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分治#xff08;divide and conquer#xff09;#xff0c;全称分而治之#xff0c;是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现#xff0c;包括“分”和“治”两个步骤。 1.分#xff08;划分阶段#xff09;#xff1a;递归地将原问题分解为两个…分治算法
分治divide and conquer全称分而治之是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现包括“分”和“治”两个步骤。 1.分划分阶段递归地将原问题分解为两个或多个子问题直至到达最小子问题时终止。 2.治合并阶段从已知解的最小子问题开始从底至顶地将子问题的解进行合并从而构建出原问题的解。
“归并排序”是分治策略的典型应用之一 1.分递归地将原数组原问题划分为两个子数组子问题直到子数组只剩一个元素最小子问题 2.治从底至顶地将有序的子数组子问题的解进行合并从而得到有序的原数组原问题的解。
如何判断分治问题
一个问题是否适合使用分治解决通常可以参考以下几个判断依据 1.问题可以分解原问题可以分解成规模更小、类似的子问题以及能够以相同方式递归地进行划分。 2.子问题是独立的子问题之间没有重叠互不依赖可以独立解决。 3.子问题的解可以合并原问题的解通过合并子问题的解得来。
显然归并排序满足以上三个判断依据。 1.问题可以分解递归地将数组原问题划分为两个子数组子问题。 2.子问题是独立的每个子数组都可以独立地进行排序子问题可以独立进行求解。 3.子问题的解可以合并两个有序子数组子问题的解可以合并为一个有序数组原问题的解。
通过分治提升效率
分治不仅可以有效地解决算法问题往往还可以提升算法效率。 在排序算法中快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快就是因为它们应用了分治策略。
1. 操作数量优化
以“冒泡排序”为例其处理一个长度为 的数组需要 (^2) 时间。 假设按照下图所示的方式将数组从中点处分为两个子数组则划分需要 () 时间排序每个子数组需要 ((/2)^2) 时间合并两个子数组需要 () 时间总体时间复杂度为 接下来计算以下不等式其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数 这意味着当 4 时划分后的操作数量更少排序效率应该更高。请注意划分后的时间复杂度仍然是平方阶 (^2) 只是复杂度中的常数项变小了。
进一步想如果把子数组不断地再从中点处划分为两个子数组直至子数组只剩一个元素时停止划分呢这种思路实际上就是“归并排序”时间复杂度为 ( log ) 。
再思考如果多设置几个划分点将原数组平均划分为 个子数组呢这种情况与“桶排序”非常类似它非常适合排序海量数据理论上时间复杂度可以达到 ( ) 。
2. 并行计算优化
分治生成的子问题是相互独立的因此通常可以并行解决。也就是说分治不仅可以降低算法的时间复杂度还有利于操作系统的并行优化。
并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效因为系统可以同时处理多个子问题更加充分地利用计算资源从而显著减少总体的运行时间。
比如在下图所示的“桶排序”中将海量的数据平均分配到各个桶中则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元完成后再合并结果
分治常见应用
一方面分治可以用来解决许多经典算法问题 寻找最近点对该算法首先将点集分成两部分然后分别找出两部分中的最近点对最后找出跨越两部分的最近点对。 大整数乘法例如 Karatsuba 算法它将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。 矩阵乘法例如 Strassen 算法它将大矩阵乘法分解为多个小矩阵的乘法和加法。 汉诺塔问题汉诺塔问题可以通过递归解决这是典型的分治策略应用。 求解逆序对在一个序列中如果前面的数字大于后面的数字那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以利用分治的思想借助归并排序进行求解。
另一方面分治在算法和数据结构的设计中应用得非常广泛 二分查找二分查找是将有序数组从中点索引处分为两部分然后根据目标值与中间元素值比较结果决定排除哪一半区间并在剩余区间执行相同的二分操作。 归并排序。。。。。 快速排序快速排序是选取一个基准值然后把数组分为两个子数组一个子数组的元素比基准值小另一子数组的元素比基准值大再对这两部分进行相同的划分操作直至子数组只剩下一个元素。 桶排序桶排序的基本思想是将数据分散到多个桶然后对每个桶内的元素进行排序最后将各个桶的元素依次取出从而得到一个有序数组。 树例如二叉搜索树、AVL 树、红黑树、B 树、B 树等它们的查找、插入和删除等操作都可以视为分治策略的应用。 堆堆是一种特殊的完全二叉树其各种操作如插入、删除和堆化实际上都隐含了分治的思想。 哈希表虽然哈希表并不直接应用分治但某些哈希冲突解决方案间接应用了分治策略例如链式地址中的长链表会被转化为红黑树以提升查询效率。
分治搜索策略
搜索算法分为两大类。 暴力搜索它通过遍历数据结构实现时间复杂度为 () 。 自适应搜索它利用特有的数据组织形式或先验信息时间复杂度可达到 (log ) 甚至 (1) 。
实际上时间复杂度为 (log ) 的搜索算法通常是基于分治策略实现的例如二分查找和树。 二分查找的每一步都将问题在数组中搜索目标元素分解为一个小问题在数组的一半中搜索目标元素这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。 树是分治思想的代表在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中各种操作的时间复杂度皆为 (log )。
二分查找的分治策略如下所示 问题可以分解二分查找递归地将原问题在数组中进行查找分解为子问题在数组的一半中进行查找这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。 子问题是独立的在二分查找中每轮只处理一个子问题它不受其他子问题的影响。 子问题的解无须合并二分查找旨在查找一个特定元素因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时原问题也会同时得到解决。
分治能够提升搜索效率本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项而分治搜索每轮可以排除一半选项。
1.基于分治实现二分查找
给定一个长度为 的有序数组 nums 其中所有元素都是唯一的请查找元素 target 。
从分治角度将搜索区间 [, ] 对应的子问题记为 (, ) 以原问题 (0, − 1) 为起始点通过以下步骤进行二分查找。 1.计算搜索区间 [, ] 的中点 根据它排除一半搜索区间。 2.递归求解规模减小一半的子问题可能为 (, − 1) 或 ( 1, ) 3.循环第 1. 步和第 2. 步直至找到 target 或区间为空时返回。
下图展示了在数组中二分查找元素 6 的分治过程
/*** File: binary_search_recur.cpp* Created Time: 2023-07-17* Author: krahets (krahets163.com)*/#include ../utils/common.hpp/* 二分查找问题 f(i, j) */
int dfs(vectorint nums, int target, int i, int j) {// 若区间为空代表无目标元素则返回 -1if (i j) {return -1;}// 计算中点索引 mint m (i j) / 2;if (nums[m] target) {// 递归子问题 f(m1, j)return dfs(nums, target, m 1, j);} else if (nums[m] target) {// 递归子问题 f(i, m-1)return dfs(nums, target, i, m - 1);} else {// 找到目标元素返回其索引return m;}
}/* 二分查找 */
int binarySearch(vectorint nums, int target) {int n nums.size();// 求解问题 f(0, n-1)return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}/* Driver Code */
int main() {int target 6;vectorint nums {1, 3, 6, 8, 12, 15, 23, 26, 31, 35};// 二分查找双闭区间int index binarySearch(nums, target);cout 目标元素 6 的索引 index endl;return 0;
}构建二叉树问题
给定一棵二叉树的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 请从中构建二叉树返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点如图所示。
1.判断是否为分治问题
原问题定义为从 preorder 和 inorder 构建二叉树是一个典型的分治问题 问题可以分解从分治的角度切入可以将原问题划分为两个子问题构建左子树、构建右子树加上一步操作初始化根节点。而对于每棵子树子问题仍然可以复用以上划分方法将其划分为更小的子树子问题直至达到最小子问题空子树时终止 子问题是独立的左子树和右子树是相互独立的它们之间没有交集。在构建左子树时只需关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。 子问题的解可以合并一旦得到了左子树和右子树子问题的解我们就可以将它们链接到根节点上得到原问题的解。
2.如何划分子树
根据以上分析这道题可以使用分治来求解但如何通过前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 来划分左子树和右子树呢 根据定义preorder 和 inorder 都可以划分为三个部分。 前序遍历[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ] 例如图 12‑5 的树对应 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。 中序遍历[ 左子树 | 根节点 右子树 ] 例如图 12‑5 的树对应 [ 9 | 3 | 1 2 7 ] 。
以上图数据为例可以通过下图所示的步骤得到划分结果 1.前序遍历的首元素 3 是根节点的值。 2.查找根节点 3 在 inorder 中的索引利用该索引可将 inorder 划分为 [ 9 | 3 1 2 7 ] 。 3.根据 inorder 的划分结果易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 从而可将 preorder 划分为[ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。 3.基于变量描述子树区间
根据以上划分方法已经得到根节点、左子树、右子树在 preorder 和 inorder 中的索引区间。而为了描述这些索引区间需要借助几个指针变量。 将当前树的根节点在 preorder 中的索引记为 将当前树的根节点在 inorder 中的索引记为 将当前树在 inorder 中的索引区间记为 [, ] 。 通过以上变量即可表示根节点在 preorder 中的索引以及子树在 inorder 中的索引区间。 右子树根节点索引中的 ( − ) 的含义是“左子树的节点数量”
代码实现
为了提升查询 的效率借助一个哈希表 hmap 来存储数组 inorder 中元素到索引的映射
/*** File: build_tree.cpp* Created Time: 2023-07-17* Author: Krahets (krahets163.com)*/#include ../utils/common.hpp/* 构建二叉树分治 */
TreeNode *dfs(vectorint preorder, unordered_mapint, int inorderMap, int i, int l, int r) {// 子树区间为空时终止if (r - l 0)return NULL;// 初始化根节点TreeNode *root new TreeNode(preorder[i]);// 查询 m 从而划分左右子树int m inorderMap[preorder[i]];// 子问题构建左子树root-left dfs(preorder, inorderMap, i 1, l, m - 1);// 子问题构建右子树root-right dfs(preorder, inorderMap, i 1 m - l, m 1, r);// 返回根节点return root;}/* 构建二叉树 */
TreeNode *buildTree(vectorint preorder, vectorint inorder) {// 初始化哈希表存储 inorder 元素到索引的映射 unordered_mapint, int inorderMap;for (int i 0; i inorder.size(); i) {inorderMap[inorder[i]] i;}TreeNode *root dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.size() - 1);return root;
}/* Driver Code */
int main() {vectorint preorder {3, 9, 2, 1, 7};vectorint inorder {9, 3, 1, 2, 7};cout 前序遍历 ;printVector(preorder);cout 中序遍历 ;printVector(inorder);TreeNode *root buildTree(preorder, inorder);cout 构建的二叉树为\n;printTree(root);return 0;
}下图展示了构建二叉树的递归过程各个节点是在向下“递”的过程中建立的而各条边引用是在向上“归”的过程中建立的
每个递归函数内的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 的划分结果如图所示 设树的节点数量为 初始化每一个节点执行一个递归函数 dfs() 使用 (1) 时间。因此总体时间复杂度为 () 。 哈希表存储 inorder 元素到索引的映射空间复杂度为 () 。在最差情况下即二叉树退化为链表时递归深度达到 使用 () 的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 () 。
汉诺塔问题
给定三根柱子记为 A、B 和 C 。起始状态下柱子 A 上套着 个圆盘它们从上到下按照从小到大的顺序排列。
任务是要把这 个圆盘移到柱子 C 上并保持它们的原有顺序不变如图所示。在移动圆盘的过程中需要遵守以下规则 1.圆盘只能从一根柱子顶部拿出从另一根柱子顶部放入。 2.每次只能移动一个圆盘。 3.小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
将规模为 的汉诺塔问题记作 () 。例如 (3) 代表将 3 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。
1.考虑基本情况
对于问题 (1) 即当只有一个圆盘时将它直接从 A 移动至 C 即可。
对于问题 (2) 即当有两个圆盘时由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上因此需要借助 B 来完成移动 1.先将上面的小圆盘从 A 移至 B 2.再将大圆盘从 A 移至 C 3.最后将小圆盘从 B 移至 C 。
解决问题 (2) 的过程可总结为将两个圆盘借助 B 从 A 移至 C 。其中C 称为目标柱、B 称为缓冲柱。
2.子问题分解
对于问题 (3) 即当有三个圆盘时情况变得稍微复杂了一些。 因为已知 (1) 和 (2) 的解所以我们可从分治角度思考将 A 顶部的两个圆盘看作一个整体。 执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 A 移至 C 了。
1.令 B 为目标柱、C 为缓冲柱将两个圆盘从 A 移至 B 2.将 A 中剩余的一个圆盘从 A 直接移动至 C 3.令 C 为目标柱、A 为缓冲柱将两个圆盘从 B 移至 C 。 从本质上看将问题 (3) 划分为两个子问题 (2) 和一个子问题 (1) 。按顺序解决这三个子问题之后原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的而且解可以合并。
至此可总结出解决汉诺塔问题的分治策略将原问题 () 划分为两个子问题 (−1) 和一个子问题 (1) 并按照以下顺序解决这三个子问题 1.将 − 1 个圆盘借助 C 从 A 移至 B 。 2.将剩余 1 个圆盘从 A 直接移至 C 。 3.将 − 1 个圆盘借助 A 从 B 移至 C 。 对于这两个子问题 ( − 1) 可以通过相同的方式进行递归划分直至达到最小子问题 (1) 。而 (1) 的解是已知的只需一次移动操作即可。
3.代码实现
在代码中声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) 它的作用是将柱 src 顶部的 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar
// File: hanota.cpp
/* 移动一个圆盘 */
void move(vectorint src, vectorint tar) {// 从 src 顶部拿出一个圆盘int pan src.back();src.pop_back();// 将圆盘放入 tar 顶部tar.push_back(pan);
}/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
void dfs(int i, vectorint src, vectorint buf, vectorint tar) {// 若 src 只剩下一个圆盘则直接将其移到 tarif (i 1) {move(src, tar);return;}// 子问题 f(i-1) 将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 bufdfs(i - 1, src, tar, buf);// 子问题 f(1) 将 src 剩余一个圆盘移到 tarmove(src, tar);// 子问题 f(i-1) 将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tardfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔问题 */
void solveHanota(vectorint A, vectorint B, vectorint C) {int n A.size();// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 Cdfs(n, A, B, C);
}汉诺塔问题形成一棵高度为 的递归树每个节点代表一个子问题对应一个开启的 dfs()函数因此时间复杂度为 (2^) 空间复杂度为 () 。
学习地址
学习地址https://github.com/krahets/hello-algo 重新复习数据结构所有的内容都来自这里。
