南通高端网站建设公司,威海外贸网站建设怎么样,wordpress文章摘要文字,google付费推广文章目录 1. 性质1.1 重要性质梳理1.1.1 转置和初等变换1.1.2加法行列式可拆分1.1.3 乘积行列式可拆分 1.2 行列式性质的应用1.2.1 简化运算1.2.2 将行列式转换为#xff08;二#xff09;中的特殊行列式 2 特殊行列式2.1 上三角或下三角行列式2.2 三叉行列式2.3 行列式行和二中的特殊行列式 2 特殊行列式2.1 上三角或下三角行列式2.2 三叉行列式2.3 行列式行和列和为定值2.4 对称行列式和反对称行列式2.5 范德蒙行列式 3.求行列式值的基本方法3.1 行列式定义3.2 行列式性质3.3 行列式的展开3.4 加边法3.5 归纳法 方阵行列式包含着大量的信息 首先它直接告诉我们行列式是否可逆如果为零则不可逆如果不为零则可逆
它可
1. 性质
1.1 重要性质梳理
1.1.1 转置和初等变换 对于转置值不变 | A T A^T AT|| A A A| 对于交换行列式的任意两行行列式值变号 可以证明若某两行相同则行列式值为0 对于某一行列乘一个数K等于给矩阵的行列式乘K 注意区别|kA|与 k|A| 其中 $|kA|k^n|A| $ (A为n阶矩阵 对于某一行列加上另一行列的k倍行列式值不变
1.1.2加法行列式可拆分
行列式的某一行都为两项之和可以拆分为两行项之和和的那一行分开其余行保持不变。 1.1.3 乘积行列式可拆分
设 A B 为n阶方阵则|AB||A||B| 更一般的有|A1A2…As||A1||A2|…|As|
1.2 行列式性质的应用
1.2.1 简化运算 解
1.2.2 将行列式转换为二中的特殊行列式
通过行列式变换转换为特殊行列式
2 特殊行列式
2.1 上三角或下三角行列式
行列式的值为对象线上的元素的乘积这个可以用行列式的定义来证明它是一个很重要的行列式三叉行列式或者是行列式和为定值的行列式最后本质上都转为了这个特殊行列式
例 ∣ 1 1 2 3 0 − 1 1 7 0 0 3 2 0 0 0 4 ∣ 1 × − 1 × 3 × 4 − 12 \begin{vmatrix}1123\\0-117\\0032\\0004\end{vmatrix}1×-1×3×4-12 10001−10021303724 1×−1×3×4−12
2.2 三叉行列式
本质上需要转换为1 中的上三角或下三角行列式 KP88 1T
例计算n阶行列式 ∣ 1 1 1 ⋯ 1 − 1 2 0 ⋯ 0 − 1 0 3 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 − 1 0 ⋯ 0 n ∣ \begin{vmatrix}111\cdots1\\-120\cdots0\\-103\ddots\vdots\\\vdots\vdots\ddots\ddots0\\-10\cdots0n\end{vmatrix} 1−1−1⋮−1120⋮0103⋱⋯⋯⋯⋱⋱010⋮0n
解解决办法就是把主对角线下上的元素都变为零对于本题的话左下角都为-1,因而可以把第二列乘二分之一加到第一列上去第三列乘三分之一加到第一列上去……可以得到如下 ∣ 1 1 2 1 3 . . . 1 n 1 1 ⋯ 1 0 2 0 ⋯ 0 0 0 3 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 0 ⋯ 0 n ∣ \begin{vmatrix}1\frac{1}{2}\frac{1}{3}...\frac{1}{n}11\cdots1\\020\cdots0\\003\ddots\vdots\\\vdots\vdots\ddots\ddots0\\00\cdots0n\end{vmatrix} 12131...n100⋮0120⋮0103⋱⋯⋯⋯⋱⋱010⋮0n
进而采用主对角线上元素相乘即可得到结果 n ! ( 1 1 2 1 3 . . . 1 n ) n! (1\frac{1}{2}\frac{1}{3}...\frac{1}{n}) n!(12131...n1)
2.3 行列式行和列和为定值
如果行和或者列和为定值时一般采取的方法是将各行列加到某一行列提取公因式
例 解 2.4 对称行列式和反对称行列式
1反对称行列式 主对角线上全为零主对角上下对应元素相反
如 ∣ 0 1 2 − 1 0 3 − 2 − 3 0 ∣ \begin{vmatrix}012 \\-103\\-2-30\end{vmatrix} 0−1−210−3230 反对称行列式有一个重要性质 A T − A A^T-A AT−A 基于这一性质我们可以推出若反对称行列式为奇数阶 则行列式值为零左面这个行列式即为零 证明 因为 A T − A A^T-A AT−A 所以 ∣ A T ∣ ∣ − A ∣ − 1 n ∣ A ∣ |A^T||-A|-1^n|A| ∣AT∣∣−A∣−1n∣A∣ 当n为奇数则有 ∣ A T ∣ − ∣ A ∣ |A^T|-|A| ∣AT∣−∣A∣ 又因为转置行列式值不变 所以 ∣ A ∣ − ∣ A ∣ |A|-|A| ∣A∣−∣A∣ 则|A|只能为0
2对称行列式 主对角线上元素无要求主对角上下对应元素相等
如 ∣ 1 1 2 1 2 3 2 3 0 ∣ \begin{vmatrix}112 \\123\\230\end{vmatrix} 112123230
2.5 范德蒙行列式
范德蒙行列式
3.求行列式值的基本方法
3.1 行列式定义
用行列式定义求的矩阵具有较多的零元素的特征相应元素取过之后所在列所在行就不能再取元素了
例1 求A ∣ 1 1 0 0 2 − 1 0 0 0 0 3 0 0 0 4 4 ∣ \begin{vmatrix}1100\\2-100\\0030\\0044\end{vmatrix} 12001−10000340004
解 A1×(-1)×3×4-1×1×2×3×4-36
拓展C P9 1T 3T
3.2 行列式性质
利用一中的行列式性质如加法行列式可拆性基本变换等结合一些行列式两行成比例结果为零的一些推论
例2 求A ∣ a 2 ( a 1 ) 2 ( a 2 ) 2 ( a 3 ) 2 b 2 ( b 1 ) 2 ( b 2 ) 2 ( b 3 ) 2 c 2 ( c 1 ) 2 ( c 2 ) 2 ( c 3 ) 2 d 2 ( d 1 ) 2 ( d 2 ) 2 ( d 3 ) 2 ∣ \begin{vmatrix}a^2(a1)^2(a2)^2 (a3)^2\\b^2(b1)^2(b2)^2 (b3)^2\\c^2(c1)^2(c2)^2 (c3)^2\\d^2(d1)^2(d2)^2 (d3)^2\\\end{vmatrix} a2b2c2d2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2(c3)2(d3)2
解 ∣ a 2 ( a 1 ) 2 ( a 2 ) 2 ( a 3 ) 2 b 2 ( b 1 ) 2 ( b 2 ) 2 ( b 3 ) 2 c 2 ( c 1 ) 2 ( c 2 ) 2 ( c 3 ) 2 d 2 ( d 1 ) 2 ( d 2 ) 2 ( d 3 ) 2 ∣ \begin{vmatrix}a^2(a1)^2(a2)^2 (a3)^2\\b^2(b1)^2(b2)^2 (b3)^2\\c^2(c1)^2(c2)^2 (c3)^2\\d^2(d1)^2(d2)^2 (d3)^2\\\end{vmatrix} a2b2c2d2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2(c3)2(d3)2 ∣ a 2 a 2 2 a 1 a 2 4 a 4 a 2 6 a 9 b 2 b 2 2 b 1 b 2 4 b 4 b 2 6 b 9 c 2 c 2 2 c 1 c 2 4 c 4 c 2 6 c 9 d 2 d 2 2 d 1 d 2 4 d 4 d 2 6 d 9 ∣ \begin{vmatrix}a^2a^22a1a^24a4 a^26a9\\b^2b^22b1b^24b4 b^26b9\\c^2c^22c1c^24c4 c^26c9\\d^2d^22d1d^24d4 d^26d9\\\end{vmatrix} a2b2c2d2a22a1b22b1c22c1d22d1a24a4b24b4c24c4d24d4a26a9b26b9c26c9d26d9
将右边完全拆开后一共有3×3×327种组合相加但每种组合总会有成比例的两列因而最后行列式0
3.3 行列式的展开
行列式的展开本质是降阶是一种非常重要的方法降阶的话有可以得到二阶三阶行列式方便计算或者是我们可以得到一种递推关系式n阶矩阵
1如 ∣ 1 1 3 0 2 − 1 1 0 5 6 3 0 1 2 4 4 ∣ \begin{vmatrix}1130\\2-110\\5630\\1244\end{vmatrix} 12511−16231340004 可按最后一列展开则可以直接降解为三阶行列式我们发现某一行列的零越多越好多一个零就少算一个行列式。
有时候某一列的零不是很多但是我们又没有其他好的方法计算我们可以先进行一些变换使得某一列或某一行的零变多进而简化运算如要求 ∣ 1 1 3 1 2 − 1 1 2 5 6 3 3 1 2 4 4 ∣ \begin{vmatrix}1131\\2-112\\5633\\1244\end{vmatrix} 12511−16231341234 我们可以先用第二行减去二倍的第一行第三行减去三倍的第一行第四行减去四倍的第一行得到 ∣ 1 1 3 1 0 − 3 − 5 0 2 3 − 6 0 − 3 − 2 − 8 0 ∣ \begin{vmatrix}1131\\0-3-50\\23-60\\-3-2-80\end{vmatrix} 102−31−33−23−5−6−81000 按最后一列展开即可降阶为三阶**-** ∣ 0 − 3 − 5 2 3 − 6 − 3 − 2 − 8 ∣ \begin{vmatrix}0-3-5\\23-6\\-3-2-8\end{vmatrix} 02−3−33−2−5−6−8 记得前面的负号不要丢掉再按第一列展开即可得到两个二阶行列式
2对于n阶矩阵我们不可能降阶到二阶三阶但是我们可以找到递推关系式进而求出答案
3.4 加边法
基于行列式展开让行列式升阶
3.5 归纳法 解
