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一. Markov不等式
二. 选择引理
三. Chebyshev不等式
四. Chernov上限
4.1 变量大于
4.2 变量小于 信息论安全中会用到很多概率论相关的上界#xff0c;本文章将梳理几个论文中常用的定理#xff0c;重点关注如何理解这些定理以及怎么用。 一. Markov不等式
假定…目录
一. Markov不等式
二. 选择引理
三. Chebyshev不等式
四. Chernov上限
4.1 变量大于
4.2 变量小于 信息论安全中会用到很多概率论相关的上界本文章将梳理几个论文中常用的定理重点关注如何理解这些定理以及怎么用。 一. Markov不等式
假定X为非负且为实数的随机变量令为该变量的数学期望可得 理解代表事件的集合该定理用来描述概率的上界且该上界与数学期望相关。 二. 选择引理
令左边的代表随机变量右边代表该随机变量取值的字母集。假定某函数将这些函数集中在一起形成函数集另外该函数集内函数的个数与n无关。给定如下条件 一定存在该变量中一个具体的数满足 理解如果经过函数变化后的随机变量的数学期望有上界那么该函数的某些取值也有上界。
证明
先做一个简单的改写令可以把看成一个常数根据联合界定理(union bound)来看一个很有意思的概率 马上使用刚才谈到的Markov不等式右边不就是某个变量大于某个数的概率可得 条件告诉我们 直接带入可得 推导这么久无非是想说 翻译成人话就是。事件的概率小于1也就是存在。接下来就是计算复杂性理论很喜欢用到的一些转化。定理条件说是有限的也就是一个常数并且该常数与n无关常数在计算复杂性中可以忽略所以可将等效为。
证明完毕。
简化理解以上推导只是严格按照概率论格式来推导所以看起来可能有点复杂。让我们来简化下。该定理说明当期望有上限时至少存在一个变量的值也是这个上限是不是很简单。只不是今天的上限满足安全领域很喜欢研究渐近性。 三. Chebyshev不等式
令X为随机变量可得 理解变量的值与期望值不会相差太大该上限与方差相关。 四. Chernov上限
4.1 变量大于
令X为随机变量可得 理解将s看成一个常数代表变量大于等于a的概率代表对变量操作指数变换后求数学期望该定理反映了变量大于某值时对应的概率有上限该上限与数学期望有关。与Markov不等式相比多了一个s在实际信息论安全推导时可以设定任何自己想要的参数。 4.2 变量小于
令X为随机变量可得 该定理的理解与4.1类似就不重复描述了。
