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内旋,外旋, 左乘,右乘很容易把人绕晕是因为缺少一种科学的符号。 自己的符号,如果经常变不稳定,对推理和理解都很不利。 一旦问题复杂起来, 直观和直觉靠不住, 只能靠代数符号来推理 约定 P1: A,B,C…是空间中的标准正交基 P2#xff1a; [a1,…位姿,线性变换与坐标变换.yuque
内旋,外旋, 左乘,右乘很容易把人绕晕是因为缺少一种科学的符号。 自己的符号,如果经常变不稳定,对推理和理解都很不利。 一旦问题复杂起来, 直观和直觉靠不住, 只能靠代数符号来推理 约定 P1: A,B,C…是空间中的标准正交基 P2 [a1,a2,…an] 是系A的基, [b1,b2,…bn] 是系B的基其中aj 和bj 都是n维列向量 一个坐标系可以用它的基表示,故A[a1,a2,…an] B[b1,b2…bn]。 aj 和 bj 的表示需要依赖世界系[e1,e2,…en] P3AP是点P在A系中的齐次坐标A [Px,Py,Pz,1]T或欧式坐标A[Px,Py,Pz]T ,根据上下文区分 P4: AT是A系的中的线性变换, 满足AP2AT * AP1 (就是把P1变换到P2点) P5: ABT 是B系在A系中的位姿,指的是系B的每一个基在系A的坐标表示即 [b1,b2…bn][a1,a2,…an] ABT ABT * BAT I P6: 在线性代数中 T * 00 ,即所有系原点重合,但在齐次坐标中根本不存在[0,0,0,0]T, 而是用 [0,0,0,1]T 表示原点,所以齐次坐标可处理平移问题 P7: 常用的线性变换使用作用来描述,比如拉伸,旋转,平移,镜像,透视,而抽象的线性变换则只能使用矩阵来描述。 定理1 坐标变换定理 AP ABT BP 坐标变换定理描述了同一个点P在两个系中的关系 P1: B[b1,b2…bn][a1,a2,…an]CAC (C是过渡矩阵) P2: AP[p1,p1,…pn]T BP[p1,p1,…pn,]T PAAPBBPACBP P3: APCBP ; C就是ABT P4: 如果P1中的A取I[e1,e2…en] 则 BCABT 定理2 线性变换定理 AP2 ABT AP1 令 AT ABT 则 AP2 AT AP1 线性变换定理描述了在同一个系中两个点的关系 (线性变换的特点是左上角在一个系中) AT 产生的作用就是A系到B系的作用 定理3: ACTABTBCT 虽然这个定理很好证明,但对它的不同解释延伸出了很多有意思的结论,内旋,外旋都来源于此 P1: AP ABT BP ACT CP BP BCT CP P2 AP ABT BCT CP ACT CP P3: ABT BCT ACT 定理4: 内外旋定理 该定理源于对公式 ACTABTBCT 的两种解释 本地系的作用是内旋用右乘 , 世界系作用是外旋用左乘
达到上图的状态有两种方式 方式1: 运动系,内旋,右乘的解释 P1: ABC重合 P2: BC相对A运动ABT P3: C相对B运动BcT ACTABTBCT 可以看作ABT与BCT 的合成, 上面都是相对运动系作用 方式2: 世界系,外旋,左乘的解释 P1: ABC重合 P2: C相对AB运动BcT P3: BC相对A运动ABT ACTABTBCT 可以看作是先BcT作用后ABT作用, 上面都是相对世界系作用 例1: 在平面上,求绕点(x,y)逆时针旋转θ对应的线性变换 P1 A系为世界系 P2: B系由A系平移到(x,y)得到 P3: C系由B系逆时针旋转θ得到 P4 P1绕B系原点逆时针旋转θ到达P2 ,求在A系中P1到P2的线性变换
AP1ABTBCTCP1 AP2ABTBCTCP2 CP2BCTCP1 ;(同时有BP2BCTBP1) AP2MAP1 联立上面方程可解得 MABTBCTBAT 把前三个方程带入第4个方程 将ABT [ 1 0 x 0 1 y 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 0 x \\ 0 1 y \\ 0 0 1 \end{bmatrix} 100010xy1 BCT [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \cos \theta -\sin \theta 0 \\ \sin \theta \cos \theta 0 \\ 0 0 1 \end{bmatrix} cosθsinθ0−sinθcosθ0001 BAT [ 1 0 x 0 1 y 0 0 1 ] − 1 \begin{bmatrix} 1 0 x \\ 0 1 y \\ 0 0 1 \end{bmatrix} ^{-1} 100010xy1 −1 带入上式得到 M [ cos θ − sin θ ( 1 − c o s θ ) ∗ x s i n θ ∗ y sin θ cos θ − s i n θ ∗ x ( 1 − c o s θ ) ∗ y 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \cos \theta -\sin \theta (1-cos\theta)*xsin\theta*y \\ \sin \theta \cos \theta -sin\theta*x(1-cos\theta)*y \\ 0 0 1 \end{bmatrix} cosθsinθ0−sinθcosθ0(1−cosθ)∗xsinθ∗y−sinθ∗x(1−cosθ)∗y1 例1的过程可以自然的推广到三维中绕定轴旋转对应的线性变换 为
