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Sinkhorn算法是一种用于解决最优传输问题的迭代算法。最优传输问题是指在给定两个概率分布 μ \mu μ和 ν \nu ν的情况下#xff0c;找到一个最优的转移方案#xff0c;使得从 μ \mu μ到 ν \nu ν的转移成本最小。Sinkhorn算法通过迭代… Sinkhorn算法 介绍示例代码 介绍
Sinkhorn算法是一种用于解决最优传输问题的迭代算法。最优传输问题是指在给定两个概率分布 μ \mu μ和 ν \nu ν的情况下找到一个最优的转移方案使得从 μ \mu μ到 ν \nu ν的转移成本最小。Sinkhorn算法通过迭代的方式逐步优化转移方案以达到最优传输的目标。
Sinkhorn算法的核心思想是通过交替地更新行和列的缩放因子来逐步逼近最优转移方案。具体来说算法的步骤如下 初始化转移方案 首先我们需要初始化一个转移方案 P \mathbf{P} P其中 P \mathbf{P} P是一个 n × m n\times m n×m的矩阵表示从 μ \mu μ到 ν \nu ν的转移概率。通常可以使用均匀分布来进行初始化即 P 1 n m 1 n × m \mathbf{P}\frac{1}{nm}\mathbf{1}_{n\times m} Pnm11n×m其中 1 n × m \mathbf{1}_{n\times m} 1n×m是一个全1的矩阵。 更新行和列的缩放因子 在每次迭代中我们交替地更新行和列的缩放因子。首先我们计算当前转移方案 P \mathbf{P} P的行求和向量 a \mathbf{a} a和列求和向量 b \mathbf{b} b分别表示从 μ \mu μ到 ν \nu ν的转移概率和从 ν \nu ν到 μ \mu μ的转移概率。然后我们通过将 a \mathbf{a} a归一化为一个单位向量更新列的缩放因子 b \mathbf{b} b得到 b ν K T a \mathbf{b}\frac{\nu}{\mathbf{K}^T\mathbf{a}} bKTaν其中 K \mathbf{K} K是一个 n × m n\times m n×m的矩阵其中 K i j c i j K_{ij}c_{ij} Kijcij表示从位置 i i i到位置 j j j的转移成本。接下来我们通过将 b \mathbf{b} b归一化为一个单位向量更新行的缩放因子 a \mathbf{a} a得到 a μ K b \mathbf{a}\frac{\mu}{\mathbf{K}\mathbf{b}} aKbμ。 更新转移方案 在每次迭代中我们通过更新转移方案 P \mathbf{P} P来逼近最优转移方案。具体来说我们通过 P diag ( a ) K diag ( b ) \mathbf{P}\text{diag}(\mathbf{a})\mathbf{K}\text{diag}(\mathbf{b}) Pdiag(a)Kdiag(b)来更新转移方案其中 diag ( a ) \text{diag}(\mathbf{a}) diag(a)和 diag ( b ) \text{diag}(\mathbf{b}) diag(b)分别是行和列缩放因子的对角矩阵。 重复步骤2和步骤3 重复执行步骤2和步骤3直到收敛或达到预定的迭代次数。
通过交替地更新行和列的缩放因子并更新转移方案Sinkhorn算法能够逐步逼近最优传输方案。算法的迭代次数和收敛性可以根据具体的问题和需求进行调整。需要注意的是Sinkhorn算法在处理大规模问题时可能会面临计算复杂度的挑战但可以通过一些加速技巧如近似方法来提高算法的效率和可扩展性。
示例代码
下面是一个简单的Python代码实现Sinkhorn算法
import numpy as npdef sinkhorn(p, q, C, epsilon, max_iters1000):Sinkhorn算法实现最优传输问题的解决参数- p: 输入概率分布p形状为(m, )的一维数组- q: 输入概率分布q形状为(n, )的一维数组- C: 成本矩阵C形状为(m, n)的二维数组- epsilon: 正则化参数- max_iters: 最大迭代次数默认为1000返回- P: 转移矩阵P形状为(m, n)的二维数组assert len(p) C.shape[0], 维度不匹配assert len(q) C.shape[1], 维度不匹配K np.exp(-C / epsilon) # 构造指数内核矩阵KP np.ones_like(C) # 初始化转移矩阵Pfor _ in range(max_iters):P * (p / np.sum(K P, axis1, keepdimsTrue)).TP * (q / np.sum(K.T P, axis1, keepdimsTrue)).Treturn P# 示例用法
p np.array([0.2, 0.3, 0.5])
q np.array([0.1, 0.4, 0.5])
C np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])P sinkhorn(p, q, C, epsilon0.1)
print(P)上述代码中sinkhorn函数实现了Sinkhorn算法。它接受输入概率分布p和q以及成本矩阵C和正则化参数epsilon。函数通过迭代更新转移矩阵P直到收敛或达到最大迭代次数。最后函数返回计算得到的转移矩阵P。
在示例用法中我们定义了两个概率分布p和q以及成本矩阵C。通过调用sinkhorn函数并传入相应参数我们可以计算得到最优的转移矩阵P。最后我们将P打印出来。
