安徽建设厅网站考勤,郑州整站网站推广工具,搜狗短链接生成,陕西 汽车 网站建设1. 蒙特霍尔问题
有一个美国电视游戏节目叫做“Let’s Make a Deal”#xff0c;游戏中参赛者将面对3扇关闭的门#xff0c;其中一扇门背后有一辆汽车#xff0c;另外两扇门后是山羊#xff0c;参赛者如果能猜中哪一扇门后是汽车#xff0c;就可以得到它。
通常#xf…1. 蒙特霍尔问题
有一个美国电视游戏节目叫做“Let’s Make a Deal”游戏中参赛者将面对3扇关闭的门其中一扇门背后有一辆汽车另外两扇门后是山羊参赛者如果能猜中哪一扇门后是汽车就可以得到它。
通常当参赛者选定了一扇门时节目的主持人蒙特霍尔Monty Hall会打开剩余两扇门中的一扇主持人知道门后是什么让你看到门后的山羊此时会询问参赛者是否换门大部分参赛者认为这时关闭的两扇门中奖的概率是一样的即都是1/2通常他们不会改变他们第一次的选择。您是否觉得两个问题几乎一样呢 网上说法很多我们以标准版主持人事先知道答案会打开一扇你没选择的门且其背后一定是羊为条件其他情况不在此过多的扩展。如下图所示剩下两个门供你选择。
序号参赛者初选再选择换门结果1有车门有羊门失败2有羊门A有车门获胜3有羊门B有车门获胜
参赛者最初选择时有1/3的相同概率选择汽车、羊A和羊B再选择转换后的获胜概率为2/3。
2. 数学解释
蒙特霍尔问题的数学证明可以通过贝叶斯定理来完成。我们可以先了解一些定义。
2.1. 贝叶斯定理
2.1.1. 独立事件概率
我们设定事件 A A A的概率为 P ( A ) P(A) P(A)事件 B B B的概率是 P ( B ) P(B) P(B)且事件 A A A和事件 B B B是相互独立的。 则事件 A A A和事件 B B B同时发生的概率满足如下公式 P ( A B ) P ( B A ) P ( A ) P ( B ) P(AB)P(BA)P(A)P(B) P(AB)P(BA)P(A)P(B)
2.1.2. 条件概率
条件概率是在某种条件下某个事件发生的概率展示了事件之间的内在联系和影响。 我们来看两种条件概率的简单表述。
1.事件 A A A发生之后事件 B B B发生的概率可以记做 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)此时满足公式 P ( B ∣ A ) P ( A B ) P ( A ) P(B|A)\frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)P(A)P(AB)即 A A A 和 B B B 同时发生的概率除以 A A A 发生的概率。 等价于 P ( A B ) P ( B ∣ A ) P ( A ) P(AB)P(B|A)P(A) P(AB)P(B∣A)P(A)
2.事件 B B B发生之后事件 A A A发生的概率可以记做 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)此时满足公式 P ( A ∣ B ) P ( A B ) P ( B ) P(A|B)\frac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)P(B)P(AB) 等价于 P ( A B ) P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)P(A|B)P(B) P(AB)P(A∣B)P(B)
3.综合这两种条件事件可以得到公式 P ( A B ) P ( A ∣ B ) P ( B ) P ( B ∣ A ) P ( A ) P(AB)P(A|B)P(B) P(B|A)P(A) P(AB)P(A∣B)P(B)P(B∣A)P(A)
2.1.3. 贝叶斯公式
我们综合计算得到一个公式 P ( A ∣ B ) P ( B ) P ( B ∣ A ) P ( A ) P(A|B)P(B) P(B|A)P(A) P(A∣B)P(B)P(B∣A)P(A)
这个公式做一个变形可以得到贝叶斯公式 P ( A ∣ B ) P ( B ∣ A ) P ( A ) P ( B ) P(A|B) \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} P(A∣B)P(B)P(B∣A)P(A)
2.1.4. 先验概率和后验概率
在贝叶斯公式中还隐含着一些术语 P ( A ) P(A) P(A)是 A A A的先验概率或边缘概率它不考虑任何 B B B方面的因素。 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)是 B B B发生后 A A A的条件概率由于得自 B B B的取值被称作 A A A的后验概率。
2.2. 贝叶斯定理解释蒙特霍尔问题
前面我们提到了关键条件在于主持人选择B门后是无车的这个事件对于已作出选择的参赛者来说是否有影响呢后验概率是否产生了影响我们来推导一下
设定A、B、C门后有汽车分别记为事件 A A A、 B B B、 C C C 则 P ( A ) P ( B ) P ( C ) 1 3 P(A)P(B)P(C)\frac{1}{3} P(A)P(B)P(C)31。设定参赛者选择了A门由于主持人默认需要选择没有汽车的门因此参赛者的选择影响了主持人的选择。设定主持人选择了B门且没有汽车记为事件 D D D 则 P ( D ∣ A ) 1 2 P(D|A)\frac{1}{2} P(D∣A)21因为如果选手最初选择了A门主持人可以选择打开B或C而汽车在B或C的概率相等 P ( D ∣ B ) 0 P(D|B)0 P(D∣B)0因为主持人不会打开选择的门 P ( D ∣ C ) 1 P(D|C)1 P(D∣C)1因为如果选手最初选择了C门主持人只能选择打开B门。在主持人选择B门无汽车后参赛者选择A门有车的概率为 P ( A ∣ D ) P(A|D) P(A∣D)即事件 D D D发生后事件 A A A的概率由贝叶斯公式得 P ( A ∣ D ) P ( D ∣ A ) P ( A ) P ( D ) P(A|D)\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} P(A∣D)P(D)P(D∣A)P(A)通过前面的分析我们只需要求 P ( D ∣ A ) P(D|A) P(D∣A)、 P ( A ) P(A) P(A)、 P ( D ) P(D) P(D)三个元素即可。 P ( D ∣ A ) P(D|A) P(D∣A)表示A门有汽车的情况下主持人选择B门的概率其为 1 2 \frac{1}{2} 21; P ( A ) P(A) P(A)表示A门有汽车的概率其为 1 3 \frac{1}{3} 31; P ( D ) P(D) P(D)可以从全概率公式求得其为 1 2 \frac{1}{2} 21 P ( D ) P ( D ∣ A ) P ( A ) P ( D ∣ B ) P ( B ) P ( D ∣ C ) P ( C ) P(D)P(D|A)P(A)P(D|B)P(B)P(D|C)P(C) P(D)P(D∣A)P(A)P(D∣B)P(B)P(D∣C)P(C) P ( D ) 1 2 × 1 3 0 × 1 3 1 × 1 3 1 2 P(D)\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}0\times\frac{1}{3}1\times\frac{1}{3}\frac{1}{2} P(D)21×310×311×3121 综上得到 P ( A ∣ D ) P ( D ∣ A ) P ( A ) P ( D ) 1 2 × 1 3 2 1 3 P(A|D)\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}{2}\frac{1}{3} P(A∣D)P(D)P(D∣A)P(A)221×3131
在主持人选择B门开启后无汽车的情况下参赛者选A门有汽车的概率 P ( A ∣ D ) 1 3 P(A|D)\frac{1}{3} P(A∣D)31因此后验概率并没有发生变化并不是直观的 1 2 \frac{1}{2} 21而仍然是 1 3 \frac{1}{3} 31。
因此如果做调换门那么相当于参赛者选择了C门计算过程类似概率为 2 3 \frac{2}{3} 32 P ( C ∣ D ) P ( D ∣ C ) P ( C ) P ( D ) P(C|D)\frac{P(D|C)P(C)}{P(D)} P(C∣D)P(D)P(D∣C)P(C) P ( C ∣ D ) 1 × 1 3 1 2 2 3 P(C|D)\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}\frac{2}{3} P(C∣D)211×3132
3. 歧义的理解扩展条件
3.1. 概述
蒙特霍尔问题之所以那么多年来争论不休本质上是由于语义理解上的歧义事实上根据不同的理解方式蒙特霍尔问题一共有 4 个本质不同的版本。如果不了解其他版本的话那当你在现实中遇到其他蒙特霍尔问题的变体时也会很容易想当然地给出错误的答案。
其实这个问题一共有两个“歧义”点缺一不可
主持人是否能确保避免打开正确答案主持人是否一定会验证一个和你选择不同的门
3.2. 歧义4个版本
根据这两个问题的答案我们就得到了这个问题的 4 个版本
版本1标准版主持人事先知道答案会打开一扇你没选择的门且其背后一定是羊1-是2-是版本2验证版主持人事先并不知道答案随机打开了一扇你没选择的门其背后恰好是羊1-否2-是版本3机选版主持人让系统随机打开一扇背后是羊的门它恰好打开了一扇你没选择的门1-是2-否版本4随机版主持人让系统随机打开一扇门它恰好打开了一扇你没选择的门且其背后是羊1-否2-否 注1与2是指上面的歧义点。 那么我们该怎么理解这 4 个版本的不同之处呢它们的本质不同在于主持人的行为是否需要承担泄露结果的「风险」使得「条件概率」发生变动。易见在最初的状态下我们选中汽车的概率是 1/3。
版本1标准版 无论我们是否选中汽车主持人总能找到 1 个背后是羊的门这件事情是 100% 能达成的所以概率分布完全没变我们选中汽车的概率依然为 1/3版本2验证版主持人显然冒了风险如果你选中了羊那他有 1/2 的概率会选中汽车所以我们选中汽车的条件概率变成了 1/3 / 1/32/3×1/21/2版本3机选版主持人其实也冒了风险虽然不可能打开背后是汽车的门但是在你选中羊的时候有 1/2 的概率会随机你选择的门所以我们选中汽车的条件概率变成了 1/3 /1/32/3×1/21/2版本4随机版主持人显然冒了双重风险一个风险是打开了你选择的门另一个风险是它打开了你没选择的门但其背后是汽车在这种情况下条件概率的分子分母都会变化我们选中汽车的条件概率变成了1/3×2/3/1/3×2/32/3×1/31/2
除了「标准版」的答案是 1/3应该换门外其他版本的答案均为 1/2 换不换均可。
由此可见同一件事物对于不同人甚至掌握不同信息的同一个人概率可能不同。因此概率并不能寄托在实际的物体上而是存在于条件之下。
参考
曾加. 蒙提霍尔问题又称三门问题、山羊汽车问题的正解是什么. 知乎. 2022.04
