是没有意义的公理也只是一行行的符号无所谓真假只要能够证明该公理系统是兼容的不互相矛盾便代表了某一方面的真理。他们之所以把数学看成没有意义的公式是想要证明数学理论的兼容性与完备性,游戏论者却因为无法回答数学的广泛用途及其惊人的力量而受到普遍质疑,反对者提出的一个经典难题是、象棋作为一种有趣的游戏其规则虽然对棋手是有用的但为什么人类只有利用数学规则而不是象棋规则才能把一颗卫星发射到月球上去弗雷格就强调把算术从游戏提升到科学层次的只是可应用性”形式主义凸显了数学的一个方面但可能忽略或低估了其他方面的一些重要内容,历史上被冠以形式主义名号的数学哲学观点有好几种不同的流派,正如夏皮罗所言尽管这些哲学在一些重要的方向上彼此对立但形式主义的反对者和维护者都有时候会把它们混在一起”。在数学基础的研究中希尔伯特通常被看成是形式主义的奠基人,罗素和布劳威尔都称其为形式主义的代表人物。希尔伯特的最终目标是要构造出一个相容的完备的可判定的形式化公理系统,就逻辑与数学的关系而言希尔伯特认为任何企图把数学划归为逻辑的努力都是不可能成功的。他指出“如果我们深入考察那就会承认在我们叙述传统的逻辑定理时即已用到某些基本的算术概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某种程度上用到了数的概念,于是我们发现自己陷入了某种循环。面对直觉主义者对数学基础可靠性的尖锐批评希尔伯特认为经典数学以及在集合论基础上发展起来的新数学都是人类最有价值的精神财富是不能丢弃的,他说“禁止数学家使用排中原则就像禁止天文学家使用望远镜和拳击家使用拳头一样。”希尔伯特认为只要将数学形式化构成形式系统然后用一种有限性的方法就能证明各个形式系统的兼容性从而导出全部数学的无矛盾性。希尔伯特的雄心勃勃数学基础研究规划最终被哥德尔的不完备性定理所否定但他为此而创立的证明论却开辟了一个数理逻辑的新领域。智者的棒喝——哥德尔不完备性定理对数学基础的冲击受希尔伯特规划的影响1930年哥德尔开始考虑数学分析的一致性问题1931年发表《PM及有关系统中的形式不可判定命题》一文论证了两个著名的定理1. 一个包括初等数论的形式系统P如果是一致的那么就是不完备的第一不完备性定理2. 如果这样的系统是一致的那么其一致性在本系统中不可证第二不完备性定理。哥德尔的本意是要实现希尔伯特规划。他试图首先证明算术理论的一致性然后建立分析“实数的”理论的一致性。但最终结果却刚好相反彻底粉碎了希尔伯特的梦想。哥德尔定理的重要意义在于向世人澄清了“真”与“可证”概念的本质区别,可证的一定是真的但真的不一定可证。根据哥德尔定理任何无矛盾的公理体系只要包含初等算术的陈述则必定存在一个不可判定命题。用原有的公理组不能判定其真假,如果将这个不可判定命题作为公理加入又将出现新的不可判定命题。如此看来可证命题和终极数学真理之间将始终隔着无穷远的距离哥德尔一生在科学上取得了辉煌的成就他证明了一阶谓词演算的完全性算术形式系统的不完全性连续统假设和集合论公理的相对协调性等三大难题被公认为人类历史上继亚里士多德和莱布尼兹之后最伟大的逻辑学家。他独辟蹊径的研究成果犹如智者的棒喝断然终结了数学家追求绝对可靠的数学基础的幻想但也使人们对无穷的认识达到了一个更高的境界。他说“数学不仅是不完全的还是不可完全的。”经验主义者认为大半个世纪的数学基础研究表明企图沿着形式化道路借助证明论的方法在形式系统内部解决数学的真理性问题是不可能的。数学基础的问题应该回到经验中去解决。未来智能实验室的主要工作包括建立AI智能系统智商评测体系开展世界人工智能智商评测开展互联网城市云脑研究计划构建互联网城市云脑技术和企业图谱为提升企业行业与城市的智能水平服务。 如果您对实验室的研究感兴趣欢迎加入未来智能实验室线上平台。扫描以下二维码或点击本文左下角“阅读原文”
