彩票网站多少钱可以做,网站建设工作室门头,免费网络推广培训课程,网站目录改版如何301跳转呀“算术-几何平均数”既不是算术平均数#xff0c;也不是几何平均数#xff0c;由素有“数学王子”之称的德国数学家高斯首先发现和研究。算术-几何平均数#xff0c;当然与“算术平均数”和“几何平均数”这两个概念有很深的关系。我们知道#xff0c;但凡一个数学概念或定…“算术-几何平均数”既不是算术平均数也不是几何平均数由素有“数学王子”之称的德国数学家高斯首先发现和研究。算术-几何平均数当然与“算术平均数”和“几何平均数”这两个概念有很深的关系。我们知道但凡一个数学概念或定理哪怕再简单不过只要和高斯扯上关系那就一定不简单了。带着耐心我们来看看高斯关于算术-几何平均数的研究。预备知识对于两个正实数a和b(不妨设0我们有基本不等式等号当且仅当ab时成立。证明也不难:从数的角度从形的角度一目了然。正文算术平均数和几何平均数的概念相当简单绝大部分人认识到基本不等式这一步可以说是功德圆满了。继续研究的话无非两个方向第一由两个数向三个、四个乃至任意n个正数的推广第二研究其他类型的平均比如立方平均平方平均调和平均(倒数平均)以及它们之间的大小关系得到更高级的基本不等式也就是“立方平均数≥平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数”。上面的不等式同样可以推广到任意n个正数的情形。绝大部分数学家走到这一步也可以说是功德圆满了。高斯却另辟蹊径。平均平均既然叫做”平均数“自然介于两者之间缓和了最大与最小。完整的基本不等式应该是由a和b得到(ab)/2和√ab显然距离不到原来的一半。令a1√ab,b1(ab)/2,再计算它们的算术平均数和几何平均数又有同样地它们之间的距离为这个过程可以无限进行下去也就是那么数列{an}单调递增有上界数列{bn}单调递减有下界且当n趋于无穷时于是数列{an}和{bn}有同一个极限。高斯就把这个极限叫做a和b的算术-几何平均数(Arithmetic-Geometric Mean)。记为AGM(a,b)。高斯当时只研究了算术-几何平均数。但顺着他的这个思路我们当然还可以发明“算术-平方平均数”“算术-调和平均数”“平方-调和平均数”等概念。只需要在上面的迭代过程中an和bn分别取an-1和bn-1不同的平均数即可。这些平均数的数值都很容易计算编个程序迭代几次就能得到精度相当高的结果收敛很快。比如对1和2小编用MATLAB编程得到它们的算术-几何平均数约等于1.456791031046907算术-平方平均数约等于1.540836469462489平方-调和平均数约等于1.45458688740267。有兴趣的话可以试着计算其他组合的平均数。在计算的过程中小编发现了一个很有意思的结论。限于篇幅暂且不表。本来两个数的平均算数平均也好几何平均也好都很简单计算简单结果也简单。对1和2它们的算术平均是1.5几何平均是√2平方平均是√(5/2),调和平均是4/3。然而对如此简单的1和2它们的算术-几何平均数的卖相却如此“丑陋”1.540836469462489.......看起来似乎还是个超越数高斯并不仅仅满足于数值运算。很快他就找到算术-几何平均数AGM(a,b)的解析表达圆周率π三角函数微积分......等等算术-几何平均数怎么会和这些概念扯到一起当年高斯22岁。后续研究这些平均数有什么用呢对我们来说可以作为一种数学游戏具有启发思维的作用。也许可以应用在某个我们暂时还不知道的领域。但高斯他研究算术-几何平均数绝非一时的游戏之作。作为一个“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才“高斯发现算术-几何平均数跟椭圆积分有很深的联系。举个例子有不少人对双纽线比较熟悉双纽线是平面上到两个定点的距离之积为常数的动点轨迹(类比一下椭圆)长得像一个无穷符号。方程如下学过高数的人应该知道双纽线的面积是2a^2。但我们这里来看双纽线的周长。为了简单起见在上图中取a1它的极坐标方程是根据对称性其周长利用高斯计算AGM(a,b)的公式我们很容易得到该双纽线的周长为了纪念高斯称为高斯常数(Gausss Constant)。双纽线的周长计算其实是一种椭圆积分而椭圆积分的反演就是椭圆函数。椭圆函数可以说是19世纪的数学界在复变函数论方面取得的最为辉煌壮观的成果没有之一。人类历史上第一个被研究的椭圆函数就是双纽线周长的积分反演。而研究它的正是高斯。椭圆函数在数论方面的应用发展出了模函数、模曲线、自守形式等理论。上世纪末怀尔斯证明了费尔马大定理应用的基本工具之一正是椭圆函数。思考题高斯22岁发现的定理有人对证明感兴趣吗证明仅仅用到了高等数学的基础知识没有任何知识盲点。如果感兴趣的话私信或留言告诉我分享你的思考证明过程。视情况我将在下一篇贴出。
