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状态空间模型通常是用来描述动态系统随时间变化的数学模型#xff0c;它由状态方程和观测方程组成。对于连续时间的状态空间模型#xff0c;我们有时需要将其离散化#xff0c;以便在数字计算机上进行处理。常见的离散化方法有#xff1a;
欧拉方法#xff08;Forw…介绍
状态空间模型通常是用来描述动态系统随时间变化的数学模型它由状态方程和观测方程组成。对于连续时间的状态空间模型我们有时需要将其离散化以便在数字计算机上进行处理。常见的离散化方法有
欧拉方法Forward Euler Method ○ 最直接的一种离散化方法通过用差分近似导数来实现。 ○ 对于状态方程 x ˙ ( t ) A x ( t ) B u ( t ) \dot{x}(t) Ax(t) Bu(t) x˙(t)Ax(t)Bu(t)离散化形式为 x k 1 x k T ( A x k B u k ) x_{k1} x_k T(Ax_k Bu_k) xk1xkT(AxkBuk)其中 T T T是采样周期。后向欧拉方法Backward Euler Method ○ 一种隐式的离散化方法稳定性比前向欧拉方法好。 ○ 离散形式为 x k 1 x k T ( A x k 1 B u k ) x_{k1} x_k T(Ax_{k1} Bu_k) xk1xkT(Axk1Buk)需要在每一步解一个线性方程组。梯形规则Trapezoidal Rule ○ 结合了前向欧拉方法和后向欧拉方法通过取平均值以获得更高的精确度。 ○ 离散方程为 x k 1 x k T 2 ( A x k A x k 1 B u k B u k 1 ) x_{k1} x_k \frac{T}{2}(Ax_k Ax_{k1} Bu_k Bu_{k1}) xk1xk2T(AxkAxk1BukBuk1)。ZOHZero-Order Hold ○ 在采样周期内输入 u ( t ) u(t) u(t) 被认为是恒定的这是最常用的离散化方法之一。 ○ 利用拉普拉斯变换和反变换可以得到精确的离散时间系统模型。双线性变换Bilinear Transformation/Tustin Method ○ 一种将连续时间系统的s域拉普拉斯变换域转换到离散时间系统的z域Z变换域的方法可以保持系统稳定性和频率响应的特性。 ○ 变换公式为 s 2 T z − 1 z 1 s \frac{2}{T}\frac{z-1}{z1} sT2z1z−1其中 T T T 是采样周期。极点匹配法 ○ 直接将连续系统的极点转换为离散系统的极点以保持系统动态特性。 每种方法都有其适用场景和优缺点。在实际应用中选择哪种离散化方法取决于具体问题的需求如系统的稳定性、精确度要求、计算复杂性以及实现的难易程度等。通常这些方法可以在各种科学和工程计算软件中找到实现。
欧拉方法Forward Euler Method
欧拉方法是一种用于数值求解常微分方程初值问题即给定初始条件的常微分方程的最简单形式的一步求解法。它也是最直观的数值方法之一基于对微分方程的直接离散化。 常微分方程的一般形式可以表示为 d y d t f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) y 0 \frac{dy}{dt} f(t, y(t)), \quad y(t_0) y_0 dtdyf(t,y(t)),y(t0)y0 其中 y ( t ) y(t) y(t) 是我们想要求解的函数 f ( t , y ( t ) ) f(t, y(t)) f(t,y(t)) 是给定的函数 y ( t 0 ) y 0 y(t_0) y_0 y(t0)y0 是初始条件。 欧拉方法是这样工作的
初始化从初始条件 y ( t 0 ) y 0 y(t_0) y_0 y(t0)y0 开始选择一个小的步长 h h h也称为时间步长或步长这决定了离散时间点的间隔。迭代对于每个连续的点 t n 1 t n h t_{n1} t_n h tn1tnh使用下面的公式来计算 y y y的下一个估计值 y n 1 y_{n1} yn1 y n 1 y n h ⋅ f ( t n , y n ) y_{n1} y_n h \cdot f(t_n, y_n) yn1ynh⋅f(tn,yn) 这里 f ( t n , y n ) f(t_n, y_n) f(tn,yn) 是微分方程在时间 t n t_n tn 和估计的 y n y_n yn 处的导数值。循环重复上面的步骤直到覆盖整个区间。 欧拉方法可以被看作是微分的直接离散化。我们知道微分 d y d t \frac{dy}{dt} dtdy 是函数 y ( t ) y(t) y(t) 在 t t t上的瞬时变化率。所以在连续的框架下 d y f ( t , y ( t ) ) ⋅ d t dy f(t, y(t)) \cdot dt dyf(t,y(t))⋅dt。在离散框架下我们用 y n 1 − y n y_{n1} - y_n yn1−yn来近似 d y dy dy用 h h h 来近似 d t dt dt所以我们得到 y n 1 y n f ( t n , y n ) ⋅ h y_{n1} y_n f(t_n, y_n) \cdot h yn1ynf(tn,yn)⋅h。
尽管欧拉方法简单易懂它也有一些明显的缺点 ● 准确性欧拉方法是一种一阶方法这意味着局部截断误差是 O ( h 2 ) O(h^2) O(h2)而全局截断误差是 O ( h ) O(h) O(h)。这意味着要达到较高的精度需要很小的步长这会导致更多的计算。 ● 稳定性对于某些类型的问题特别是当 f ( t , y ) f(t, y) f(t,y) 是关于 y y y 很强的函数时欧拉方法可能会变得不稳定除非采取非常小的步长。 因此尽管欧拉方法适用于对计算精度要求不高或者对计算资源限制不大的情况但在实际应用中人们往往会使用更高级的方法如Runge-Kutta方法这些方法可以在每一步提供更高的精确度而不必显著减小步长。
后向欧拉方法Backward Euler Method
后向欧拉方法Backward Euler Method也称为隐式欧拉方法是一种用于数值求解常微分方程初值问题的一步求解法。与显式欧拉方法或简称欧拉方法不同后向欧拉方法是一种隐式求解方法因此在每一步都需要求解一个方程或方程组。它通常应用于求解刚性stiff常微分方程因为其在这类问题上表现出较好的稳定性。 假设我们有一个一阶常微分方程如下 d y d t f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) y 0 \frac{dy}{dt} f(t, y(t)), \quad y(t_0) y_0 dtdyf(t,y(t)),y(t0)y0 其中 y ( t ) y(t) y(t) 是我们想要求解的函数 f ( t , y ( t ) ) f(t, y(t)) f(t,y(t))是给定的函数 y ( t 0 ) y 0 y(t_0) y_0 y(t0)y0 是已知的初始条件。 后向欧拉方法的工作原理如下
初始化从初始条件 y ( t 0 ) y 0 y(t_0) y_0 y(t0)y0 开始选择一个步长 h h h。迭代对于每个连续的点 t n 1 t n h t_{n1} t_n h tn1tnh计算 y y y 的下一个值 y n 1 y_{n1} yn1 使用下面的公式 y n 1 y n h ⋅ f ( t n 1 , y n 1 ) y_{n1} y_n h \cdot f(t_{n1}, y_{n1}) yn1ynh⋅f(tn1,yn1) 注意这与显式欧拉方法不同显式欧拉方法中的导数是在当前估计值 (t_n, y_n) 处计算的而后向欧拉方法中的导数是在下一个未知值 t n 1 , y n 1 t_{n1}, y_{n1} tn1,yn1 处计算的。求解在每个步骤中上述方程需要求解 y n 1 y_{n1} yn1因为它是隐式的。这通常涉及到求解一个非线性方程或方程组可以使用牛顿法 N e w t o n ′ s m e t h o d Newtons method Newton′smethod或其他数值方法进行求解。
后向欧拉方法的优点 ● 稳定性对于刚性问题后向欧拉方法比显式方法如普通欧拉方法更稳定。 ● 隐式方法虽然隐式方法需要在每一步求解方程但它们允许更大的步长而不牺牲稳定性。 缺点 ● 计算成本每一步需要求解方程这可能导致更高的计算成本尤其是对于非线性问题。 ● 难度对于复杂的方程每一步求解可能是困难的或计算成本极高。 后向欧拉方法的局部截断误差是 O ( h 2 ) O(h^2) O(h2)全局截断误差是 O ( h ) O(h) O(h)与显式欧拉方法相同。但由于其改进的稳定性特性后向欧拉方法在处理刚性问题时通常是更好的选择尽管其计算成本更高。在实际应用中后向欧拉方法经常与其他技术结合使用比如预测-校正方法以提高其效率。
梯形规则Trapezoidal Rule
梯形规则Trapezoidal Rule是一种在数值分析中用于近似计算定积分即函数在某个区间上的积分的方法。除了用于积分近似梯形规则也可以用于离散化连续时间系统的状态空间模型。在这里我将重点介绍它在数值积分和离散化两个方面的应用。 梯形规则在数值积分中的应用 梯形规则基于线性插值将被积函数近似为一系列线性段。具体来说想象将积分区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 划分为 N N N 个小区间每个区间的宽度相同为 h b − a N h \frac{b - a}{N} hNb−a。在每个小区间 [ x i , x i 1 ] [x_i, x{i1}] [xi,xi1]函数 f ( x ) f(x) f(x) 被一个经过点 ( x i , f ( x i ) ) (x_i, f(x_i)) (xi,f(xi))和 ( x i 1 , f ( x i 1 ) ) (x_{i1}, f(x_{i1})) (xi1,f(xi1)) 的直线段替代形成一个梯形。梯形面积可以很容易计算因此整个区间的积分近似为所有梯形面积之和。 数学表达为 ∫ a b f ( x ) , d x ≈ h 2 [ f ( a ) 2 ∑ i 1 N − 1 f ( x i ) f ( b ) ] \int{a}^{b} f(x) , dx \approx \frac{h}{2} \left [ f(a) 2 \sum{i1}^{N-1} f(x_i) f(b) \right ] ∫abf(x),dx≈2h[f(a)2∑i1N−1f(xi)f(b)] 这里 x i a i h x_i a ih xiaih其中 i 0 , 1 , . . . , N i 0, 1, ..., N i0,1,...,N。 梯形规则是一种二阶精确方法意味着它的误差项与 h 2 h^2 h2成正比。 梯形规则在状态空间模型离散化中的应用 将梯形规则应用于连续时间状态空间模型的离散化时通常是为了创建离散时间系统模型。对于线性连续系统 x ˙ ( t ) A x ( t ) B u ( t ) \dot{x}(t) Ax(t) Bu(t) x˙(t)Ax(t)Bu(t) 梯形规则的应用导致下面的离散时间近似 x ( ( k 1 ) T ) x ( k T ) T 2 ( A x ( k T ) A x ( ( k 1 ) T ) B u ( k T ) B u ( ( k 1 ) T ) ) x((k1)T) x(kT) \frac{T}{2} (A x(kT) A x((k1)T) Bu(kT) Bu((k1)T)) x((k1)T)x(kT)2T(Ax(kT)Ax((k1)T)Bu(kT)Bu((k1)T)) 这里 T T T 是采样时间 k k k 是离散时间索引。 在离散化过程中我们需要解决 x ( ( k 1 ) T ) x((k1)T) x((k1)T)的隐式方程。假设输入 u ( t ) u(t) u(t) 在采样间隔内保持恒定即 u ( ( k 1 ) T ) u ( k T ) u((k1)T) u(kT) u((k1)T)u(kT)则离散化方程简化为 x k 1 x k T 2 ( A x k A x k 1 B u k B u k ) x_{k1} x_k \frac{T}{2} (A x_k A x{k1} B u_k B u_k) xk1xk2T(AxkAxk1BukBuk) 这可以进一步整理为 ( I − T 2 A ) x k 1 ( I T 2 A ) x k T B u k (I - \frac{T}{2} A) x_{k1} (I \frac{T}{2} A) x_k T B u_k (I−2TA)xk1(I2TA)xkTBuk 其中 I I I是单位矩阵。为了计算 x k 1 x_{k1} xk1必须求解上述线性方程组。这通常可以通过直接方法例如LU分解或迭代方法完成。 梯形规则在离散化方面的优点包括相对较好的数值稳定性和适中的精确度使其适用于各种连续时间系统的离散时间模拟。
零阶保持器Zero-Order HoldZOH)
零阶保持器Zero-Order HoldZOH是一种在数字控制和数字信号处理领域常用的数学模型或函数用于在采样和数字到模拟转换DAC过程中保持信号的恒定值。ZOH通常用在连续时间信号被离散时间系统处理时将数字信号转换回其连续时间形式。 在数字到模拟转换过程中ZOH的作用是在连续时间信号的每个采样点上保持信号值恒定直到下一个采样点的值准备好。这样它在每个采样间隔内创建了一个阶跃函数直到下一个采样值取代当前值为止。 具体来说如果我们有一个离散时间信号 u [ k ] u[k] u[k]其中 k k k 是离散时间索引并且我们知道采样周期为 T T T则ZOH会在 t k T tkT tkT 到 t ( k 1 ) T t(k1)T t(k1)T 期间将连续时间信号 u ( t ) u(t) u(t)保持为 u [ k ] u[k] u[k]。 数学上ZOH可以定义为一个连续时间信号 u ( t ) u(t) u(t)它是由离散时间信号 u [ k ] u[k] u[k]通过ZOH操作得到的 u ( t ) u [ k ] for k T ≤ t ( k 1 ) T u(t) u[k] \quad \text{for} \quad kT \leq t (k1)T u(t)u[k]forkT≤t(k1)T 在控制系统的离散化中ZOH的应用至关重要。当设计数字控制器来操纵一个连续时间系统时需要一个模型来描述在采样点之间系统的行为。ZOH模型假设在每个采样间隔内控制输入保持不变。 在状态空间表示中连续时间系统经常表示为 x ˙ ( t ) A x ( t ) B u ( t ) \dot{x}(t) Ax(t) Bu(t) x˙(t)Ax(t)Bu(t) 其中 x ( t ) x(t) x(t)是状态向量 u ( t ) u(t) u(t)是输入信号。如果输入信号 u ( t ) u(t) u(t)由ZOH生成则在每个采样间隔 [ k T , ( k 1 ) T ) [kT, (k1)T) [kT,(k1)T) 内 u ( t ) u(t) u(t) 保持为 u [ k ] u[k] u[k]。 在这种情况下离散时间系统模型可以通过考虑ZOH和连续时间系统动态来得到。离散时间状态方程通常可以表示为 x [ k 1 ] A d x [ k ] B d u [ k ] x[k1] A_d x[k] B_d u[k] x[k1]Adx[k]Bdu[k] 其中 A d A_d Ad和 B d B_d Bd是考虑到ZOH效应的离散时间系统矩阵它们可以通过连续时间系统的矩阵 A A A和 B B B以及采样时间 T T T计算得到。具体计算过程通常涉及矩阵指数和积分的概念。 ZOH的主要优点是简单易行它提供了一种方便的方法来近似在采样间隔内的系统行为并且是实际数字到模拟转换器的工作方式的良好近似。然而ZOH引入了一定的近似误差特别是在信号频率接近或超过采样频率的一半奈奎斯特频率时。在这些情况下可能需要更高阶的保持器来减少重构信号的误差。
双线性变换Bilinear Transformation/Tustin Method
双线性变换也称为Tustin方法或Tustin变换是将连续时间系统的传递函数转换为离散时间系统传递函数的一种常用技术。这种变换在数字信号处理和控制系统设计中尤其重要因为它允许工程师将设计好的连续时间控制器转换为可以在数字计算机或微控制器上实现的离散时间控制器。 双线性变换基于s域Laplace变换域和z域Z变换域之间的映射。连续时间系统的动态通常是通过Laplace变换域中的变量s来描述的而离散时间系统的动态则通过Z变换域中的变量z来描述。 双线性变换的定义 双线性变换将s域与z域通过以下关系联系起来 s 2 T ⋅ 1 − z − 1 1 z − 1 s \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 z^{-1}} sT2⋅1z−11−z−1 或者重新排列为 z 1 T 2 s 1 − T 2 s z \frac{1 \frac{T}{2} s}{1 - \frac{T}{2} s} z1−2Ts12Ts 其中 T T T是采样周期 s s s 是连续时间复变量 z z z是离散时间复变量。 这种变换保证了单位圆盘内的z域映射到s域的左半平面这一点对于系统稳定性是至关重要的。双线性变换是一种保频率方法它可以将s域的无穷远点映射到z域的单位圆上从而有助于保持原始连续时间系统的相位特性。 应用双线性变换 当你有一个连续时间系统的传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 并希望获得相应的离散时间传递函数 H ( z ) H(z) H(z) 时你可以直接将上述双线性变换关系代入 H ( s ) H(s) H(s)中 s s s的每个实例。这将产生一个新的函数其中的变量是 z z z 而不是 s s s。 双线性变换的优点 ● 它保留了原始系统的稳定性特性。 ● 它是一种保频率映射方法频率响应的重要特性如截止频率和带宽可以被较好地保持。 双线性变换的局限性 ● 频率翘曲Warping由于双线性变换是非线性的它会在频率变换过程中造成翘曲特别是在高频部分。这可以通过预翘曲技术预先补偿以确保在关键频率处有精确的匹配。 ● 变换后的系统中会引入额外的极点和零点这可能会影响系统的频率响应。 由于上述优点和局限性双线性变换是工程师在实现数字控制器设计时的一个重要工具它允许将在频率域内设计的连续时间控制策略转换为可在数字平台上实施的离散时间控制策略。在实际应用中通常需要使用预翘曲来校正高频处的翘曲效应并确保系统在关键频率例如截止频率处表现出预期的行为。
极点匹配法Pole Matching Method
极点匹配法Pole Matching Method是将连续时间控制器设计转换为离散时间设计的一种技术主要用于数字控制系统。该方法侧重于确保离散系统的极点位置与连续系统的极点位置相对应以保持系统动态特性的一致性。 这种方法基于这样的理念连续系统的动态行为大部分由其极点即系统传递函数分母多项式的根决定而离散系统的动态行为则由其在z域的极点决定。因此通过令离散系统的z域极点对应于连续系统的s域极点的某种映射可以尝试保留系统的动态性能。 极点匹配法的步骤 极点匹配法包括以下步骤
确定连续系统极点 首先需要确定连续时间控制系统的极点这些极点通常由系统传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 的分母多项式的根给出。极点转换 其次将这些极点从连续时间的s域转换到离散时间的z域。这通常通过使用特定的变换完成例如前向欧拉法对应于 z 1 s T z 1 sT z1sT或后向欧拉法对应于 z 1 1 − s T z \frac{1}{1 - sT} z1−sT1其中 T T T 是采样周期。设计离散时间控制器 接着根据转换后的极点设计一个离散时间控制器确保在z域内的极点位置与转换后的连续时间系统的极点相匹配。验证和调整 最后验证离散时间系统的性能是否符合连续时间设计的要求。在实际中由于转换过程可能会引入一些动态性能上的差异这一步可能需要调整或优化设计来满足性能标准。
极点匹配法的优缺点 优点 ● 直观易懂极点匹配法直观且易于理解因为它尝试直接保持系统的动态性能。 ● 实现简单该方法的实现相对简单不需要复杂的数学运算。 缺点 ● 动态特性的变化由于离散化过程本身的性质可能无法完全保持连续系统的动态特性特别是在高频区域的性能。 ● 不是唯一方法极点匹配法不是保持系统性能唯一或最优的方法。在某些情况下可能需要结合其他方法来优化离散时间控制器的设计。 ● 采样率限制该方法的有效性受到采样率的限制如果采样率不够高就可能无法适当地模拟连续时间系统的行为。 极点匹配法在实践中可能需要与其他设计考虑相结合例如考虑系统的零点位置、增益匹配以及离散化过程中可能出现的频率混叠等现象。在设计过程中可能还需要采用试错方法来找到最佳的控制器参数。
