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Block与PseudoBlock GMRES简介
在处理多个右端项的线性方程组时#xff0c;Block GMRES和PseudoBlock GMRES是两种常用的变体算法#xff1a;
Block GMRES#xff1a;同时处理所有右端项#xff0c;构建一个大的Krylov…GMRES算法处理多个右端项的Block与PseudoBlock变体
Block与PseudoBlock GMRES简介
在处理多个右端项的线性方程组时Block GMRES和PseudoBlock GMRES是两种常用的变体算法
Block GMRES同时处理所有右端项构建一个大的Krylov子空间PseudoBlock GMRES独立处理每个右端项但共享Arnoldi过程的信息
主要区别
特性Block GMRESPseudoBlock GMRES处理方式同时处理所有右端项独立处理但共享信息子空间单个大子空间多个子空间共享基内存需求较高相对较低收敛性可能更快(当右端项相关)更稳健(当右端项独立)实现复杂度较高中等
Block GMRES伪代码
def block_GMRES(A, B, max_iter, tol, restartNone):A: 系数矩阵(n×n)B: 右端项矩阵(n×s), s为右端项数量max_iter: 最大迭代次数tol: 容忍误差restart: 重启周期(可选)n, s B.shapeX initial_guess(n, s) # 初始解矩阵for cycle in range(max_cycles):# 计算初始残差块R B - A Xβ norm(R, fro)Q [R / β] # 初始正交基H [] # Hessenberg矩阵for j in range(1, max_iter1):# Arnoldi过程W A Q[-1]for i in range(j):H[i,j-1] dot(Q[i], W)W W - Q[i] * H[i,j-1]H[j,j-1] norm(W, fro)if H[j,j-1] eps:breakQ.append(W / H[j,j-1])# 解最小二乘问题e1 zeros(j*s1, s)e1[:s] β * eye(s)y lstsq(H[:j1,:j], e1)# 更新解X X Q[:j] y# 检查收敛if norm(R, fro) tol:return Xif restart:# 重启逻辑X current_solutioncontinuereturn XPseudoBlock GMRES伪代码
def pseudoBlock_GMRES(A, B, max_iter, tol):A: 系数矩阵(n×n)B: 右端项矩阵(n×s), s为右端项数量max_iter: 最大迭代次数tol: 容忍误差n, s B.shapeX zeros(n, s) # 初始解矩阵residuals [norm(B[:,i] - A X[:,i]) for i in range(s)]active_systems list(range(s)) # 未收敛的系统索引# 共享的Krylov子空间Q_shared []H_shared []while active_systems:# 选择最不收敛的系统作为种子seed_idx argmax([residuals[i] for i in active_systems])b_seed B[:, seed_idx]x_seed X[:, seed_idx]r_seed b_seed - A x_seedβ norm(r_seed)q1 r_seed / β# 标准GMRES Arnoldi过程Q [q1]H zeros(max_iter1, max_iter)for j in range(max_iter):# Arnoldi步骤v A Q[j]for i in range(j1):H[i,j] dot(Q[i], v)v v - H[i,j] * Q[i]H[j1,j] norm(v)if H[j1,j] eps:breakQ.append(v / H[j1,j])# 对种子系统求解e1 zeros(j2, 1)e1[0] βy lstsq(H[:j2,:j1], e1)x_seed x_seed Q[:j1] y# 对其他系统使用相同子空间for i in active_systems:if i seed_idx:continuer_i B[:,i] - A X[:,i]β_i norm(r_i)e1_i zeros(j2, 1)e1_i[0] β_iy_i lstsq(H[:j2,:j1], e1_i)X[:,i] X[:,i] Q[:j1] y_iresiduals[i] norm(B[:,i] - A X[:,i])# 检查收敛active_systems [i for i in active_systems if residuals[i] tol]if not active_systems:break# 更新共享子空间信息Q_shared QH_shared H[:j2,:j1]return X实际实现考虑因素
预处理两种方法都可以结合预处理技术提高收敛速度并行化Block GMRES更适合矩阵-块向量乘积的并行化内存管理Block GMRES需要更多内存存储基向量重启策略对于大型问题两种方法都可能需要重启以避免内存爆炸
选择哪种方法取决于具体问题特性当右端项高度相关时Block GMRES通常更有效当右端项独立或相关性低时PseudoBlock GMRES可能更稳健。
