郑州哪里可以做网站,用phpmysql做网站,前端网页设计用什么软件,eclipse开发网站用vue做前端定义$\overline{abc}$是一个三位数#xff0c;其中各数位上的数字$a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$且不全相同#xff0e;定义如下运算$f$#xff1a;把$\overline{abc}$的三个数字$a,b,c$自左到右分别由大到小排列和由小到大排列(若非零数字不足三位则在前面补$0$)其中各数位上的数字$a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$且不全相同定义如下运算$f$把$\overline{abc}$的三个数字$a,b,c$自左到右分别由大到小排列和由小到大排列(若非零数字不足三位则在前面补$0$)然后用“较大数”减去“较小数”例如$f(100)100-001099,f(102)210-012198$如下定义一个三位数序列第一次实施运算$f$的结果记为$\overline{a_1b_1c_1}$对于$n1$且$n\in \mathcal{N}$$\overline{a_nb_nc_n}f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$将$\overline{a_nb_nc_n}$的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为$d_n$(1)当$\overline{abc}636$时求$\overline{a_1b_1c_1}$$\overline{a_2b_2c_2}$及$d_2$的值(2)若$d_16$求证当$n1$时$d_n5$(3)求证对任意三位数$\overline{abc}$$n\geqslant 6$时$\overline{a_nb_nc_n}495$分析与解 (1)$\overline{a_1b_1c_1}297$$\overline{a_2b_2c_2}693$$d_26$(2)易知$f\left (\overline{a_{n}b_{n}c_{n}} \right )99d_n$下面我们用数学归纳法来证明“当$n1$时$d_n5$”当$n2$时因为$d_16$所以$$\overline{a_2b_2c_2}f\left (\overline{a_{1}b_{1}c_{1}} \right )594,$$故$d_25$所以$n2$时要证的命题成立假设$nk1$时要证的命题成立即$d_k5$则$nk1$时$$\overline{a_{k1}b_{k1}c_{k1}}f\left (\overline{a_{k}b_{k}c_{k}} \right )99d_k495,$$所以$d_{k1}5$故$nk1$时要证的命题也成立综上所述命题“当$n1$时$d_n5$”成立(3)易知$d\in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$因为$$\overline{a_{1}b_{1}c_{1}}f\left (\overline{abc} \right )99d\overline{d00}-\overline{00d},$$所以$a_1d-1,b_19,c_110-d$故$$d_1\begin{cases}10-d,d \leqslant 5,\\d-1,d5,\end{cases} $$因此$d_1 \in \{ 5,6,7,8,9 \}$若$d_15$则$\overline{a_2b_2c_2}\overline{a_3b_3c_3}\cdots495$若$d_16$则$d_25$故$\overline{a_3b_3c_3}\overline{a_4b_4c_4}\cdots495$若$d_17$则$d_26,d_35$故$\overline{a_4b_4c_4}\overline{a_5b_5c_5}\cdots495$若$d_18$则$d_27,d_36,d_45$故$\overline{a_5b_5c_5}\overline{a_6b_6c_6}\cdots495$若$d_19$则$d_28,d_37,d_46,d_55$故$\overline{a_6b_6c_6}\overline{a_7b_7c_7}\cdots495$综上所述对任意三位数$\overline{abc}$当$n\geqslant 6$时均有$\overline{a_nb_nc_n}495$注 这个问题叫做“Kaprekar问题”由印度数学家Kaprekar在1949年提出我们还可以证明对于各个数位上的数字不全相同的四位数来说最多进行$7$次题中所描述的操作即可得到常数$6174$
