教学网站开发背景及意义,vpn免流网站建设,ICP备案不停网站,上海网站优化排名公司文章目录 前言一、平稳随机过程1.1 广义平稳过程1.2 遍历性 二、两个随机过程之间的关系2.1 联合平稳2.2 随机过程的相关关系2.2.1 随机变量的不相关2.2.2 随机过程的不相关 总结 前言
我们学习了随机信号以及随机信号的相关函数与功率谱的计算方法#xff0c;但是这种计算还… 文章目录 前言一、平稳随机过程1.1 广义平稳过程1.2 遍历性 二、两个随机过程之间的关系2.1 联合平稳2.2 随机过程的相关关系2.2.1 随机变量的不相关2.2.2 随机过程的不相关 总结 前言
我们学习了随机信号以及随机信号的相关函数与功率谱的计算方法但是这种计算还是十分复杂的。比如仅仅是求期望函数就需要抽样很多样本去求均值。因此我们有必要找到随机过程的一些关键性质使得我们在分析这种具备特殊性质的随机信号时能够更加方便快捷。这就是这篇将要介绍的平稳随机过程。 一、平稳随机过程
1.1 广义平稳过程
在本系列笔记中仅讨论广义平稳过程也叫宽平稳过程。这种平稳过程条件更加宽松即随机过程 X ( t ) X(t) X(t)的均值与时间无关自相关函数只与时间差有关 E ( X ( t ) ) m X E(X(t))m_X E(X(t))mX R X ( t , t τ ) E ( X ( t ) X ( t τ ) R X ( τ ) R_X(t,t\tau)E(X(t)X(t\tau)R_X(\tau) RX(t,tτ)E(X(t)X(tτ)RX(τ) 从这个定义就可以理解到所谓“平稳”的含义其实就是随机过程的期望不会随着时间的改变而变化其自相关函数对应的功率谱能量谱也不会因为时间改变而变化始终处于一种稳定的状态。
1.2 遍历性
有了平稳过程我们就不用对每个时刻都去计算他们的均值和相关函数了。但是考虑怎么去求这个期望 m X m_X mX我们还是需要采样足够多的样本函数这是十分麻烦的。我们知道随机过程的每个时刻的取值都相当于一个随机变量。
如果说任意一个样本函数都能经历所有的随机变量取值那我们是不是就不需要抽样那么多的样本函数而是在一个样本函数上从时间轴去采样就能采到所有不同的随机变量取值也就能计算数学期望了这种性质就叫做遍历性。注意我们讨论这种性质是基于平稳过程的前提也就是这个性质只是用于描述一种更为特殊的平稳过程。
为了加深理解这里给出一个例子考虑一个平稳过程 X ( n ) X(n) X(n) n n n取值为正整数。该随机过程表示的是每次等概地从两个质地均匀的骰子里取出一个进行投掷 x 1 ( n ) x_1(n) x1(n) x 2 ( n ) x_2(n) x2(n)其中 x 1 ( n ) x_1(n) x1(n)结果只有1-3而 x 2 ( n ) x_2(n) x2(n)结果是4-6。容易知道这样一个随机过程是一个平稳过程其均值自相关函数与抛掷序列 n n n无关。其实其分布也与抛掷次序无关是一个严平稳过程。其均值为 E ( X ( n ) ) E ( x 1 ( n ) ) / 2 E ( x 2 ( n ) ) / 2 1 5 / 2 7 / 2 E(X(n))E(x_1(n))/2E(x_2(n))/215/27/2 E(X(n))E(x1(n))/2E(x2(n))/215/27/2 但是这不是一个遍历平稳过程因为任意一个样本函数也就是任意选一个骰子都没有办法历经全部的随机变量取值。由此可见遍历性是一个非常严苛的条件。
二、两个随机过程之间的关系
2.1 联合平稳
平稳过程是根据均值和自相关函数定义的那么根据两个随机过程 X ( t ) X(t) X(t)和 Y ( t ) Y(t) Y(t)的互相关函数的关系也就可以定义联合平稳过程两个平稳过程的互相关函数只与时间差有关时称这两个平稳过程联合平稳公式表示如下 R X Y ( t , τ ) E ( X ( t ) Y ( t τ ) ) R X Y ( τ ) R_{XY}(t,\tau)E(X(t)Y(t\tau))R_{XY}(\tau) RXY(t,τ)E(X(t)Y(tτ))RXY(τ) 需要注意联合平稳指的是两个平稳过程之间的一种关系要求每个随机过程各自本身要是平稳的。
2.2 随机过程的相关关系
2.2.1 随机变量的不相关
首先复习一下概率论中我们学习的随机变量的相关性的定义若有随机变量 X , Y X,Y X,Y满足 E ( X Y ) E X E Y E(XY)EXEY E(XY)EXEY 则称这两个随机变量不相关。对其做方差归一化可以给出随机变量的归一化相关系数 ρ X Y E ( X Y ) / E X 2 E Y 2 \rho_{XY}E(XY)/\sqrt{EX^2EY^2} ρXYE(XY)/EX2EY2 需要注意的是这里是默认是零均值所有方差直接就是EX^2。在概率论中随机变量相关系数的一般形式为 ρ X Y E X Y − E X E Y E X 2 E Y 2 \rho_{XY}\frac{EXY-EXEY}{\sqrt{EX^2EY^2}} ρXYEX2EY2 EXY−EXEY 在通信原理中大多数情况都会把随机过程变成零均值来分析所以变成了上述的形式。因为这样方差就和信号的功率等同起来了。相关系数为0则说明不相关与不相关定义一致。相关系数大于0则称两个随机变量正相关反正则负相关。
2.2.2 随机过程的不相关
类似的可以给出随机过程的相关性定义对随机过程 X ( t ) , Y ( t ) X(t),Y(t) X(t),Y(t)而言任意两个时刻 t 1 , t 2 t_1,t_2 t1,t2的均值满足 E ( X ( t 1 ) E ( Y ( t 2 ) ) ) E X ( t 1 ) E Y ( t 2 ) E(X(t_1)E(Y(t_2)))EX(t_1)EY(t_2) E(X(t1)E(Y(t2)))EX(t1)EY(t2) 则称两个随机过程不相关也可以将条件放宽一点得到两个随机过程同一时刻不相关的定义即任意时刻 t t t两个随机过程所取的随机变量不相关。同样有随机过程的相关系数 ρ X Y ( t , τ ) E ( X ( t ) Y ( t τ ) ) E X 2 ( t ) E Y 2 ( t τ ) \rho_{XY}(t,\tau)\frac{E(X(t)Y(t\tau))}{\sqrt{EX^2(t)EY^2(t\tau)}} ρXY(t,τ)EX2(t)EY2(tτ) E(X(t)Y(tτ)) 总结
这篇主要给出了平稳随机过程的定义以及两个随机过程之间的关系包括联合平稳和相关关系。与概率论中的内容不完全相同通信原理中不太关心具体的概率分布上的事情而是随机信号的统计特征如相关函数相关系数等。
也可以联系对比之前学过的确定信号分析的内容相关函数等概念的定义其实都是类似的只是引入随机性后多了取数学期望的操作。下一篇将会进一步分析平稳过程具有哪些性质从而让大家明白为什么在通信原理中我们比较好处理平稳过程。
