html手机网站,网站建设公司 网络服务,河津网站建设网站建设,wordpress 模板框架基础术语 表面反射可以分为4大类#xff1a; diffuse 漫反射glossy specular 镜面反射高光perfect specular 完美反射高光retro-reflective distributions 后反射分布几何坐标系以及工具函数 pbrt中的反射是在反射坐标系中进行计算的。坐标系由着色点处法向量与两个切向量组成…基础术语 表面反射可以分为4大类 diffuse 漫反射glossy specular 镜面反射高光perfect specular 完美反射高光retro-reflective distributions 后反射分布几何坐标系以及工具函数 pbrt中的反射是在反射坐标系中进行计算的。坐标系由着色点处法向量与两个切向量组成也就是 正交基向量s,t,n分别于xyz相对齐。以\(( \theta ,\phi)\)球体坐标系来表达方向。 从图8.3中可以了解到以下内容代码在reflection.h中 inline Float CosTheta(const Vector3f w) { return w.z; }
inline Float Cos2Theta(const Vector3f w) { return w.z * w.z; }
inline Float AbsCosTheta(const Vector3f w) { return std::abs(w.z); }
inline Float Sin2Theta(const Vector3f w) {return std::max((Float)0, (Float)1 - Cos2Theta(w));
}inline Float SinTheta(const Vector3f w) { return std::sqrt(Sin2Theta(w)); }inline Float TanTheta(const Vector3f w) { return SinTheta(w) / CosTheta(w); }inline Float Tan2Theta(const Vector3f w) {return Sin2Theta(w) / Cos2Theta(w);}inline Float CosDPhi(const Vector3f wa, const Vector3f wb) {return Clamp((wa.x * wb.x wa.y * wb.y) /std::sqrt((wa.x * wa.x wa.y * wa.y) *(wb.x * wb.x wb.y * wb.y)),-1, 1);
} 基本接口 BRDF与BTDF共享公共基类BxDF。BxDFType为反射属性枚举按照不同的子类修改里面部分枚举的值 MatchesFlags()用于确定当前BxDF的标签是否与用户提供的一样。 f()返回分布函数值。 完美反射物体例如镜子、玻璃、水之类只能从一个入射方向散射到另一个出射方向对于这些光线散射情况就需要特殊处理。这样的BxDF最好是使用delta分布来表示在此PBRT提供了Sample_f()函数可以用来处理散射的随机方向采样问题。(使用这个函数氛围使用delta分布与不适用) virtual Spectrum Sample_f(const Vector3f wo, Vector3f *wi,const Point2f sample, Float *pdf,BxDFType *sampledType nullptr) const; 反射率 半球方向反射率(半球方向上的全反射) $\rho_{hd}(\omega_o)\int_{H^2(n)}f_r(p,\omega_o,\omega_i) \left|cos\theta_i \right| d\omega_i $ virtual Spectrum rho(const Vector3f wo, int nSamples,const Point2f *samples) const; 半球-半球反射率当前半球方向上所有光线都是一样的情况下,类似兰伯特材质 $\rho_{hh}\frac{1}{\pi}\int_{H^2(n)}\int_{H^2(n)}f_r(p,\omega_o,\omega_i) \left|cos\theta_i cos\theta_i \right|d\omega_o d\omega_i $ 如果没有提供\(w_o\),计算ρhh则使用 virtual Spectrum rho(int nSamples, const Point2f *samples1,const Point2f *samples2) const; PS.之前看《ray tracing from the ground up》都不知道rho这个函数是啥意思 BxDF缩放适配器 用于取得BxDF的值并把它缩放至光谱的贡献值。类名为ScaledBxDF 反射高光与透射 在光滑表面理想状态下中反射的出射角与入射角大小相同遵守菲尼尔定理。一般情况下计算计算机图形学中的常见操作都会忽略色散现象以此极大地简化光线传输计算色散折射率随着光的波长而变化。Snell定律 \(\eta_i sin\theta_i \eta_t sin \theta_t\) 菲涅尔方程描述了光线接触到表面后反射与透射的比它实际上Maxwell方程在光滑表面上的求解。 因为在现实环境中光的偏振现象较少所以在PBRT假设光不偏振。在这个假设下菲尼尔反射率表示为平行和垂直偏振项的平方的平均值。我们使用\(\eta\)表示折射率 \(r_\parallel\frac{\eta_t cos\theta_i-\eta_i cos\theta_t}{\eta_t cos\theta_i-\eta_i cos\theta_t}\) \(r_\bot\frac{\eta_i cos\theta_i-\eta_t cos\theta_t}{\eta_i cos\theta_i-\eta_t cos\theta_t}\) 对于非偏振光的菲尼尔反射率 \(F_r\frac{1}{2}(r_\parallel^2r_\bot^2)\) 存在几个重要类别需要加以区分 第一类是绝缘体(非金属)即不导电的材料。它们有真实的折射率(通常在1-3范围内)并能透射一部分入射光。例如玻璃、矿物油、水和空气。第二种是导体(金属)比如金属。导体的导电性会对电磁波中的电子产生一定影响所以与介质不同导体的折射率较为复杂·\(\overline{\eta}\etaik\),k为吸收系数。第三种是半导体本书暂时不考虑。因为能量守恒的关系所以绝缘体中透射的能量为1-\(F_r\),FrDielectric函数计算了非偏振光对于绝缘体的菲尼尔反射 Float FrDielectric(Float cosThetaI, Float etaI, Float etaT) {cosThetaI Clamp(cosThetaI, -1, 1);//为了计算透射角的cos值必须确定是在介质内还是外bool entering cosThetaI 0.f;if (!entering) {std::swap(etaI, etaT);cosThetaI std::abs(cosThetaI);}// Snell定律计算cosThetaT Float sinThetaI std::sqrt(std::max((Float)0, 1 - cosThetaI * cosThetaI));Float sinThetaT etaI / etaT * sinThetaI;if (sinThetaT 1) return 1;Float cosThetaT std::sqrt(std::max((Float)0, 1 - sinThetaT * sinThetaT));Float Rparl ((etaT * cosThetaI) - (etaI * cosThetaT)) /((etaT * cosThetaI) (etaI * cosThetaT));Float Rperp ((etaI * cosThetaI) - (etaT * cosThetaT)) /((etaI * cosThetaI) (etaT * cosThetaT));return (Rparl * Rparl Rperp * Rperp) / 2;
} 导体与绝缘体分界面处的菲尼尔反射率为\(r_\bot\frac{a^2b^2-2acos\thetacos^2\theta}{a^2b^22acos\thetacos^2\theta}\) \(r_\parallelr_\bot\frac{cos^2\theta(a^2b^2)-2acos\theta sin^2\theta sin^4\theta}{cos^2\theta(a^2b^2)2acos\theta sin^2\theta sin^4\theta}\) 其中 \(a^2b^2\sqrt{(\eta^2-k^2-sin^2\theta)^24\eta^2k^2}\) \(\eta ik \overline {\eta_t}/\overline{\eta_i}\)为这个复杂计算后的折射率。但是因为\(\overline{\eta_i}\)是绝缘体的关系这个部分的计算可以被代替。 Spectrum FrConductor(Float cosThetaI, const Spectrum etai,const Spectrum etat, const Spectrum k) {cosThetaI Clamp(cosThetaI, -1, 1);Spectrum eta etat / etai;Spectrum etak k / etai;Float cosThetaI2 cosThetaI * cosThetaI;Float sinThetaI2 1. - cosThetaI2;Spectrum eta2 eta * eta;Spectrum etak2 etak * etak;Spectrum t0 eta2 - etak2 - sinThetaI2;Spectrum a2plusb2 Sqrt(t0 * t0 4 * eta2 * etak2);Spectrum t1 a2plusb2 cosThetaI2;Spectrum a Sqrt(0.5f * (a2plusb2 t0));Spectrum t2 (Float)2 * cosThetaI * a;Spectrum Rs (t1 - t2) / (t1 t2);Spectrum t3 cosThetaI2 * a2plusb2 sinThetaI2 * sinThetaI2;Spectrum t4 t2 * sinThetaI2;Spectrum Rp Rs * (t3 - t4) / (t3 t4);return 0.5 * (Rp Rs);
} 为了方便起见PBRT抽象了一个Fresnel类并且提供一个Evaluate()方法用于估算并且返回菲尼尔反射率。在此基础上创建了FresnelConductor、FresnelDielectric、FresnelNoOp类。 FresnelConductor类存储了入射折射率、透射折射率以及吸收系数k。 FresnelDielectric类存储了入射折射率与透射折射。 FresnelNoOp类为菲尼尔反射率为1的情况。在现实生活中不太可能但为一些操作提供便捷。 反射 SpecularReflection类继承自BxDF类。 其反射公式 \(L_o(\omega_o)\int f_r(\omega_o,\omega_i)L_i(\omega_i) \left| cos\theta_i \right| d\omega_iF_r(\omega_r)L_i(\omega_r)\) 如果使用狄拉克分布来构造这个BRDF则有 \(\int f(x)\delta (x-x0)dxf(x_0)\) 如果希望BRDF在除了完美反射的地方别的地方皆为0就建议使用狄拉克分布则有 \(f_r(\omega_o,\omega_i)\delta(\omega_i-\omega_r)F_r(\omega_i)\) 将其带入方程后得\(L_o(\omega_o)\int \delta(\omega_i - \omega_r)F_r(\omega_i)L_i(\omega_i) \left| cos \theta_i\right| d\omega_iF_r(\omega_r)L_i(\omega_r) \left| cos \theta_r\right|\) 然而它并不正确因为有了个额外参数\(\theta_r\)将因子分离出来得到正确结果 $f_r(p,\omega_o,\omega_i)F_r(\omega_r)\frac{\delta(\omega_i-\omega_r)}{\left| cos\theta_r\right|} $ 因为对于任意方向delta函数不会返回散射值的原因所以f()返回0. 然而PBRT确实实现了Sample_f()方法它根据delta分布选择适当的方向。它将输出变量wi设置为提供的方向wo在表面法线附近的反射。*pdf值设置为1; Spectrum SpecularReflection::Sample_f(const Vector3f wo, Vector3f *wi,const Point2f sample, Float *pdf,BxDFType *sampledType) const {*wi Vector3f(-wo.x, -wo.y, wo.z);*pdf 1;return fresnel-Evaluate(CosTheta(*wi)) * R / AbsCosTheta(*wi);
} 如何求反射向量?参看图8.8就明白了。代码 inline Vector3f Reflect(const Vector3f wo, const Vector3f n) {
return -wo 2 * Dot(wo, n) * n;
} 因为由于在BRDF坐标系系统中法向量为(0,0,1)所以*wi Vector3f(-wo.x, -wo.y, wo.z); 透射 我们使用τ来表示光线透射过介质的能量别的都被反射了: \(\tau 1- Fr(\omega_i).\) 则该介质透射的辐射通量的微分为 \(d\Phi_o\tau d\Phi_i\) 使用辐射学的定义代替后 \(L_ocos\theta_odAd\omega_o\tau( L_i cos\theta_idAd \omega_i)\) 将平面角度坐标系转换到球面角坐标后 \(L_ocos\theta_odAsin\theta_od\theta_od\phi_o\tau( L_i cos\theta_idAsin\theta_id\theta_id\phi_i)\) 将Snell定律进行变换对于θ有\(\eta_ocos\theta_od\theta_o\eta_icos\theta_id\theta_i\frac{cos\theta_od\theta_o}{cos\theta_id\theta_i}\frac{\eta_i}{\eta_o}\) 将其代入公式8.7中则有\(L_o\eta_i^2d\phi_o\tau L_i\eta_o^2d\phi_i\) 因为\(\phi_i\phi_o\pi\)所以\(d\phi_id\phi_o\),从而得到\(L_o\tau L_i\frac{\eta_o^2}{\eta_i^2}\) 对于BRDF我们需要约去一个\(cos\theta_i\)去取得一个正确BTDF用于透射计算。 \(f_r(\omega_o,\omega_i)\frac{\eta_o^2}{\eta_i^2}(1-F_r(\omega_i))\frac{\delta(\omega_i-T(\omega,n))}{\left| cos\theta_i\right|}\) 其中\(T(\omega_o,n)\)为函数通过法向量与出射角计算出来的透射向量。 因为BTDF是一个缩放后的狄克拉函数所以f()返回0。 inline bool Refract(const Vector3f wi, const Normal3f n, Float eta,Vector3f *wt) {Float cosThetaI Dot(n, wi);Float sin2ThetaI std::max(Float(0), Float(1 - cosThetaI * cosThetaI));Float sin2ThetaT eta * eta * sin2ThetaI;if (sin2ThetaT 1) return false;Float cosThetaT std::sqrt(1 - sin2ThetaT);*wt eta * -wi (eta * cosThetaI - cosThetaT) * Vector3f(n);return true;
}Spectrum SpecularTransmission::Sample_f(const Vector3f wo, Vector3f *wi,const Point2f sample, Float *pdf,BxDFType *sampledType) const {//确定哪个折射率为透射哪个为入射bool entering CosTheta(wo) 0;Float etaI entering ? etaA : etaB;Float etaT entering ? etaB : etaA;//计算透射向量if (!Refract(wo, Faceforward(Normal3f(0, 0, 1), wo), etaI / etaT, wi))return 0;*pdf 1;//透射量计算Spectrum ft T * (Spectrum(1.) - fresnel.Evaluate(CosTheta(*wi)));//如果是辐射学模式的话再乘以两个介质的折射率平方商if (mode TransportMode::Radiance) ft * (etaI * etaI) / (etaT * etaT);return ft / AbsCosTheta(*wi);
} 菲尼尔模式下的反射与透射 为了在蒙特卡洛光线传递算法中14章~16章会介绍有更好的效率我们将会使用一种同时带有折射与反射的BxDF。类名为FresnelSpecular。具体内容详见代码会在13~14章介绍具体内容。 LAMBERTIAN反射 类名为LambertianReflection。 f()返回 辐射度/π 基于微表面的反射模型 OREN–NAYAR漫反射模型 Oren与Nayar在1994年发现现实世界的物体并没有表现出完美的Lambertian反射具体来说粗糙的表面通常会随着光照方向接近观察方向而变得更亮。 于是他们开发了一个描述粗糙表面反射模型基于v形状的微表面使用球形高斯分布参数与一个变量σ描述。σ为光线与视线的偏差角。 因为假设在V形状微表面的情况下所以仅需考虑相邻的微表面可以互相反射。这是一个经验近似模型 \(f_r(\omega_i,\omega_o)\frac{R}{\pi}(AB max(0,cos(\phi_i-\phi_o))sin\alpha tan \beta)\) 其中σ为弧度制 $ A1-\frac{\sigma^2}{2(\sigma^20.33)}$ \(B\frac{0.45\sigma^2}{\sigma^20.09}\) \(\alphamax(\theta_i,\theta_o)\) \(\betamin(\theta_i,\theta_o)\) 代码参见OrenNayar::f(const Vector3f wo, const Vector3f wi) 微表面分布函数 MicrofacetDistribution为微表面分布的基类。其中一个重要特征就是微表面分布函数D(ωh)。该函数定义于与BxDF相同的BSDF坐标系中。 因此,当ωh等于面法线且狄克拉函数结果不为0的情况下完美的光滑表面就可以用狄克拉函数来描述。D(ωh)δ(ωh−(0,0,1))。 微面分布函数必须normalized以确保它们在物理上是正确的。直观地说如果我们考虑沿法线方向n的入射光线那么每条光线必须与微平面精确相交一次。更正式地说给定微表面的微分面积dA那么该面积以上的微面投影面积必须等于dA(参见图8.15)。 \(\int_{H^2(n)}D(\omega_h)cos\theta_h d\omega_h1\) MicrofacetDistribution::D()对应D(ωh)。返回 微表面朝向与法向量对于该区域面积的微分。 Beckmann和Spizzichino(1963)提出了一种基于微面坡度高斯分布的微面分布函数该函数得到了广泛的应用;实现在BeckmannDistribution类中。Beckmann–Spizzichino模型定义为 \(D(\omega_h)\frac{e^{-tan^2\theta_h/\alpha^2}}{\pi\alpha^2cos^4\theta_h}\) 如果σ代表了微表面斜度的平方根那么α√2σ 这对定义各项异性非常有用同时正态分布也取决于ωh的方位取向各不相同。那相对的微表面的各向异性分布函数为\(D(\omega_h)\frac{e^{-tan^2\theta_h(cos^2\phi_h/\alpha_x^2sin^2\phi_h/\alpha_y^2)}}{\pi\alpha_x\alpha_ycos^4\theta_h}\) 注意当\(a_xa_y\)时该公式将会变成各项同性。 另一种有用的微表面分布函数来自Trowbridge and Reitz (1975).具有各项异性变化 \(D(\omega_h)\frac{1}{\pi\alpha_x\alpha_ycos^4\theta_h(1tan^2\theta_h(cos^2\phi_h/\alpha_x^2sin^2\phi_h/\alpha_y^2))}\) 与Beckmann–Spizzichino相比Trowbridge–Reitz精度更高但是速度更慢。 遮罩与阴影 但是微表面的法线分布还是不够的还需要考虑到可见性问题。这个效果可以用Smith’s masking-shadowing函数G1(ω, ωh)来表现注意他的定义域为[0,1]。通常情况下可见性与微表面法线分布式是相互独立的。 \(cos\theta\int_{H^{2(n)}}G_1(\omega,\omega_h)max(0,\omega \cdot \omega_h)D(\omega_h)d\omega_h\) 换句话说可见的微表面对于方向ω必有cosθdA其中cosθ(ω · n)) 微表面可以看成是一个高度场每个背光的微表面会遮蔽ω方向上投射面积的向光的微表面。 定义A为向光面的微表面A-为背光面的微表面于是\(cos\thetaA^(\omega)-A^-(\omega)\)。所以masking-shadowing函数为 \(G_1(\omega)\frac{A^(\omega)-A^-(\omega)}{A^(\omega)}\) 在每个微表面中不显示区域的比例为 $ \Lambda{}(\omega)\frac{A^-(\omega)}{A^(\omega)-A^-(\omega)}\frac{A^-(\omega)}{cos\theta}$ 我们使用lambda这个函数来计算,同时\(G_1(\omega)\frac{1}{1\Lambda(\omega)}\) 这个lambda函数可以使用不同的模型来模拟对于点与点之间没有相关性的模型可以使用Beckmann–Spizzichino\(\Lambda(\omega)\frac{1}{2}(erf(a)-1\frac{e^{-a^2}}{a\sqrt{\pi}})\) 其中\(a1/(\alpha tan\theta)\),\(erf(x)2/\sqrt{\pi}\int_0^x{e^{-x^2}}dx\) PBRT使用了合理的基于物理的多项方程式计算 Beckmann–Spizzichino这样避免计算了std::erf()与std::exp()所以计算效率更高。 Masking-shadowing函数的各项异形版本可以通过各向同性版本修改得到。 Compute alpha for direction w ≡ 543
Float alpha std::sqrt(Cos2Phi(w) * alphax * alphax
Sin2Phi(w) * alphay * alphay); 在高度不相关的前提下\(\Lambda(\omega)\)对于Trowbridge–Reitz分布可以简化为\(\Lambda(\omega)\frac{-1\sqrt{1\alpha^2tan^2\theta}}{2}\) 最后一个有用的是几何属性的微表面分布\(G_1(\omega_o,\omega_i)\),假设从这两个方向观察这个微表面其可见度的概率是相互独立的则有\(G_1(\omega_o,\omega_i)G_1(\omega_o)G_1(\omega_i)\) 实际上不可能的因为漏算了当ωoωi这个情况。在这个情况下G(ωo, ωi) G1(ωo) G1(ωi).这会导致下G(ωo, ωi)过小。同时当ωo与ωi越接近其相关性也越大。因此可以推断一个更加精确的微表面模型假设在微表面上的点越高其可见度越高。 \(G(\omega_o,\omega_i)\frac{1}{1\Lambda(\omega_o)\Lambda(\omega_i)}\) 这个模型相当精确PBRT也在使用这个更为精确的模型请看扩展阅读当然那个地方我就懒得看了。 Float G(const Vector3f wo, const Vector3f wi) const {return 1 / (1 Lambda(wo) Lambda(wi));
} TORRANCE–SPARROW模型 Torrance and Sparrow 于1967年发现了这个微表面模型用于模拟金属表面。这段还是去看知乎上那些介绍实时渲染PBR模型的文章比较好。 $ f(\omega_{o},\omega_{i})\frac{D(\omega_{h})F(\omega_{o})G(\omega_{o},\omega_{i})}{4 cos\theta_o cos\theta_i} $ 代码在MicrofacetReflection中的f()中。MicrofacetTransmission则实现了透射效果。入射介质折射率、透射介质折射率以及\(d\omega_h d\omega_o\)的关系如下 \(d\omega_h\frac{\eta_o^2 \left | \omega_o \cdot \omega_h\right|d\omega_o}{(\eta_i(\omega_i \cdot \omega_h)\eta_o(\omega_o \cdot \omega_h))^2}\) 代入之前的公式 \(f_r(\omega_o,\omega_i)\frac{\eta^2D(\omega_h)G(\omega_o,\omega_i)(1-F_r(\omega_o))}{((\omega_o \cdot \omega_h)\eta(\omega_i \cdot \omega_h))^2}\frac{\left| \omega_i \cdot \omega_h\right| \left|\omega_o \cdot \omega_h \right|}{cos\theta_o cos\theta_i}\) 其中\(\omega_h\omega_o\eta \omega_i\) 多层材质模型 很多BRDF模型都没有考虑到在多层材质中最底层的材质对于光线的影响。Ashikhmin和Shirley(2000, 2002)开发了模拟这种表面是粗糙的漫反射底面为光滑的镜面反射的多层材质的BRDF模型。图8.23显示了这个想法:当入射方向接近垂直时大部分光被传输到漫反射表层漫反射占主导地位。当入射方向接近掠射时底层的镜面反射占主导地位。车漆就适合用这种模型来表现。类名为FresnelBlend。 FresnelBlend类设置了两个辐射度变量分别来控制漫反射与镜面反射以及一个微表面分布变量来控制高光层。 这个模型基于镜面反射层与漫反射层的权重和。再考虑了能量守恒的情况下其镜面高光部分为\(f_r(p,\omega_o,\omega_i)\frac{D(\omega_h)F(\omega_o)}{4(\omega_h \cdot \omega_i)(max((n \cdot \omega_o),(n \cdot \omega_i))}\) 下面使用了Schlick菲尼尔近似模型。其漫反射部分为\(f_r(p,\omega_i,\omega_o)\frac{28R_d}{23\pi}(1-R_s)(1-(1-\frac{(n\cdot \omega_i)}{2})^5)(1-(1-\frac{(n \cdot \omega_o)}{2})^5)\) 最终返回镜面高光漫反射的值。 转载于:https://www.cnblogs.com/blueroses/p/10159211.html
