重庆网站建设总结,网站建设 起飞,使用angularjs的网站,南通网站建设排名参考《常微分方程》第三版#xff08;王高雄#xff09;常微分方程王高雄 第四章 高阶微分方程_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com对于高阶微分方程#xff0c;线性部分见4、5章#xff0c;非线性部分见6章。4.1 线性微分方程的一般理论定义#xff…参考《常微分方程》第三版王高雄常微分方程王高雄 第四章 高阶微分方程_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com对于高阶微分方程线性部分见4、5章非线性部分见6章。4.1 线性微分方程的一般理论定义线性微分方程分为非齐次微分方程和齐次微分方程n阶非齐次微分方程n阶齐次微分方程其中系数及ft为闭区间[a,b]上的连续函数。一.首先引进一些本章常用到的定义1.朗斯基行列式p1222.函数的线性相关线性无关3.基本解组p126二.齐次线性方程基本性质a存在唯一性定理b叠加原理c 函数线性相关性与朗斯基行列式的关系d方程解函数线性无关则朗斯基行列式在区间上的任何一点都不为0根据定理3和定理4可以知道由n阶齐次线性微分方程4.2的n个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零e通解结构定理三.非齐次线性微分方程的基本性质及常数变易法a齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程解之间的关系b常数变易法设齐次线性微分方程的基本解组与通解如下则根据常数变易原理可设非齐次线性微分方程的通解为则关键是确定 ,最后得到方程的解如下形式具体证明及一个例子如下例子4.2 常系数线性微分方程的解法事实上对于一般的线性微分方程是没有普遍的解法的.本节介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程.我们将看到为了求得常系数齐次线性微分方程的通解只须解一个代数方程而不必通过积分运算.对于某些特殊的非齐次线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解我们一定要记住常系数线性微分方程固有的这种简单特性.讨论常系数线性微分方程的解法时需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题。4.2.1 复值函数与复值解一.定义a首先给出复值函数的极限、连续、可微的概念b 的定义其中 c 的性质p135d方程的复值解的性质4.2.2 常系数线性微分方程和欧拉方程一. 齐次线性微分方程设齐次线性微分方程中所有系数都是常数即方程有如下形式由4.1的一般理论可知为了求方程4.19的通解只需要求出它的基本解组求基本解组的一种很重要的方法—欧拉待定指数函数法特征根法等价转换分析可知 为方程4.19的解的充要条件为 是代数方程的根。称4.21为4.19的特征方程它的根就称为特征根。对于特征根下面根据不同的情形分别进行讨论1单根实根方程通解为2重根实根p1404.25和4.26全体n个解构成方程4.19的基本解组。对所以基本解组进行系数加权即得到通解。3单根复根特征根为 和 4重根复根p141k-2k二.欧拉方程p142总结欧拉方程通过自变量变换可转化为常系数齐次线性微分方程解的求法也类似可以得到最后可化解为常系数齐次线性微分方程而由前面的特征根法可知方程4.30有形如 的解又由变换可知 故 这一结果可作为求解欧拉方程的解的公式即对于欧拉方程我们设其解为 检验以 代入欧拉方程4.29【做题时直接这样替换即可】约去因子 就得到确定K的代数方程及实根下的m个解与复根下的2m个解。下面通过例6进一步理解4.2.3非齐次线性微分方程-比较系数法与拉普拉斯变换前面4.1.3介绍了非齐次线性微分方程求解的常数变易法-即在已知齐次线性微分方程解的前提下将常数加以自变量约定为非齐次的通解微分求和进行化解求出常数加自变量后的导数进而确定出常数加自变量的函数形式。。。上述步骤求解往往比较繁琐。下面介绍当f(t)具有某些特殊形状时所适用的一些方法——比较系数法与拉普拉斯变换。它们的特点是不需通过积分而用代数方法即可求得非齐次线性微分方程的特解即将求解微分方程的问题转化为某一个代数问题来处理因而比较简便.1.比较系数法类型Ip145类型IIp148类型II的特殊情形p1502.拉普拉斯变换p1504.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法对于n阶微分方程4.3.1 可降阶的一些方程类型下面讨论三类特殊方程的降阶问题1.方程不显含未知函数p1662.不显含自变量t的方程p1673.齐次线性微分方程4.3.2 幂级数解法p173更多可参见书中p173matlab解微分方程yp130例1matlab实现 xdsolve(D2xx1/cos(t))x C10*cos(t) log(cos(t))*cos(t) C11*sin(t) t*sin(t)与书中结果一样。p130例2matlab实现 xdsolve(t*D2x-Dxt^2)x C16*t^2 t^2*(t/3 C15/(2*t^2))p154例13matlab实现注意数乘符号*不能省 xdsolve(D2x2*Dxxexp(t),x(1)Dx(01)0)x (t*exp(t))/2 - (exp(t)*(2*t - 1))/4 - (C30*exp(-t))/2 C30*t*exp(-t)2020.11.19
