网站建设留言板的实现,制作微信小程序要钱吗,网站建设中长出现的问题,做网站分期付款比例文章目录 1 复习一元函数复合函数求导2 一元函数与多元函数复合的情形3 多元函数与多元函数复合的情形4 其他情形5 抽象复合函数求导6 全微分不变性结语 1 复习一元函数复合函数求导 y f ( u ) , u ϕ ( x ) ⇒ f [ ϕ ( x ) ] d y d x d y d u ⋅ d u d x f ′ ( u ) ⋅ ϕ… 文章目录 1 复习一元函数复合函数求导2 一元函数与多元函数复合的情形3 多元函数与多元函数复合的情形4 其他情形5 抽象复合函数求导6 全微分不变性结语 1 复习一元函数复合函数求导 y f ( u ) , u ϕ ( x ) ⇒ f [ ϕ ( x ) ] d y d x d y d u ⋅ d u d x f ′ ( u ) ⋅ ϕ ′ ( x ) f ′ [ ϕ ( x ) ] ⋅ ϕ ′ ( x ) yf(u),u\phi(x) \Rightarrow f[\phi(x)]\\ \frac{dy}{dx}\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}f{}(u)\cdot \phi{}(x)f{}[\phi(x)]\cdot\phi{}(x) yf(u),uϕ(x)⇒f[ϕ(x)]dxdydudy⋅dxduf′(u)⋅ϕ′(x)f′[ϕ(x)]⋅ϕ′(x)
注
复合关系图 d y d u ⋅ d u d x d y d x x → u → y \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\frac{dy}{dx}\hskip1em x\rightarrow u\rightarrow y dudy⋅dxdudxdyx→u→y
2 一元函数与多元函数复合的情形 定理1 如果函数 u ϕ ( t ) 及 v ψ ( t ) u\phi(t)及v\psi(t) uϕ(t)及vψ(t)都在点t处可导函数 z f ( u , v ) zf(u,v) zf(u,v)在对应点 ( u , v ) (u,v) (u,v)具有连续偏导数那么复合函数 z f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] 在点 t zf[\phi(t),\psi(t)]在点t zf[ϕ(t),ψ(t)]在点t可导且有 d z d t ∂ z ∂ u d u d t ∂ z ∂ v d v d t \frac{dz}{dt}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} dtdz∂u∂zdtdu∂v∂zdtdv 设 t 获得增量 Δ t , 此时 u ϕ ( t ) , v ψ ( t ) 获得增量 Δ u , Δ v 由此 z f ( u , v ) 相应获得增量 Δ z 函数 z f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 具有连续偏导 Δ z ∂ z ∂ u Δ u ∂ v ∂ v Δ v ϵ 1 Δ u ϵ 2 Δ v 当 Δ u → 0 , Δ v → 0 时 ϵ 1 → 0 , ϵ 2 → 0 上式两边各除以 Δ t 得 Δ z Δ t ∂ z ∂ u Δ u Δ t ∂ z ∂ v Δ v Δ t ϵ 1 Δ u Δ t ϵ 2 Δ v Δ t ∵ 当 Δ → 0 , Δ u → 0 , Δ v → 0 , Δ u Δ t → d u d t , Δ v Δ t d v d t ∴ lim Δ t → 0 Δ z Δ t ∂ z ∂ u d u d t ∂ z ∂ v d v d t 设t获得增量\Delta t,此时u\phi(t),v\psi(t)获得增量\Delta u,\Delta v\\ 由此zf(u,v)相应获得增量\Delta z\\ 函数zf(u,v)在点(u,v)具有连续偏导\\ \Delta z\frac{\partial z}{\partial u}\Delta u\frac{\partial v}{\partial v}\Delta v \epsilon_1\Delta u\epsilon_2\Delta v\\ 当\Delta u\to 0,\Delta v\to 0时\epsilon_1\to0,\epsilon_2\to0\\ 上式两边各除以\Delta t得\\ \frac{\Delta z}{\Delta t}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\Delta u}{\Delta t}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\Delta v}{\Delta t}\epsilon_1\frac{\Delta u}{\Delta t}\epsilon_2\frac{\Delta v}{\Delta t}\\ \because 当\Delta \to0,\Delta u\to0,\Delta v\to0,\frac{\Delta u}{\Delta t}\to\frac{du}{dt},\frac{\Delta v}{\Delta t}\frac{dv}{dt}\\ \therefore \lim\limits_{\Delta t\to0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} 设t获得增量Δt,此时uϕ(t),vψ(t)获得增量Δu,Δv由此zf(u,v)相应获得增量Δz函数zf(u,v)在点(u,v)具有连续偏导Δz∂u∂zΔu∂v∂vΔvϵ1Δuϵ2Δv当Δu→0,Δv→0时ϵ1→0,ϵ2→0上式两边各除以Δt得ΔtΔz∂u∂zΔtΔu∂v∂zΔtΔvϵ1ΔtΔuϵ2ΔtΔv∵当Δ→0,Δu→0,Δv→0,ΔtΔu→dtdu,ΔtΔvdtdv∴Δt→0limΔtΔz∂u∂zdtdu∂v∂zdtdv
注 d z d t 称为全导数 \frac{dz}{dt}称为全导数 dtdz称为全导数复合关系图
例1 z u 2 e v , u sin t , v e t 求 d z d t zu^2e^v,u\sin t,ve^t求\frac{dz}{dt} zu2ev,usint,vet求dtdz 解 d z d t ∂ z ∂ u d u d t ∂ z ∂ v d v d t 2 sin t ⋅ e e t cos t ( sin t ) 2 ⋅ e e t ⋅ e t sin t e e t ( 2 cos t sin t e t ) 解\\ \frac{dz}{dt}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}\\ 2\sin t\cdot e^{e^t}\cos t(\sin t)^2\cdot e^{e^t}\cdot e^t\\ \sin t e^{e^t}(2\cos t\sin t e^{t}) 解dtdz∂u∂zdtdu∂v∂zdtdv2sint⋅eetcost(sint)2⋅eet⋅etsinteet(2costsintet)
3 多元函数与多元函数复合的情形 定理2 如果函数 u ϕ ( x , y ) 及 v ψ ( x , y ) 都在点 ( x , y ) u\phi(x,y)及v\psi(x,y)都在点(x,y) uϕ(x,y)及vψ(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数函数 z f ( u , v ) 在对应点 ( u , v ) zf(u,v)在对应点(u,v) zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数那么复合函数 z f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] 在点 ( x , y ) zf[\phi(x,y),\psi(x,y)]在点(x,y) zf[ϕ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)的连个偏导数都存在且有 ∂ z ∂ x ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \\ ∂x∂z∂u∂z∂x∂u∂v∂z∂x∂v∂y∂z∂u∂z∂y∂u∂v∂z∂y∂v 注
复合关系图
例3 z e u sin v , u x y , v x y , 求 ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y ze^u\sin v,uxy,vxy,求\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y} zeusinv,uxy,vxy,求∂x∂z,∂y∂z 解 ∂ z ∂ x ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x e x y sin ( x y ) y e x y cos ( x y ) ( 1 y ) 解\\ \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ e^{xy}\sin(xy)ye^{xy}\cos(xy)(1y)\\ 解∂x∂z∂u∂z∂x∂u∂v∂z∂x∂vexysin(xy)yexycos(xy)(1y)
4 其他情形 定理3 如果函数 u ϕ ( x , y ) 在点 ( x , y ) u\phi(x,y)在点(x,y) uϕ(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数函数 v ψ ( y ) 在点 y v\psi(y)在点y vψ(y)在点y具有对点y可导函数 z f ( u , v ) 在对应点 ( u , v ) zf(u,v)在对应点(u,v) zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数那么复合函数 z f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( y ) ] 在点 ( x , y ) zf[\phi(x,y),\psi(y)]在点(x,y) zf[ϕ(x,y),ψ(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在且有 ∂ z ∂ x ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y ∂ z ∂ v d v d y \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{d v}{d y} \\ ∂x∂z∂u∂z∂x∂u∂y∂z∂u∂z∂y∂u∂v∂zdydv 注 复合关系图 推广复合函数的某些中间变量又是复合函数的自变量比如 z f ( u , x , y ) u ϕ ( x , y ) zf(u,x,y)u\phi(x,y) zf(u,x,y)uϕ(x,y) 令 v x , w y 则 ∂ v ∂ x 1 ∂ v ∂ y 0 ∂ w ∂ x 0 , ∂ w ∂ y 1 则 ∂ z ∂ x ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x ∂ f ∂ x ∂ z ∂ y ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y ∂ f ∂ y 令vx,wy则\\ \frac{\partial v}{\partial x}1\frac{\partial v}{\partial y}0\\ \frac{\partial w}{\partial x}0,\frac{\partial w}{\partial y}1 \\ 则 \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y} 令vx,wy则∂x∂v1∂y∂v0∂x∂w0,∂y∂w1则∂x∂z∂u∂f∂x∂u∂x∂f∂y∂z∂u∂f∂y∂u∂y∂f
例5 u f ( x , y , z ) e x 2 y 2 z 2 , z x 2 sin y uf(x,y,z)e^{x^2y^2z^2},zx^2\sin y uf(x,y,z)ex2y2z2,zx2siny ∂ u ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ z ∂ z ∂ x e x 2 y 2 ( x 2 sin y ) 2 2 x e x 2 y 2 ( x 2 sin y ) 2 2 x 2 sin y 2 x sin y 2 x e x 2 y 2 x 4 sin 2 y ( 1 2 x 2 sin 2 y ) ∂ z ∂ y ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z ∂ z ∂ y 2 ( y x 4 sin y cos y ) e x 2 y 2 x 4 sin 2 y \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\\ e^{x^2y^2(x^2\sin y)^2}2xe^{x^2y^2(x^2\sin y)^2}2x^2\sin y2x\sin y\\ 2xe^{x^2y^2x^4\sin^2y}(12x^2\sin^2y)\\ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\\ 2(yx^4\sin y\cos y)e^{x^2y^2x^4\sin^2 y} ∂x∂u∂x∂f∂z∂f∂x∂zex2y2(x2siny)22xex2y2(x2siny)22x2siny2xsiny2xex2y2x4sin2y(12x2sin2y)∂y∂z∂y∂f∂z∂f∂y∂z2(yx4sinycosy)ex2y2x4sin2y
5 抽象复合函数求导
为了写法和计算的f方便引入记号 f ( u , v ) : { f ′ u → f 1 ′ , f v ′ → f 2 ′ f ′ u ′ u → f 1 ′ ′ 1 , f u ′ ′ v → f 1 ′ ′ 2 f(u,v):\\ \begin{cases} f{}_u\rightarrow f^{}_1,f^{}_v\rightarrow f^{}_2\\ f{}_u{}_u\rightarrow f^{}_1{}_1,f^{}_u{}_v\rightarrow f^{}_1{}_2\\ \end{cases} f(u,v):{f′u→f1′,fv′→f2′f′u′u→f1′′1,fu′′v→f1′′2 例7 w f ( x y z , x y z ) , f 具有二阶连续偏导数求 ∂ w ∂ x , ∂ 2 w ∂ x ∂ z wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导数求\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial z} wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导数求∂x∂w,∂x∂z∂2w 解 令 u x y z , v x y z ∂ w ∂ x ∂ w ∂ u ∂ u ∂ x ∂ w ∂ v ∂ v ∂ x f 1 ′ y z f ′ 2 ∂ 2 w ∂ x ∂ z ∂ f 1 ′ ∂ z y f 2 ′ y z ∂ f 2 ′ ∂ z ∂ f u ∂ z f u u x y f u v ∂ f v ∂ z f v u x y f v v ∂ 2 w ∂ x ∂ z f u u x y f u v y f v y z ( f v u x y f v v ) f u u y ( x z ) f u v x y 2 z f v v y f v 解\\ 令uxyz,vxyz\\ \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ f^{}_1yzf{}_2\\ \frac{\partial^2 w}{\partial x\partial z}\frac{\partial f^{}_1}{\partial z}yf^{}_2yz\frac{\partial f^{}_2}{\partial z}\\ \frac{\partial f_u}{\partial z}f_{uu}xyf_{uv}\\ \frac{\partial f_v}{\partial z}f_{vu}xyf_{vv}\\ \frac{\partial^2 w}{\partial x\partial z}f_{uu}xyf_{uv}yf_vyz(f_{vu}xyf_{vv})\\ f_{uu}y(xz)f_{uv}xy^2zf_{vv}yf_v 解令uxyz,vxyz∂x∂w∂u∂w∂x∂u∂v∂w∂x∂vf1′yzf′2∂x∂z∂2w∂z∂f1′yf2′yz∂z∂f2′∂z∂fufuuxyfuv∂z∂fvfvuxyfvv∂x∂z∂2wfuuxyfuvyfvyz(fvuxyfvv)fuuy(xz)fuvxy2zfvvyfv
6 全微分不变性 设函数 z f ( u , v ) 具有连续偏导数 zf(u,v)具有连续偏导数 zf(u,v)具有连续偏导数则有全微分 d z ∂ z ∂ u d u ∂ z ∂ v d v dz\frac{\partial z}{\partial u}du\frac{\partial z}{\partial v}dv dz∂u∂zdu∂v∂zdv 如果 u ϕ ( x , y ) , v ψ ( x , y ) u\phi(x,y),v\psi(x,y) uϕ(x,y),vψ(x,y),且两个函数具有连续偏导数 那么复合函数 z f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] zf[\phi(x,y),\psi(x,y)] zf[ϕ(x,y),ψ(x,y)]的全微分 d z ∂ z ∂ x d x ∂ z ∂ y d y dz\frac{\partial z}{\partial x}dx\frac{\partial z}{\partial y}dy dz∂x∂zdx∂y∂zdy d z ( ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x ) d x ( ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y ) d y ∂ z ∂ u ( ∂ u ∂ x d x ∂ u ∂ y d y ) ∂ z ∂ v ( ∂ u ∂ x d x ∂ v ∂ y d y ) ∂ z ∂ u d u ∂ z ∂ v d v dz(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})dx(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})dy\\ \frac{\partial z}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}dx\frac{\partial u}{\partial y}dy)\frac{\partial z}{\partial v}(\frac{\partial u}{\partial x}dx\frac{\partial v}{\partial y}dy) \frac{\partial z}{\partial u}du\frac{\partial z}{\partial v}dv dz(∂u∂z∂x∂u∂v∂z∂x∂v)dx(∂u∂z∂y∂u∂v∂z∂y∂v)dy∂u∂z(∂x∂udx∂y∂udy)∂v∂z(∂x∂udx∂y∂vdy)∂u∂zdu∂v∂zdv 由此可见无论u和v是自变量还中间变量函数 z f ( u , v ) zf(u,v) zf(u,v)的全微分形式都是一样的。这个性质叫做全微分形式不变性。 例8 z f ( x 2 − y 2 , e x y ) , 求 d z zf(x^2-y^2,e^{xy}),求dz zf(x2−y2,exy),求dz 解 令 u x 2 − y 2 , v e x y d z d f ( u , v ) f u d u f v d v f u d ( x 2 − y 2 ) f v ( e x y ) f u ( 2 x d x − 2 y d y ) f v ( y e x y d x x e x y d y ) ( 2 x f u y e x y f v ) d x ( x e x y v v − 2 y f u ) d y 解\\ 令ux^2-y^2,ve^{xy} dzdf(u,v)f_uduf_vdv\\ f_ud(x^2-y^2)f_v(e^{xy})\\ f_u(2xdx-2ydy)f_v(ye^{xy}dxxe^{xy}dy)\\ (2xf_uye^{xy}f_v)dx(xe^{xy}v_v-2yf_u)dy 解令ux2−y2,vexydzdf(u,v)fudufvdvfud(x2−y2)fv(exy)fu(2xdx−2ydy)fv(yexydxxexydy)(2xfuyexyfv)dx(xexyvv−2yfu)dy
结语 ❓QQ:806797785 ⭐️文档笔记地址https://gitee.com/gaogzhen/math 参考
[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 下册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p78-84.
[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p67.
