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归结演绎推理范式子句与子句集将谓词公式转化为子句集命题逻辑鲁宾逊归结原理
归结演绎推理
定理证明的实质是对前提P和结论Q证明P →Q的永真性应用反证法#xff0c;欲证明P →Q#xff0c;只要证明 P∧~Q 等价于 F鲁宾逊归结原理对机械化推理有重大突破鲁宾逊归…主要内容
归结演绎推理范式子句与子句集将谓词公式转化为子句集命题逻辑鲁宾逊归结原理
归结演绎推理
定理证明的实质是对前提P和结论Q证明P →Q的永真性应用反证法欲证明P →Q只要证明 P∧~Q 等价于 F鲁宾逊归结原理对机械化推理有重大突破鲁宾逊归结原理是以子句为背景开展研究的
范式
什么是范式“范式” 是一个用于表示、简化或标准化特定类型数据或表达式的术语。它通常用于不同领域如布尔代数、关系数据库、逻辑表达式等。范式的目标通常是将复杂的数据或表达式变成更简单、更易于处理的形式。
合取范式
合取Conjunction是逻辑中的一种基本操作它表示在多个条件都为真时整个条件为真。合取通常用符号 “∧” 表示。 例如如果有两个条件 A 和 BA ∧ B 表示只有当 A 和 B 都为真时整个条件才为真。
设 AB1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn
其中Bi L1 ∨ L2 ∨… ∨ Lmi ,而Lj为原子公式或其否定。则称A为合取范式。
如P(x) ∧ (P(x)∨Q(y)∨ R(x,y)) 任何命题公式最终都能够化成 ( A 1 ∨ A 2 ) ∧ ( A 3 ∨ A 4 ) (A_{1}∨A_2)∧(A_3∨A_4 ) (A1∨A2)∧(A3∨A4)的形式被称为 “ 合取范式”。
析取范式
设 AB1 ∨ B2 ∨ … ∨ Bn 其中Bi L1 ∧ L2 ∧ … ∧Lmi , 而Lj为原子公式或其否定。则称A为析取范式。 如P(x)∨(P(x)∧Q(y)∧R(x,y))
谓词演算中的两种范式
谓词公式数学或逻辑表达式用于描述各种属性、关系和条件以便在形式化逻辑和数学中进行推理和分析。谓词公式通常包含变量、谓词和逻辑运算符。 变量变量代表一个范围内的值它们允许我们在公式中引入未知的对象或条件。通常使用字母如 x、y、z 等来表示变量。谓词谓词是描述性质、关系或条件的符号或符号组合。谓词可以是单一的也可以包含参数。 参数是用于与特定对象或变量相关联的项。例如P(x) 可以表示一个关于 x 的属性或条件。 常量常量是不变的值它们可以代表特定的对象、数字或元素。例如数字 1 或特定的对象名可以是常量。逻辑运算符逻辑运算符用于组合、连接或否定不同的谓词和条件以构建更复杂的公式。常见的逻辑运算符包括合取 (∧)析取 (∨)否定 (¬)蕴含 (→)双蕴含 (↔) 等。量词量词用于引入变量的范围以明确说明公式的含义。常见的量词包括全称量词 (∀表示 “对于所有”和存在量词 (∃表示 “存在一个”。
前束形范式
一个谓词公式的所有量词均非否定地出现在公式的最前面,且它的辖域一直延伸到公式之末,同时公式中不出现连接词→及 ↔ 。 例:( ∀ \forall ∀x)( ∃ \exists ∃y)( ∀ \forall ∀z)(P(x)∧F(y, z)∧Q(y,z))
斯克林范式(Skolem标准式)
在前束范式的首标中不出现存在量词即从前束范式中消去全部存在量词所得的公式。 其一般形式为 (∀x1)(∀x2)…(∀x3)M(x1, x2 ,….x3) 其中M(x1, x2 ,….x3)是一个合取范式称为Skolem标准型的母式
子句
文字 原子谓词公式及其否定称为文字。 子句 任何文字的析取式称为子句由子句构成的集合称为子句集。 空子句 不包含任何文字的子句称为空子句由于它不能被任何解释满足所以空子句是永假的。
将谓词公式转化为子句集
在谓词逻辑中任何一个谓词公式都可通过等价关系和推理规则化为子句集。例、求公式的子句 A (∀x) ((∀ y)P(x,y) → ~(∀)(Q(x,y)→R(x,y)) )
化句集的九个步骤
1、利用连接词化归律消去谓词公式中的条件和双条件连接词。
连接词化归律P →Q 等价于 ~P ∨Q 由 A (∀x) ((∀y)P(x,y)→~(∀y)(Q(x,y)→R(x,y)) ) 化为 A (∀x)((∀y)P(x,y)∨(∀y)(~Q(x,y)∨R(x,y)))
2、利用等价关系把“~”移到紧靠谓词的位置上。
(P) P 双重否定律 ~(P ∧ Q) ~P ∨ ~Q 摩根定律 ~(P ∨ Q) ~P ∧ ~Q ~ (∀x)P ( ∃ \exists ∃x)(~P) 量词转换律 ~ ( ∃ \exists ∃x)P (∀x)(~P)
3、重新命名使不同量词的约束变元名字不同 4、消去存在量词
存在量词未出现在全称量词的辖域内时用一个个体常量替换其所有约束变元。 否则用skolem函数替换其所有其约束变元。 5、把全称量词移到公式最左边 6、利用等价关系如分配律 7、去掉全称量词 8、对变元更名使不同子句的变元不同名 。 9、消去合取词即得子句集 鲁宾逊归结原理
由谓词公式转化为子句集的过程可以看出在子句集中子句之间是合取关系其中只要一个子句不可满足则子句集不可满足因此若一个子句集中包含空子句则这个子句集一定不可满足
其基本思想 检查子句集S中是否包含空子句若包含则S不可满足不包含就在子句集中选择合适的子句进行归结归结出空子句则S不可满足
命题逻辑鲁宾逊归结原理
互补文字 若P是原子谓词公式则称P和P为互补文字。 归结式 设C1与C2是子句集中的任意两个子句且C1中的文字L1与C2中的文字L2互补令C12{C1-L1} ∨ {C2-L2}则称C12为C1与C2的归结式C1、C2 为C12的亲本子句。
