做任务反佣金的网站,形象型网站,设计师工作室,游戏网站建设计划书傅立叶变换的本质
离散傅立叶变换的本质就是用一系列的正弦#xff08;或者余弦#xff09;函数的和来拟合一个周期函数f(t)。公式如下#xff1a; (1)
其中T是f(t)的周期#xff0c;即f(tT)f(t)对任意t成立。和的周期是。换句话说#xff0c;后两者的频率是f(t)的频率的…傅立叶变换的本质
离散傅立叶变换的本质就是用一系列的正弦或者余弦函数的和来拟合一个周期函数f(t)。公式如下 (1)
其中T是f(t)的周期即f(tT)f(t)对任意t成立。和的周期是。换句话说后两者的频率是f(t)的频率的k倍。这说明我们在拟合任意一个周期函数时只需要考虑整数倍频率的三角函数而不需要考虑任意倍数的三角函数。
更进一步我们能不能在正弦和余弦之间只保留一个呢还真行因为 (2) 其中。值得注意的是这个转换在或等于0或者都等于0时仍然成立。
因此我们只需要正弦函数就能够拟合任意周期函数。其中参数和分别被称为正弦函数的振幅和偏移。也就是说虽然三角函数少了一个但参数数量并没有增加。
类似地我们可以很容易地把公式(2)转换为一个具有振幅和偏移的余弦函数。我们把这两种变换分别称为正弦傅立叶变换和余弦傅立叶变换。
正弦和余弦傅立叶变换意味着什么
再来看看下面两个公式告诉我你会想到什么 3 4
没错我们会想到点的极坐标。就是旋转半径的长度是旋转时间。是角速度是一个常量。则是旋转起始角度。公式3和4可以用来分别计算直角坐标系下点的横坐标和纵坐标。
总结一下我们得到以下两个公式 (5) (6)
其中函数和分别用来计算点的横、纵坐标。的取值范围是[0, T]。
应用
公式5和6提示我们直角坐标系下在一幅由一定顺序的点组成的图像中每个点的横、纵坐标可以分开来计算互不干扰。并且每一个这样的坐标——不管是横坐标还是纵坐标——都可以转化为一组固定的半径和起始角度的组合即和。每一对半径和起始角度又对应了一个以整数倍频率旋转着的圆。把这些圆的圆心按频率从低到高首尾相连就可以构成一幅有趣的动画该动画不仅重现了原图像更揭示了傅立叶变换的本质。
根据这个想法我们用Python写了一些程序利用快速傅立叶变换参见函数numpy.fft.fft、OpenCV参见包cv2和图像io参见包imageio实现了一些有趣的动画能够绘画出我们事先指定的图像。结果如下。 甚至可以绘画09十个数字。 最后给大家看的是奥运五环
