成品网站软件大全下载,html教程百度云,wordpress json ld,品牌推广策划方案莱尼喜欢看河#xff0c;尤其喜欢看漂浮物顺流而下。他猜想漂浮物如何穿过礁石#xff0c;如何陷入漩涡。但是河流整体#xff0c;水量#xff0c;流切变#xff0c;河的分流和汇聚#xff0c;这是莱尼所看不到的。 相空间流体 在经典力学里#xff0c;注视一个特别的初…莱尼喜欢看河尤其喜欢看漂浮物顺流而下。他猜想漂浮物如何穿过礁石如何陷入漩涡。但是河流整体水量流切变河的分流和汇聚这是莱尼所看不到的。 相空间流体 在经典力学里注视一个特别的初始条件再随之在相空间走过特定轨迹这是很自然的事情。但是还有一个更大的图像突出强调轨迹的总集合。这个更大的图像可以直观显示所有可能的起点和所有可能的路径。不要再拿着铅笔点住相空间一点然后沿着一条路径画线而是做点更有雄心的事情。想象一下你有无穷多支铅笔用它们在相空间均匀地点点均匀在这里的意思是在\(q,p\)空间点的密度处处相等。把这些点看做假想的填充相空间的流体的组成粒子。 每个点都按照哈密顿方程运动 \begin{equation} \begin{split} \dot{q}_i\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ \dot{p}_i-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{split} \label{eq1} \end{equation} 这样流体连绵不断地流过相空间。 谐振子是说明相空间流体的好例子。在第8讲我们看到每个点做匀速圆周运动。注意我们谈的是相空间不是坐标空间在坐标空间谐振子做的是一维往复运动。整个流体做刚性运动绕着相空间原点做匀速圆周运动。 现在我们回到一般情况。如果坐标数目是\(N\)则相空间就是\(2N\)维的。相空间流体以特定的方式流动。流动的特点之一是每一点的能量值——\(H(q,p)\)的值——始终保持不变。能量相等的点组成一个平面比如能量值为\(E\)的平面由以下方程描述 \begin{equation} H(q,p)E \label{eq2} \end{equation} 对于每个\(E\)都有一个关于\(2N\)个相空间变量的方程因此可以定义一个\(2N-1\)维的面。换言之每个\(E\)都对应一个面所有的\(E\)对应的面可填充整个相空间。你可把相空间看做按方程\eqref{eq2}定义的等能线图如图1。如果相空间流体的一点位于某等能面上这点就会一直呆在这个等能面上。这就是能量守恒。 图1 谐振子等能面 对于谐振子相空间是二维的能量面是圆圆的方程为 \begin{equation} \frac{\omega}{2}(q^2p^2)E \label{eq3} \end{equation} 对于一般的力学系统能量面非常复杂无法画出来但是原理是一样的能量面一层一层填充相空间相空间流体流动过程中保持各点一直呆在初始时刻所在的能量面内。 简短回顾 我们暂停一下回顾一下第1讲的内容。在第1讲我们讨论过硬币、色子还有运动定律最基本的思想。我们描述这些定律用的方法是用箭头连着表示系统状态的点表示系统演化的过程和方向。我们还解释过有些定律是允许的有些定律是禁止的可允许的定律是可逆的。可允许的定律有什么特点答案是每个点都有一个箭头指向自己也有一个箭头从自己指向别的点。如果有一点指向自己的箭头多于从自己指向外部的箭头则相应的定律是不可逆的。同样地从自己指向外部的箭头多于指向自己的箭头相应的定律也是不可逆的。这两种情况都是禁止的。现在我们分析一下相空间流体流动的可逆性。 流和散度 我们考虑通常空间里流体流动的几个简单的例子。暂时先忘掉相空间只考虑通常的三维空间坐标轴分别为\(x,y,z\)的普通流体。流动可用速度场描述。空间每一点的速度矢量都标记出来所有这些速度矢量就组成速度场\(\vec{v}(x,yz)\)如图2所示。 图2. 速度场 我们还可以用速度的分量描述速度场\(v_x(x,y,z),v_y(x,y,z),v_z(x,y,z)\)。一点的速度也可能是依赖时间的但是我们只考虑不依赖时间的情况即只考虑定常流。 我们还假设流体是不可压缩的即一定量的流体总占据同样的体积也即流体密度单位体积内的分子数是均匀的并且是保持不变的。考虑如下小立方体盒子 \begin{equation*} \begin{split} x_0\leq x\leq x_0dx \\ y_0\leq y\leq y_0dy \\ z_0\leq z\leq z_0dz \end{split} \end{equation*} 不可压缩性意味着每个这么大盒子里的流体粒子数都是一定的并且单位时间净流入盒子的流体也是0流入流出的流体正好相等。单位时间从面\(xx_0\)流入盒子的分子数目正比于穿过此面的流速 \(v_x(x_0)\)。 如果\(v_x(x_0)v_x(x_0dx)\)则从\(xx_0\)处流入盒子的流体等于从\(xx_0dx\)处流出盒子的流体。但是如果\(v_x\)随位置变化流入流出的流体就不相等从这两个面净流入盒子的流体分子数正比于 \begin{equation*} -\frac{\partial v_x}{\partial x}dxdydz \end{equation*} 同样的道理也适用于\(y_0\)和\(y_0dy\)也适用于\(z_0\)和\(z_0dz\)。把这三项都加起来即净流入盒子的分子数为 \begin{equation*} -\left (\frac{\partial v_x}{\partial x}\frac{\partial v_y}{\partial y}\frac{\partial v_z}{\partial z}\right )dxdydz \end{equation*} 括号里面的各导数有一个专门的名字矢量场\(\vec{v}(t)\)的散度记为 \begin{equation} \nabla \cdot \vec{v}\left (\frac{\partial v_x}{\partial x}\frac{\partial v_y}{\partial y}\frac{\partial v_z}{\partial z}\right ) \label{eq4} \end{equation} 散度之名恰如其分表示流体的分子外散而流增大流体占据的体积。如果流体是不可压缩的流体的体积不变因此散度必须为0。 理解不可压缩性的一个方法是认为流体的各分子或是流体中的各点都是不可压缩的不能压缩进更小的体积也不可以凭空消失或出现。发挥点想象力你可以看出不卡压缩性与可逆性非常类似。在第1讲的各例子中箭头也定义一种流。在某种意义上说至少在可逆情况下这种流也是不可压缩的。现在可以提出一个问题相空间中的流动是不可压缩的吗答案是是的如果系统满足哈密顿方程的话。有一个定理表述了这种不可压缩性这个定理就是刘维尔定理。 刘维尔定理 我们再回到相空间中的流动考虑相空间中每点流速的分量。相空间流体不是三维的而是\(2N\)维的坐标为\(q_i\)、\(p_i\)。因此速度场有\(2N\)个分量\(N\)个\(q_i\)\(N\)个\(p_i\)分量记为\(v_{q_i}\)和\(v_{p_i}\)。 方程\eqref{eq4}所定义散度概念很容易推广至任意维空间相空间流体的散度为以下\(2N\)项的和 \begin{equation} \nabla \cdot \vec{v}\sum_i \left (\frac{\partial v_{q_i}}{\partial q_i}\frac{\partial v_{p_i}}{\partial p_i}\right ) \label{eq5} \end{equation} 如果流体是不可压缩的那么方程\eqref{eq5}比为0。要证明这一点我们需要知道速度场的分量即假想的相空间流体的组成粒子的速度。 相空间中任意一点的速度的分量为 \begin{equation*} \begin{split} v_{q_i}\dot{q}_i\\ v_{p_i}\dot{p}_i \end{split} \end{equation*} 而且\(\dot{q}\_i\) 和 \(\dot{p}\_i\)正是哈密顿方程中的量根据方程\eqref{eq1}有 \begin{equation} \begin{split} v_{q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ v_{p_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{split} \label{eq6} \end{equation} 把方程\eqref{eq6}带入方程\eqref{eq5}得 \begin{equation} \nabla \cdot \vec{v}\sum_i \left (\frac{\partial }{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial }{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right ) \label{eq7} \end{equation} 二阶导数如\(\frac{\partial }{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\)结果与求导顺序无关因此方程\eqref{eq7}中括号中的两项正好抵消因此有 \begin{equation*} \nabla \cdot \vec{v}0 \end{equation*} 因此相空间中流体是不可压缩的这在经典力学中被称为刘维尔定理尽管与法国数学家约瑟夫·刘维尔几乎没什么关系。这个定理是美国物理学家吉布斯于1903年首先发表的因此也称为吉布斯-刘维尔定理。 我们前面提到流体不可压缩意味着每个小盒子的净流入量为0这也是流体的不可压缩性的定义。这个定义还有个等价的表述。想象某个时刻一定体积的流体这团流体可以为任何形状。追踪流体中每一点的运动过一段时间后这团流体就会呈现出其他形状但是只要流体是不可压缩的这团流体的体积就保持不变在任意时刻的体积都与初始时刻的体积相同。因此刘维尔定理可重新表述为任意一团相空间流体的体积都不随时间变化。 比如谐振子相空间流体绕着原点做圆周运动很明显任意一团相空间流体的体积保持不变甚至它们连形状也不变。但是形状不变是谐振子的特殊性质。现在我们看另一个例子。考虑如下形式的哈密顿量 \begin{equation*} Hpq \end{equation*} 你很可能没见过这个哈密顿量但是这个哈密顿量完全可以存在的。我们先写出运动方程 \begin{equation*} \begin{split} \dot{q}q\\ \dot{p}-p \end{split} \end{equation*} 解出这个微分方程组可以看出\(q\)随时间指数增大\(p\)以同样的速率随时间指数减小。换言之流沿着\(p\)轴压缩而沿着\(q\)轴膨胀压缩的量与膨胀的量相同。每一团流体沿着\(q\)轴被拉伸沿着\(p\)轴被挤压。很明显流体团形状极端扭曲但是相空间体积不变。 刘维尔定理是与第1讲中的可逆性最接近的类比。在量子力学里刘维尔定理被代之以幺正性。 泊松括号 19世纪法国数学家思考力学的时候发明了这些极其漂亮的数学形式他们在想些什么呢哈密顿例外他是爱尔兰人他们是如何得到作用量原理、拉格朗日方程、哈密顿量、刘维尔定理他们是在解物理题吗他们只是为了玩出漂亮的方程吗还是只是为了设计新的物理原理我认为这些因素都有一点但在各个方面都取得了极大成功。但是这些极大的成功直到20世纪量子力学被发现之后才变得清晰。看起来好像数代人之前的数学家机具洞察力他们发明了百年之后量子概念的等价概念。 还没完。还有一个力学形式理论即泊松括号以法国数学家泊松的名字命名这好像也是个超越时代的理论。下面我们介绍泊松括号。考虑某个关于\(q_i\)和\(p_i\)的函数这样的函数有动能、势能、角动量等等当然还有其他各种我们可能感兴趣的物理量。我们先不指明具体函数记为\(F(q,p)\)。 我们现在细致考察\(F(q,p)\)。首先它是相空间中的位置的函数。但是如果我们追踪相空间中任何一点——体系的任何真实的轨迹——都对应一个函数值\(F\)即\(F\)的值随沿着轨迹而变。换言之体系沿着某轨迹的运动使\(F\)称为时间的函数。我们现在计算\(F\)如何随着给定一点的运动而变即计算\(F\)的时间导数 \begin{equation*} \dot{F}\sum_i \left ( \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q}_i\frac{\partial F}{\partial p_i}\dot{p}_i \right ) \end{equation*} 代入哈密顿方程得 \begin{equation} \dot{F}\sum_i \left ( \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right ) \label{eq8} \end{equation} 我也不知道泊松如何发明了他的括号我怀疑是方程\eqref{eq8}的右边他写烦了决定用新的符号简化一下。拿出两个相空间的函数\(G(q,p)\)和\(F(q,p)\)。先不管它们的物理意义也不管是不是其中一个是否是哈密顿量。\(F\)和\(G\)的泊松括号定义为 \begin{equation} \{F,G\}\sum_i \left ( \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i} \right ) \label{eq9} \end{equation} 泊松再写方程\eqref{eq8}就简洁了可写为 \begin{equation} \dot{F}\{F,H\} \label{eq10} \end{equation} 方程\eqref{eq10}神奇之处在于它的涵意极其丰富。任何物理量的时间导数都可以写为该物理量与哈密顿量的泊松括号。甚至连哈密顿方程本身也包括在内。要看出这一点令\(F\)为任何一个\(q\)由方程\eqref{eq10}有 \begin{equation*} \dot{q}_k\{q_k,H\} \end{equation*} 把上式中的泊松括号写开其实只有一项即\(q_k\)对自身的求导那一项。由于\(\frac{dq_k}{dq_k}1\)于是泊松括号\(\{q_k,H\}\)恰好等于\(\frac{\partial H}{\partial p_k}\)这正是哈密顿方程组中的第一个方程。同理哈密顿方程组的第二个方程等价于 \begin{equation*} \dot{p}_k\{p_k,H\} \end{equation*} 注意到在这个形式理论中哈密顿方程组的泊松括号形式的这两个方程是同号的\(q\)和\(p\)分别对应的方程的符号差异隐藏在泊松括号的定义里。 法国人对优雅的迷恋回报丰厚。泊松括号成为量子力学里最基本的量对易子。 转载于:https://www.cnblogs.com/joyfulphysics/p/4782709.html
