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1.我们要实现怎样的目标#xff1f;
如果有两个复信号#xff0c; 连续信号表示为y1(t)y_1(t)y1(t)和 y2(t)y_2(t)y2(t); 离散信号表示为y1(n)y_1(n)y1(n)和y2(n)y_2(n)y2(n)#xff1b; 两个信号的互相关函数表示为R…互相关函数的信号傅里叶变换形式表达以及推导
1.我们要实现怎样的目标
如果有两个复信号 连续信号表示为y1(t)y_1(t)y1(t)和 y2(t)y_2(t)y2(t); 离散信号表示为y1(n)y_1(n)y1(n)和y2(n)y_2(n)y2(n) 两个信号的互相关函数表示为Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 两个信号的傅里叶变换分别表示为Y1(w)Y_1(w)Y1(w)和Y2(w)Y_2(w)Y2(w) 两个信号的互功率谱表示为Py1y2(w)P_{y_1y_2}(w)Py1y2(w) 两个信号的卷积表示为y1∗y2y_1*y_2y1∗y2 两个信号的共轭分别表示为y1∗y_1^*y1∗和y2∗y_2^*y2∗。
使用两个信号的傅里叶变换Y1(w)Y_1(w)Y1(w)和Y2(w)Y_2(w)Y2(w)来表示两个信号之间的互相关函数Rxy(τ)R_{xy}(\tau)Rxy(τ)则可表示为
对于连续信号
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫−∞∞Y1∗(w)Y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫−∞∞Y1∗(w)Y2(w)ejwτdw
对于离散信号
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫02πY1∗(w)Y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫02πY1∗(w)Y2(w)ejwτdw
我们的目标是 1完成公式(1−1)(1-1)(1−1)推导 3在推导过程中了解互相关函数互功率谱、卷积和共轭之间的关系
2.一些基本知识的铺垫
在进行公式推导前我们需要进行一些基础知识的铺垫。
2.1 什么是互相关函数什么是实信号的互相关函数
在2.1小节我们都是讨论实信号在2.2小节我们再讨论复信号。
实信号y1(n)y_1(n)y1(n)和y2(n)y_2(n)y2(n)的互相关函数简单的来说就是把其中一个信号假如是y2(n)y_2(n)y2(n)平移一段距离τ\tauτ看它和另外一个信号(y1(n)y_1(n)y1(n))的相似程度。
互相关函数就是描述这个相似程度的高低互相关函数是平移距离的函数也就是说互相关函数随着平移距离τ\tauτ的变化而变化。
那么互相关函数采用什么形式来描述这种相似程度呢
对于连续型信号我们使用平方积分来描述这种相似程度: Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∫−∞∞y1(t)y2(tτ)dt\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1(t)y_2(t\tau)dt}∫−∞∞y1(t)y2(tτ)dt 如果y2(t)y_2(t)y2(t)平移一段距离τ\tauτ后和y1(t)y_1(t)y1(t)越相似那么它们的乘积再积分一定越大。
对于离散信号我们使用平方求和来描述这种相似程度 Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∑n−∞∞y1(n)y2(nτ)\displaystyle \sum^{ \infty}_{n -\infty}{y_1(n)y_2(n\tau)}n−∞∑∞y1(n)y2(nτ) 如果y2(t)y_2(t)y2(t)平移一段距离τ\tauτ后和y1(t)y_1(t)y1(t)越相似那么它们的乘积再求和一定越大。
以上的互相关函数的描述形式是基于信号平方可积或平方可和即有限能量的前提下才成立。
假如y1(t)y_1(t)y1(t)和y2(t)y_2(t)y2(t)或者y1(n)y_1(n)y1(n)和y2(n)y_2(n)y2(n)是“永远持续”的信号那么无论是乘积积分还是乘积求和互相关函数都无法表示。那么对于永远持续”的信号如何描述它们之间的相似性呢 永远持续”的信号被处理成随机过程对于宽平稳随机过程自相关函数定义为
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)E[y1(t)y2(tτ)]E[y_1(t)y_2(t\tau)]E[y1(t)y2(tτ)]
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)E[y1(n)y2(nτ)]E[y_1(n)y_2(n\tau)]E[y1(n)y2(nτ)]
在实际的操作中上述通过期望求互相关函数往往被处理成 Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)E[y1(t)y2(tτ)]E[y_1(t)y_2(t\tau)]E[y1(t)y2(tτ)] limT→−∞1T\displaystyle \lim_{T\to -\infty}{\frac{1}{T}}T→−∞limT1∫0T\displaystyle \int^{T}_{0}∫0Ty1(t)y2(tτ)dt{y_1(t)y_2(t\tau)dt}y1(t)y2(tτ)dt
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)E[y1(n)y2(nτ)]E[y_1(n)y_2(n\tau)]E[y1(n)y2(nτ)]
limN→−∞1N\displaystyle \lim_{N\to -\infty}{\frac{1}{N}}N→−∞limN1∑n0N−1y1(n)y2(nτ)\displaystyle \sum^{ N-1}_{n0}{y_1(n)y_2(n\tau)}n0∑N−1y1(n)y2(nτ)
2.2什么是复信号的互相关函数
为什么复信号要使用共轭相乘
当y1(t)y_1(t)y1(t)和y2(t)y_2(t)y2(t)或者y1(n)y_1(n)y1(n)和y2(n)y_2(n)y2(n)是复信号时互相关函数描述复信号的相似程度这时若直接采用两个复信号相乘形式起不到相似度叠加的效果所以一般会取其中任一信号的共轭形式然后在与另一信号相乘所以互相关函数表示为:
(1)基于信号平方可积或平方可和(即有限能量)的互相关函数表达形式
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∫−∞∞y1∗(t)y2(tτ)dt\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t\tau)dt}∫−∞∞y1∗(t)y2(tτ)dt
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∑n−∞∞y1∗(n)y2(nτ)\displaystyle \sum^{ \infty}_{n -\infty}{y_1^*(n)y_2(n\tau)}n−∞∑∞y1∗(n)y2(nτ)
(2)当复信号为“永久持续”的信号时
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)E[y1∗(t)y2(tτ)]E[y_1^*(t)y_2(t\tau)]E[y1∗(t)y2(tτ)]
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)E[y1∗(n)y2(nτ)]E[y_1^*(n)y_2(n\tau)]E[y1∗(n)y2(nτ)]
2.3什么是信号的互功率谱互相关函数和互功率谱之间的关系
互功率谱就是对互相关函数的傅里叶变换。 对于连续信号 Py1y2(w)P_{y_1y_2}(w)Py1y2(w)∫−∞∞Ry1y2(τ)e−jwτdτ\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}∫−∞∞Ry1y2(τ)e−jwτdτ 所以互相关函数和互功率谱实际是一对傅里叶变换对由此 Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫−∞∞Py1y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫−∞∞Py1y2(w)ejwτdw
对于离散信号 Py1y2(w)P_{y_1y_2}(w)Py1y2(w)∑τ−∞∞Ry1y2(τ)e−jwτ\displaystyle \sum^{ \infty}_{\tau -\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}}τ−∞∑∞Ry1y2(τ)e−jwτ
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫02πPy1y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫02πPy1y2(w)ejwτdw
2.4卷积和两个信号卷积的傅里叶变换
两个信号的卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积。 若 Y1(w)Y_1(w)Y1(w)∫−∞∞y1(τ)e−jwτdτ\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}∫−∞∞y1(τ)e−jwτdτ Y2(w)Y_2(w)Y2(w)∫−∞∞y2(τ)e−jwτdτ\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}∫−∞∞y2(τ)e−jwτdτ 则 Y1(w)Y_1(w)Y1(w)Y2(w)Y_2(w)Y2(w)∫−∞∞y1(τ)∗y2(τ)e−jwτdτ\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1(\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}∫−∞∞y1(τ)∗y2(τ)e−jwτdτ
3.使用两个信号的傅里叶变换表示两个信号之间的互相关函数
3.1若y1(t)y_1(t)y1(t)和y2(t)y_2(t)y2(t)为连续信号且满足信号平方可积
则由2.1节知
两个复信号之间的互相关函数为
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∫−∞∞y1∗(t)y2(tτ)dt\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t\tau)dt}∫−∞∞y1∗(t)y2(tτ)dt
但现在我们要用两个信号的傅里叶变化来表示它们的互相关函数那么可以如何表示呢 我们首先给出表达形式如下然后进行推导。
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)12π∫−∞∞Y1∗(w)Y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫−∞∞Y1∗(w)Y2(w)ejwτdw
因为:
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∫−∞∞y1∗(t)y2(tτ)dt\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t\tau)dt}∫−∞∞y1∗(t)y2(tτ)dt
令t−t′t-t^{}t−t′,t′−tt^{}-tt′−t则
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∫∞−∞y1∗(−t′)y2(−t′τ)d−t′\displaystyle \int^{-\infty}_{\infty}{y_1^*(-t^{})y_2(-t^{}\tau)d-t^{}}∫∞−∞y1∗(−t′)y2(−t′τ)d−t′ \quad\quad\quad\quad∫∞−∞y1∗(−t′)y2(−t′τ)d−t′\displaystyle \int^{-\infty}_{\infty}{y_1^*(-t^{})y_2(-t^{}\tau)d-t^{}}∫∞−∞y1∗(−t′)y2(−t′τ)d−t′
\quad\quad\quad\quad∫−∞∞y1∗(−t′)y2(−t′τ)dt′\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(-t^{})y_2(-t^{}\tau)dt^{}}∫−∞∞y1∗(−t′)y2(−t′τ)dt′ \quad\quad\quad\quady1∗(−τ)∗y2(τ)y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)y1∗(−τ)∗y2(τ)
由2.3节知
Py1y2(w)P_{y_1y_2}(w)Py1y2(w)∫−∞∞Ry1y2(τ)e−jwτdτ\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}∫−∞∞Ry1y2(τ)e−jwτdτ \quad\quad\quad\quad∫−∞∞y1∗(−τ)∗y2(τ)e−jwτdτ\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}∫−∞∞y1∗(−τ)∗y2(τ)e−jwτdτ
由2.4节知
Py1y2(w)P_{y_1y_2}(w)Py1y2(w)∫−∞∞y1∗(−τ)∗y2(τ)e−jwτdτ\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}∫−∞∞y1∗(−τ)∗y2(τ)e−jwτdτ \quad\quad\quad\quad∫−∞∞y1∗(−τ)e−jwτdτ×∫−∞∞y2(τ)e−jwτdτ\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}d\tau}\times \displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}∫−∞∞y1∗(−τ)e−jwτdτ×∫−∞∞y2(τ)e−jwτdτ \quad\quad\quad\quad∫−∞∞y1∗(−τ)e−jwτdτ×Y2(w)\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}d\tau}\times Y_2(w)∫−∞∞y1∗(−τ)e−jwτdτ×Y2(w)
令τ−τ′\tau-\tau^{}τ−τ′,τ′−τ\tau^{}-\tauτ′−τ则
Py1y2(w)P_{y_1y_2}(w)Py1y2(w)∫∞−∞y1∗(τ′)ejwτ′d(−τ′)×Y2(w)\displaystyle \int^{-\infty}_{\infty}{y_1^*(\tau^{})e^{jw\tau^{}}d(-\tau^{})}\times Y_2(w)∫∞−∞y1∗(τ′)ejwτ′d(−τ′)×Y2(w) \quad\quad\quad\quad∫−∞∞y1∗(τ′)ejwτ′dτ′×Y2(w)\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(\tau^{})e^{jw\tau^{}}d\tau^{}}\times Y_2(w)∫−∞∞y1∗(τ′)ejwτ′dτ′×Y2(w) \quad\quad\quad\quad∫−∞∞y1∗(τ′)ejwτ′dτ′×Y2(w)\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1^*(\tau^{})e^{jw\tau^{}}d\tau^{}}\times Y_2(w)∫−∞∞y1∗(τ′)ejwτ′dτ′×Y2(w) \quad\quad\quad\quad(∫−∞∞y1(τ′)e−jwτ′dτ′)∗×Y2(w)(\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{y_1(\tau^{})e^{-jw\tau^{}}d\tau^{}})^*\times Y_2(w)(∫−∞∞y1(τ′)e−jwτ′dτ′)∗×Y2(w)
\quad\quad\quad\quadY1∗(w)Y2(w)Y_1^*(w)Y_2(w)Y1∗(w)Y2(w)
由2.3知
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫−∞∞Py1y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫−∞∞Py1y2(w)ejwτdw \quad\quad\quad\quad12π∫−∞∞Y1∗(w)Y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫−∞∞Y1∗(w)Y2(w)ejwτdw \quad\quad\quad\quad12π∫−∞∞Y1∗(w)Y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫−∞∞Y1∗(w)Y2(w)ejwτdw
由此我们完成了连续信号的互相关函数的推导过程。
令w−w′w-w^{}w−w′,w′−ww^{}-ww′−w则
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫∞−∞Y1∗(−w′)Y2(−w′)e−jw′τd(−w′)\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{-\infty}_{\infty}{Y_1^*(-w^{})Y_2(-w^{})e^{-jw^{}\tau}d(-w^{})}2π1∫∞−∞Y1∗(−w′)Y2(−w′)e−jw′τd(−w′) \quad\quad\quad\quad12π∫−∞∞Y1∗(−w′)Y2(−w′)e−jw′τd(w′)\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{Y_1^*(-w^{})Y_2(-w^{})e^{-jw^{}\tau}d(w^{})}2π1∫−∞∞Y1∗(−w′)Y2(−w′)e−jw′τd(w′)
若y1(t)y_1(t)y1(t)和y2(t)y_2(t)y2(t)是实信号则由实信号的共轭对称性得
Y1∗(−w′)Y_1^*(-w^{})Y1∗(−w′)Y1(w′)Y_1(w^{})Y1(w′)
Y2(−w′)Y_2(-w^{})Y2(−w′)Y2∗(w′)Y_2^*(w^{})Y2∗(w′)
所以当y1(t)y_1(t)y1(t)和y2(t)y_2(t)y2(t)是实信号时
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫−∞∞Y1∗(−w′)Y2(−w′)e−jw′τdw′\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{Y_1^*(-w^{})Y_2(-w^{})e^{-jw^{}\tau}dw^{}}2π1∫−∞∞Y1∗(−w′)Y2(−w′)e−jw′τdw′ \quad\quad\quad\quad12π∫−∞∞Y1(w′)Y2∗(w′)e−jw′τdw′\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{Y_1(w^{})Y_2^*(w^{})e^{-jw^{}\tau}dw^{}}2π1∫−∞∞Y1(w′)Y2∗(w′)e−jw′τdw′ \quad\quad\quad\quad12π∫−∞∞Y1(w)Y2∗(w)e−jwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{Y_1(w)Y_2^*(w)e^{-jw\tau}dw}2π1∫−∞∞Y1(w)Y2∗(w)e−jwτdw
3.2 若y1(n)y_1(n)y1(n)和y2(n)y_2(n)y2(n)为离散信号且满足信号平方可和
则由2.1节知
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∑n−∞∞y1(n)y2(nτ)\displaystyle \sum^{ \infty}_{n -\infty}{y_1(n)y_2(n\tau)}n−∞∑∞y1(n)y2(nτ)
但现在我们要用两个信号的傅里叶变化来表示它们的互相关函数那么可以如何表示呢 我们首先给出表达形式如下然后进行推导。
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫02πY1∗(w)Y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫02πY1∗(w)Y2(w)ejwτdw
因为
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∑n−∞∞y1(n)y2(nτ)\displaystyle \sum^{ \infty}_{n -\infty}{y_1(n)y_2(n\tau)}n−∞∑∞y1(n)y2(nτ)
令n−n′n-n^{}n−n′,n′−nn^{}-nn′−n,则:
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ)∑n′−∞∞y1(−n′)y2(−n′τ)\displaystyle \sum^{ \infty}_{n^{} -\infty}{y_1(-n^{})y_2(-n^{}\tau)}n′−∞∑∞y1(−n′)y2(−n′τ)
\quad\quad\quad\quady1∗(−τ)∗y2(τ)y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)y1∗(−τ)∗y2(τ)
由2.3节知
Py1y2(w)P_{y_1y_2}(w)Py1y2(w)∑τ−∞∞Ry1y2(τ)e−jwτ\displaystyle \sum^{ \infty}_{\tau -\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}}τ−∞∑∞Ry1y2(τ)e−jwτ
\quad\quad\quad\quad∑τ−∞∞y1∗(−τ)e−jwτ×∑τ−∞∞y2(τ)e−jwτ\displaystyle \sum^{ \infty}_{\tau -\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}} \times \displaystyle \sum^{ \infty}_{\tau -\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}}τ−∞∑∞y1∗(−τ)e−jwτ×τ−∞∑∞y2(τ)e−jwτ
\quad\quad\quad\quadY1∗(w)Y2(w)Y_1^*(w)Y_2(w)Y1∗(w)Y2(w)
由2.3节知
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫02πPy1y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫02πPy1y2(w)ejwτdw
\quad\quad\quad\quad12π∫02πY1∗(w)Y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫02πY1∗(w)Y2(w)ejwτdw
若y1(n)y_1(n)y1(n)和y2(n)y_2(n)y2(n)为实信号同理可得
Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1y2(τ) 12π∫02πY1∗(w)Y2(w)ejwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}2π1∫02πY1∗(w)Y2(w)ejwτdw
\quad\quad\quad\quad12π∫02πY1(w)Y2∗(w)e−jwτdw\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1(w)Y_2^*(w)e^{-jw\tau}dw}2π1∫02πY1(w)Y2∗(w)e−jwτdw
