手机网站开发 教程,自己怎么做一个购物平台,网站开发工作方案,网站平台怎么建立文章目录 引言二、线代施密特正交化分块矩阵转置、逆、伴随之间的运算关于秩定义性质 三、概统常见分布的期望及方差 引言
这数一全部内容太多了#xff0c;放在一篇文章里的话#xff0c;要编辑就很困难#xff0c;就把线代和概率放在这篇文章里吧。 二、线代
施密特正交… 文章目录 引言二、线代施密特正交化分块矩阵转置、逆、伴随之间的运算关于秩定义性质 三、概统常见分布的期望及方差 引言
这数一全部内容太多了放在一篇文章里的话要编辑就很困难就把线代和概率放在这篇文章里吧。 二、线代
施密特正交化
把一组线性无关的向量组转化为一组两两正交且规范的向量组的过程称为施密特正交化。
设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,⋯,αn 线性无关其正交化过程为
1正交化 l e t β 1 α 1 , β 2 α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β n α n − ( α n , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α n , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 − ⋯ − ( α n , β n − 1 ) ( β n − 1 , β n − 1 ) β n − 1 let\space \pmb{\beta_1\alpha_1,\beta_2\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1}\\ \pmb{\beta_n\alpha_n-\frac{(\alpha_n,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_n,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2}-\cdots-\pmb{\frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})}\beta_{n-1}} let β1α1,β2α2−(β1,β1)(α2,β1)β1βnαn−(β1,β1)(αn,β1)β1−(β2,β2)(αn,β2)β2−⋯−(βn−1,βn−1)(αn,βn−1)βn−1 则向量组 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n} β1,β2,⋯,βn 两两正交。 2规范化。各自除以各自的模即可。
分块矩阵
首先是行列式有以下三个结论
1 ∣ A 1 A 2 ⋱ A n ∣ ∣ A 1 ∣ ⋅ ∣ A 2 ∣ ⋯ ∣ A n ∣ . \begin{vmatrix} \pmb{A_1} \\ \pmb{A_2} \\ \ddots \\ \pmb{A_n}\end{vmatrix}|\pmb{A_1}|\cdot|\pmb{A_2}|\cdots|\pmb{A_n}|. A1A2⋱An ∣A1∣⋅∣A2∣⋯∣An∣.
2 ∣ A C O B ∣ ∣ A O O B ∣ ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ . \begin{vmatrix} \pmb{A} \pmb{C}\\ \pmb{O} \pmb{B} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \pmb{A} \pmb{O}\\ \pmb{O} \pmb{B} \end{vmatrix}|\pmb{A}|\cdot|\pmb{B}|. AOCB AOOB ∣A∣⋅∣B∣.
3设 A , B \pmb{A,B} A,B 分别为 m , n m,n m,n 阶方阵则有 ∣ O A B O ∣ ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ . \begin{vmatrix} \pmb{O} \pmb{A}\\ \pmb{B} \pmb{O} \end{vmatrix}(-1)^{mn}|\pmb{A}|\cdot|\pmb{B}|. OBAO (−1)mn∣A∣⋅∣B∣.
然后是转置的结论 [ A B C D ] T [ A T C T B T D T ] . \begin{bmatrix} \pmb{A} \pmb{B}\\ \pmb{C} \pmb{D} \end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} \pmb{A^T} \pmb{C^T}\\ \pmb{B^T} \pmb{D^T} \end{bmatrix}. [ACBD]T[ATBTCTDT].
接着是逆矩阵的结论 [ A O O B ] − 1 [ A − 1 O O B − 1 ] , [ O A B O ] − 1 [ O B − 1 A − 1 O ] . \begin{bmatrix} \pmb{A} \pmb{O}\\ \pmb{O} \pmb{B} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \pmb{A^{-1}} \pmb{O}\\ \pmb{O} \pmb{B^{-1}} \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \pmb{O} \pmb{A}\\ \pmb{B} \pmb{O} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \pmb{O} \pmb{B^{-1}}\\ \pmb{A^{-1}} \pmb{O} \end{bmatrix}. [AOOB]−1[A−1OOB−1],[OBAO]−1[OA−1B−1O].
转置、逆、伴随之间的运算
对可逆矩阵转置、逆和伴随可以随意交换顺序即 ( A − 1 ) T ( A T ) − 1 , ( A ∗ ) − 1 ( A − 1 ) ∗ , ( A ∗ ) T ( A T ) ∗ . (\pmb{A}^{-1})^T(\pmb{A}^{T})^{-1},(\pmb{A}^{*})^{-1}(\pmb{A}^{-1})^{*},(\pmb{A}^{*})^T(\pmb{A}^{T})^*. (A−1)T(AT)−1,(A∗)−1(A−1)∗,(A∗)T(AT)∗.
关于秩
定义
矩阵的秩的定义
设 A \pmb{A} A 是 m × n m\times n m×n 矩阵从中任取 r r r 行 r r r 列元素按照原有次序构成的 r r r 阶行列式称为矩阵 A \pmb{A} A 的 r r r 阶子式。若 矩阵 A \pmb{A} A 中至少有一个 r r r 阶子式不为零但所有 r 1 r1 r1 阶子式可能没有均为零称 r r r 为矩阵 A \pmb{A} A 的秩。
向量组秩的定义
设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,⋯,αn 为一组向量若其存在 r r r 个向量线性无关且任意 r 1 r1 r1 个向量不一定有一定线性相关称这 r r r 个线性无关的向量构成的向量组为 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,⋯,αn 的极大线性无关组极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩。
性质
矩阵的秩有如下性质 r ( A ) r ( A T ) r ( A A T ) r ( A T A ) . [ r ( A ) r ( B ) − n ] ≤ r ( A B ) ≤ r ( A ) r ( B ) . r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } . i f A B O , t h e n , r ( A ) r ( B ) ≤ n . i f ∣ P ∣ , ∣ Q ∣ ≠ 0 , r ( A ) r ( P A ) r ( A Q ) r ( P A Q ) . r ( A ∗ ) { n r ( A ) n 1 r ( A ) n − 1 0 r ( A ) n − 1 , ( n ≥ 2 ) . l e t A m × n , B m × s , t h e n , max { r ( A ) , r ( A ) } ≤ r ( A ⋮ B ) ≤ r ( A ) r ( B ) . α , β ≠ 0 , r ( A ) 1 ⟺ A α β T . r ( A O O B ) r ( A ) r ( A ) . r(\pmb{A})r(\pmb{A}^T)r(\pmb{A}\pmb{A}^T)r(\pmb{A}^T\pmb{A}).\\ [r(\pmb{A})r(\pmb{B})-n]\leq r(\pmb{A}\pmb{B})\leq r(\pmb{A})r(\pmb{B}). \\ r(\pmb{AB})\leq \min\{r(\pmb{A}),r(\pmb{B})\}. \\ if\space \pmb{ABO},then\space ,r(\pmb{A})r(\pmb{B})\leq n. \\ if\space |\pmb{P}|,|\pmb{Q}|\ne0,r(\pmb{A})r(\pmb{PA})r(\pmb{AQ})r(\pmb{PAQ}).\\ r(\pmb{A}^*)\begin{cases} nr(\pmb{A})n\\ 1r(\pmb{A})n-1\\ 0r(\pmb{A})n-1 \end{cases},(n\geq2).\\ let\space \pmb{A}_{m\times n},\pmb{B}_{m\times s},then,\max\{r(\pmb{A}),r(\pmb{A})\}\leq r(\pmb{A}\space\vdots \space B)\leq r(\pmb{A})r(\pmb{B}). \\ \pmb{\alpha,\beta\ne 0},r(\pmb{A})1 \pmb{\Longleftrightarrow} \pmb{A}\pmb{\alpha\beta}^T.\\ r\begin{pmatrix} \pmb{A} \pmb{O} \\ \pmb{O} \pmb{B}\end{pmatrix}r(\pmb{A})r(\pmb{A}). r(A)r(AT)r(AAT)r(ATA).[r(A)r(B)−n]≤r(AB)≤r(A)r(B).r(AB)≤min{r(A),r(B)}.if ABO,then ,r(A)r(B)≤n.if ∣P∣,∣Q∣0,r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ).r(A∗)⎩ ⎨ ⎧n10r(A)nr(A)n−1r(A)n−1,(n≥2).let Am×n,Bm×s,then,max{r(A),r(A)}≤r(A ⋮ B)≤r(A)r(B).α,β0,r(A)1⟺AαβT.r(AOOB)r(A)r(A). 三、概统
常见分布的期望及方差 { 分布 ‾ 分布律或概率密度 ‾ 数学期望 ‾ 方差 ‾ 0 − 1 分布 P { X k } p k ( 1 − p ) 1 − k , k 0 , 1 p p ( 1 − p ) 二项分布 P { X k } C n k p k ( 1 − p ) n − k , k 0 ⋯ n n p n p ( 1 − p ) 泊松分布 P { X k } λ k k ! e − λ , k 0 , 1 , 2 , ⋯ λ λ 正态分布 f ( x ) 1 2 π σ E X P ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) μ σ 2 几何分布 P { X k } ( 1 − p ) k − 1 p , k 1 , 2 , ⋯ 1 / p ( 1 − p ) / p 2 \begin{cases}\underline{分布}\underline{分布律或概率密度}\underline{数学期望}\underline{方差}\\ 0-1分布P\{Xk\}p^k(1-p)^{1-k},k0,1pp(1-p)\\ 二项分布 P\{Xk\}C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k0\cdots nnpnp(1-p)\\ 泊松分布P\{Xk\}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k0,1,2,\cdots\lambda\lambda \\ 正态分布 f(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}E XP(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})\mu\sigma^2\\ 几何分布P\{Xk\}(1-p)^{k-1}p,k1,2,\cdots1/p(1-p)/p^2\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧分布0−1分布二项分布泊松分布正态分布几何分布分布律或概率密度P{Xk}pk(1−p)1−k,k0,1P{Xk}Cnkpk(1−p)n−k,k0⋯nP{Xk}k!λke−λ,k0,1,2,⋯f(x)2π σ1EXP(−2σ2(x−μ)2)P{Xk}(1−p)k−1p,k1,2,⋯数学期望pnpλμ1/p方差p(1−p)np(1−p)λσ2(1−p)/p2 均匀分布 f ( x ) { 1 / ( b − a ) , a x b 0 , e l s e , E ( X ) a b 2 , D ( X ) ( b − a ) 2 12 . f(x)\begin{cases} 1/(b-a),axb \\ 0,else \end{cases},E(X)\frac{ab}{2},D(X)\frac{(b-a)^2}{12}. f(x){1/(b−a),0,axbelse,E(X)2ab,D(X)12(b−a)2. 指数分布 f ( x ) { λ e − λ x , x 0 0 , e l s e , E ( X ) 1 λ , D ( X ) 1 λ 2 . f(x)\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},x0 \\ 0,else \end{cases},E(X)\frac{1}{\lambda},D(X)\frac{1}{\lambda^2}. f(x){λe−λx,0,x0else,E(X)λ1,D(X)λ21.
