已有网站怎么修改,ww事业怎么推广,苏州seo公司排名,wordpress上传音乐空间解析几何——直线与平面
三维空间中的直线和平面与二维空间中的性质有一定的类似之处#xff0c;但是其相交关系的求解方式有所差异。本文回顾了三维空间中直线和平面的解析表达#xff0c;然后推导线-线、线-面交点。
平面
空间平面的表达式为#xff1a; A x B y…空间解析几何——直线与平面
三维空间中的直线和平面与二维空间中的性质有一定的类似之处但是其相交关系的求解方式有所差异。本文回顾了三维空间中直线和平面的解析表达然后推导线-线、线-面交点。
平面
空间平面的表达式为 A x B y C z D 0 (1) AxByCzD0\tag{1} AxByCzD0(1) 包含了4个参数 A , B , C , D A,B,C,D A,B,C,D ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C)是平面的一个法向量。但是它们并非独立的即法向量的长度可以是任意的。 若限定 A , B , C A,B,C A,B,C三个参数满足 A 2 B 2 C 2 1 (2) A^2B^2C^21\tag{2} A2B2C21(2) 此时 ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C)是平面的单位法向量 D D D表示坐标原点到该平面的距离。方便起见下面的讨论默认平面的A,B,C参数满足(2)式。 本质上空间平面仅需要三个参数确定 ( n x , n y , 1 ) (n_x,n_y,1) (nx,ny,1)描述其法向量仅需2参数 d d d描述其到原点的距离表达式为 n x x n y y z d 0 n_x xn_y yzd0 nxxnyyzd0与(1)是等价的。 直线
空间直线的一种表达是两个平面的交。用 π 1 , π 2 \pi_1,\pi_2 π1,π2表示两个不平行、不共面的平面则一条空间直线可以表达为 l π 1 ∩ π 2 → l { A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 l\pi_1\cap\pi_2\rightarrow l\begin{cases}A_1 xB_1 yC_1 zD_10\\A_2 xB_2 yC_2 zD_20\end{cases} lπ1∩π2→l{A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20
显然这种表达方式不是唯一的。一条空间直线可能是无数对平面的交线。 空间直线更常用的表达式为 x − x 0 a y − y 0 b z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}\dfrac{y-y_0}{b}\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0by−y0cz−z0
包含6个参数 x 0 , y 0 , z 0 , a , b , c x_0,y_0,z_0, a,b,c x0,y0,z0,a,b,c ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)是直线的方向向量其长度任意因而相当于只有两个独立参数 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)是直线上一点。因此一条空间直线只需要5个独立参数即可描述。
点到平面的距离
点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1,y1,z1)到平面 A x B y C z D 0 AxByCzD0 AxByCzD0的距离为 d ∣ A x 1 B y 1 C z 1 D ∣ A 2 B 2 C 2 d\dfrac{|Ax_1By_1Cz_1D|}{\sqrt{A^2B^2C^2}} dA2B2C2 ∣Ax1By1Cz1D∣
点到直线的距离
点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1,y1,z1)到直线 x − x 0 a y − y 0 b z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}\dfrac{y-y_0}{b}\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0by−y0cz−z0的距离为 d ∣ ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) × ( a , b , c ) ∣ a 2 b 2 c 2 d\dfrac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\bold{\times} (a,b,c)|}{\sqrt{a^2b^2c^2}} da2b2c2 ∣(x1−x0,y1−y0,z1−z0)×(a,b,c)∣
表达式中为何出现叉积这是因为 ∣ a × b ∣ ∣ a ∣ ∣ b ∣ ∣ sin θ ∣ |a\times b ||a||b||\sin\theta| ∣a×b∣∣a∣∣b∣∣sinθ∣而 d d d恰恰就等于 ∣ ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) ∣ ∗ ∣ sin θ ∣ |(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)|*|\sin\theta| ∣(x1−x0,y1−y0,z1−z0)∣∗∣sinθ∣。 直线之间的距离
两条直线 x − x 0 a y − y 0 b z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}\dfrac{y-y_0}{b}\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0by−y0cz−z0、 x − x 1 a ′ y − y 1 b ′ z − z 1 c ′ \dfrac{x-x_1}{a}\dfrac{y-y_1}{b}\dfrac{z-z_1}{c} a′x−x1b′y−y1c′z−z1分别通过点P1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)和P2 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1,y1,z1)。 两条直线方向向量的叉积即为待求距离所在的方向我们记作 N ( a , b , c ) × ( a ′ , b ′ , c ′ ) N(a,b,c)\times(a,b,c) N(a,b,c)×(a′,b′,c′) 则它们之间的距离为 d ∣ ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) ⋅ N ∣ ∣ ∣ N ∣ ∣ d \dfrac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\cdot N|}{||N||} d∣∣N∣∣∣(x1−x0,y1−y0,z1−z0)⋅N∣ 其中 ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ ||*|| ∣∣∗∣∣表示取模。
直线与直线相交
两条直线 x − x 0 a y − y 0 b z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}\dfrac{y-y_0}{b}\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0by−y0cz−z0、 x − x 1 a ′ y − y 1 b ′ z − z 1 c ′ \dfrac{x-x_1}{a}\dfrac{y-y_1}{b}\dfrac{z-z_1}{c} a′x−x1b′y−y1c′z−z1分别通过点P1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)和P2 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1,y1,z1)。 若两条空间直线相交则它们必共面。与求解直线的距离类似为了求两条空间直线的交点首先计算两条直线方向向量的叉积 N N N。
解法一
由于两条直线的方向向量已知所以求交点 C C C的问题可以转化为求解CP1长度的问题。将CP1长度记为L如图所示显然有 L d / ∣ cos θ ∣ Ld/|\cos\theta| Ld/∣cosθ∣
而 d d d即P1点到另一直线的距离。即有 d ∣ ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) × ( a ′ , b ′ , c ′ ) ∣ a ′ 2 b ′ 2 c ′ 2 d\dfrac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\bold{\times} (a,b,c)|}{\sqrt{a^2b^2c^2}} da′2b′2c′2 ∣(x1−x0,y1−y0,z1−z0)×(a′,b′,c′)∣
两直线夹角的余弦为 ∣ cos θ ∣ a a ′ b b ′ c c ′ a 2 b 2 c 2 a ′ 2 b ′ 2 c ′ 2 |\cos\theta|\dfrac{aabbcc}{\sqrt{a^2b^2c^2}\sqrt{a^2b^2c^2}} ∣cosθ∣a2b2c2 a′2b′2c′2 aa′bb′cc′ 那么由于距离d没有符号C点坐标为 C P 1 L ⋅ ( a , b , c ) 或 C P 1 − L ⋅ ( a , b , c ) CP1L\cdot (a,b,c)\text{或}CP1-L\cdot (a,b,c) CP1L⋅(a,b,c)或CP1−L⋅(a,b,c) 为确定C坐标为上面两个结果中的哪一个将它们代入直线 l 2 l_2 l2的表达式误差较小的那个就是真正的交点。
解法二
设未知数t由于C在直线 l 1 l_1 l1上其坐标可以表达为 ( x 0 t a , y 0 t b , z 0 t c ) (x_0ta,y_0tb,z_0tc) (x0ta,y0tb,z0tc)代入直线 l 2 l_2 l2的表达式有 { x 0 t a − x 1 a ′ y 0 t b − y 1 b ′ x 0 t a − x 1 a ′ z 0 t c − z 1 c ′ \begin{cases}\dfrac{x_0ta-x_1}{a}\dfrac{y_0tb-y_1}{b}\\\dfrac{x_0ta-x_1}{a}\dfrac{z_0tc-z_1}{c}\\\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a′x0ta−x1b′y0tb−y1a′x0ta−x1c′z0tc−z1
由上面两式可分别求出两个t值 t 1 ( x 1 − x 0 ) b ′ − ( y 1 − y 0 ) a ′ a b ′ − a ′ b t 2 ( x 1 − x 0 ) c ′ − ( z 1 − z 0 ) a ′ a c ′ − a ′ c t_1\dfrac{(x_1-x_0)b-(y_1-y_0)a}{ab-ab}\\ t_2\dfrac{(x_1-x_0)c-(z_1-z_0)a}{ac-ac}\\ t1ab′−a′b(x1−x0)b′−(y1−y0)a′t2ac′−a′c(x1−x0)c′−(z1−z0)a′ 如果 t 1 , t 2 t_1,t_2 t1,t2非常接近则说明两直线确实交于一点如果它们差异较大说明两直线可能不相交即不共面或平行。 多条直线相交时应按照最小二乘法求交点。 直线与平面相交
已知直线 x − x 0 a y − y 0 b z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}\dfrac{y-y_0}{b}\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0by−y0cz−z0直线上一点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)平面方程为 A x B y C z D 0 AxByCzD0 AxByCzD0如图所示求交点坐标 设未知数t由于C在直线上其坐标可以表达为 ( x 0 t a , y 0 t b , z 0 t c ) (x_0ta,y_0tb,z_0tc) (x0ta,y0tb,z0tc)
因为C在平面上所以满足 A ( x 0 t a ) B ( y 0 t b ) C ( z 0 t c ) D 0 A(x_0ta)B(y_0tb)C(z_0tc)D0 A(x0ta)B(y0tb)C(z0tc)D0
整理可得 t − A x 0 B y 0 C z 0 D a A b B c C t-\dfrac{Ax_0By_0Cz_0D}{aAbBcC} t−aAbBcCAx0By0Cz0D
那么直线与平面的交点坐标为 C P t ∗ ( a , b , c ) CPt*(a,b,c) CPt∗(a,b,c)
