免费做的网站怎么设置域名解析,宁夏百度seo,网站关键词锚文本指向,河北搜索引擎推广价格问题背景高等数学应用非常广#xff0c;基本上涉及到函数的地方都要用到微积分#xff0c;还有在几何方面也是如此#xff0c;计算机的应用让我们能简单快速处理各种高等数学中的计算#xff0c;比如极限、导数、积分、微分方程等的计算。实验目的使用 Python 通过计算与作…问题背景高等数学应用非常广基本上涉及到函数的地方都要用到微积分还有在几何方面也是如此计算机的应用让我们能简单快速处理各种高等数学中的计算比如极限、导数、积分、微分方程等的计算。实验目的使用 Python 通过计算与作图加强对极限、导数、积分等概念的理解并掌握它们计算方法以及求微分方程和方程组解析解的方法。实验原理与数学模型函数极限的求解讨论以及两个重要极限的验证。导数概念和导数的几何意义以及计算多元函数偏导数和全微分的方法。一元函数积分学和多元函数积分学。微分方程和方程组在有无初始条件的分析。实验所用软件Python 3.7NumPy 1.16.4SymPy 1.4Matplotlib 3.1.1主要内容函数极限的求解和两个重要极限的探究导数、高阶导数以及隐函数、参数方程定义函数导数的求解多元函数偏导数和全微分的求解计算定积分和不定积分以及重积分的方法求解微分方程以及方程组解析解的方法。实验过程1. 函数极限的求解和两个重要极限在这个实验中我们通过对简单的函数进行单侧极限的求解并且分析两个重要极限。例 1考虑函数解编写Python代码如下import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport sympy as sp# 求函数 yarctan(1/x) 的左右极限x sp.Symbol(x)fr sp.atan(1 / x)xl sp.limit(fr, x, 0, dir-)xr sp.limit(fr, x, 0, dir)print(%s 左极限是%s % (fr, xl))print(%s 右极限是%s % (fr, xr))# 绘制函数 yarctan(1/x) 的图像x np.arange(-6, 6, 0.01)y np.arctan(1 / x)plt.title(yarctan(1/x))plt.plot(x, y)plt.show()运行代码输出结果和绘制图像atan(1/x) 左极限是-pi/2atan(1/x) 右极限是pi/2根据计算结果和绘制的图像分析求得出题中函数的左右极限分别为 -pi/2 和 pi/2 。例 2两个重要极限的验证。解编写Python代码如下import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport sympy as sp# 分析两个重要极限x sp.Symbol(x)f1 sp.sin(x) / xf2 (1 1 / x) ** xx1 sp.limit(f1, x, 0)x2 sp.limit(f2, x, oo)print(%s 第一重要极限的值%s % (f1, x1))print(%s 第二重要极限的值%s % (f2, x2))# 绘制函数图像分析两个重要极限x1 np.arange(-3, 3, 0.01)x2 np.arange(0.01, 100, 0.1)y1 np.sin(x1) / x1y2 (1 1 / x2) ** x2plt.figure(figsize(12, 5))plt.subplot(121)plt.title(ysin(x)/x)plt.plot(x1, y1)plt.subplot(122)plt.title(y(11/x)**x)plt.plot(x2, y2)plt.show()运行代码输出结果和绘制图像sin(x)/x 第一重要极限的值1(1 1/x)**x 第二重要极限的值E根据上图变化趋势理解函数极限和程序得出的答案验证两个重要极限。2. 导数与微分的研究在这个实验中我们探究导数概念及其几何意义高阶导数隐函数导数参数方程定义的函数导数以及求解多元函数偏导数和全微分。例 1求 f(x)2x^33x^2-12x7 的导函数并作出该函数图形和在 x-1 处的切线。解编写Python代码如下import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport sympy as sp# 导数与微分x sp.Symbol(x)f 2 * x ** 3 3 * x ** 2 - 12 * x 7d sp.diff(f)print(%s 的导函数为%s % (f, d))y_d d.evalf(subs{x: -1})y_h f.evalf(subs{x: -1})print(将x-1代入导函数求解为%d % y_d)print(将x-1代入原函数求解为%d % y_h)f_d y_d * (x 1) y_hprint(得出切线方程为%s % f_d)# 绘制函数图和切线图x np.arange(-4, 3, 0.01)y1 2 * x ** 3 3 * x ** 2 - 12 * x 7y2 8 - 12 * xplt.title(函数y2*x**33*x**2-12*x7以及当x-1时的切线)plt.rcParams[font.sans-serif] [SimHei]plt.rcParams[axes.unicode_minus] Falseplt.plot(x, y1, x, y2)plt.show()运行代码输出结果和绘制图像2*x**3 3*x**2 - 12*x 7 的导函数为6*x**2 6*x - 12将x-1代入导函数求解为-12将x-1代入原函数求解为20得出切线方程为8.0 - 12.0*x最后执行便在同一个坐标系内作出了函数 f(x) 的图形和它在 x-1 处的切线(直线为切线)。注此两行代码是为了解决在绘图中显示中文乱码的问题。plt.rcParams[font.sans-serif] [SimHei]plt.rcParams[axes.unicode_minus] False例 2求函数 yx^{10}2(x-10)^9 的1阶到11阶导数。解编写Python代码如下import sympy as spx sp.Symbol(x)y x ** 10 2 * (x - 10) ** 9for n in range(1, 12):y d sp.diff(y)print(第%2d阶导数为%s % (n, d))输出即为题中要求所得函数高阶导数。例 3求由方程 2x^2-2xyy^2x2y10 确定的隐函数的导数。解编写Python代码如下import sympy as spx, y sp.symbols(x y)z 2 * x ** 2 - 2 * x * y y ** 2 x 2 * y 1d -sp.diff(z, x) / sp.diff(z, y)print(原方程导数为%s % d)运行代码输出结果原方程导数为(-4*x 2*y - 1)/(-2*x 2*y 2)该实验根据隐函数求导公式 dy/dx-Fx/Fy 求得然后再根据一般求导公式即可求出结果。例 4求由参数方程 xe^tcos(t), ye^tsin(t) 确定的函数的导数。解编写Python代码如下import sympy as spt sp.Symbol(t)x sp.exp(t) * sp.cos(t)y sp.exp(t) * sp.sin(t)d sp.diff(y, t) / sp.diff(x, t)print(原参数方程导数结果为%s % d)d sp.simplify(d)print(原参数方程导数化简为%s % d)运行代码输出结果原参数方程导数结果为(exp(t)*sin(t) exp(t)*cos(t))/(-exp(t)*sin(t) exp(t)*cos(t))原参数方程导数化简为tan(t pi/4)根据参数方程求导法则最后求得由参数方程确定函数的导数。例 5设 zsin(xy)cos^2(xy) 求偏导数(省略数学公式点击阅读原文查看)。解编写Python代码如下import sympy as spx, y sp.symbols(x y)z sp.sin(x * y) (sp.cos(x * y)) ** 2d1 sp.diff(z, x)d2 sp.diff(z, y)d3 sp.diff(z, x, 2)d4 sp.diff(sp.diff(z, x), y)print(第一偏导数为%s % d1)print(第二偏导数为%s % d2)print(第三偏导数为%s % d3)print(第四偏导数为%s % d4)运行代码输出结果第一偏导数为-2*y*sin(x*y)*cos(x*y) y*cos(x*y)第二偏导数为-2*x*sin(x*y)*cos(x*y) x*cos(x*y)第三偏导数为y**2*(2*sin(x*y)**2 - sin(x*y) - 2*cos(x*y)**2)第四偏导数为2*x*y*sin(x*y)**2 - x*y*sin(x*y) - 2*x*y*cos(x*y)**2 - 2*sin(x*y)*cos(x*y) cos(x*y)以上为多元函数偏导数的结果。3. 定积分与不定积分以及重积分的研究在这个实验中我们研究定积分与不定积分的计算以及多重积分的计算深入理解曲线积分、曲面积分的概念个计算方法。例 1计算 int{sqrt{4-x^2}dx} 和 int_1^2{sqrt{4-x^2}} 。解编写Python代码如下import sympy as spx sp.Symbol(x)y sp.sqrt(4 - x ** 2)i1 sp.integrate(y, x)i2 sp.integrate(y, (x, 1, 2))print(不定积分的结果为%s % i1)print(定积分的结果为%s % i2)运行代码输出结果不定积分的结果为x*sqrt(4 - x**2)/2 2*asin(x/2)定积分的结果为-sqrt(3)/2 2*pi/3使用 Python 求解不定积分时会省略积分的常数。例 2计算三重积分 iiint{(x^2y^2z)dxdydz} 其中由曲面 zsqrt{2-x^2-y^2} 与 zsqrt{x^2y^2} 围成。解编写Python代码作出区域曲面图形如下import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dx np.arange(-1, 1, 0.05)y np.arange(-1, 1, 0.05)x, y np.meshgrid(x, y)z1 np.sqrt(x ** 2 y ** 2)z2 np.sqrt(2 - x ** 2 - y ** 2)ax Axes3D(plt.figure())plt.rcParams[font.sans-serif] [SimHei]plt.rcParams[axes.unicode_minus] Falseax.set_title(三重积分曲面)ax.plot_surface(x, y, z1)ax.plot_surface(x, y, z2)plt.show()将方程转换为柱坐标计算然后确定积分限编写Python代码import sympy as spr, s, z sp.symbols(r s z)f (r ** 2 z) * ri sp.integrate(sp.integrate(sp.integrate(f, (z, r, sp.sqrt(2 - r ** 2))), (r, 0, 1)), (s, 0, 2 * sp.pi))print(三重积分计算结果为%s % i)运行代码输出结果三重积分计算结果为2*pi*(-5/12 8*sqrt(2)/15)4. 求微分方程的解析解在这个实验中我们用通过 Python 来求解微分方程的通解在初始条件下的特解以及微分方程组在初始条件下的特解。例 1求微分方程 y2xyxe^{-x^2}解编写Python代码如下import sympy as spx sp.Symbol(x)f sp.Function(f)y f(x)d sp.Eq(y.diff(x) 2 * x * y, x * sp.exp(-x ** 2))diff sp.dsolve(d, y)print(微分方程的通解为%s % diff)运行代码输出结果微分方程的通解为Eq(f(x), (C1 x**2/2)*exp(-x**2))例 2求微分方程 xyy-e^{-x}0 在初始条件 y(x1)2e 下的特解。解编写Python代码如下import sympy as spx sp.Symbol(x)f sp.Function(f)y f(x)d sp.Eq(x * y.diff(x) y - sp.exp(-x), 0)diff sp.dsolve(d, y, ics{f(1): 2 * sp.exp(1)})print(微分方程的特解为%s % diff)运行代码输出结果微分方程的特解为Eq(f(x), ((1 2*exp(2))*exp(-1) - exp(-x))/x)ga
