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数据结构_空间复杂度_时间复杂度讲解_常见复杂度对比
本文介绍数据结构中的时间复杂度和空间复杂度 ***文章末尾#xff0c;博主进行了概要总结#xff0c;可以直接看总结部分*** 博主博客链接#xff1a;https://blog.csdn.net/m0_74014525 点点关注#xff0c;后期…前言
数据结构_空间复杂度_时间复杂度讲解_常见复杂度对比
本文介绍数据结构中的时间复杂度和空间复杂度 ***文章末尾博主进行了概要总结可以直接看总结部分*** 博主博客链接https://blog.csdn.net/m0_74014525 点点关注后期持续更新系列文章 文章目录 前言一、算法效率二、时间复杂度1. 时间复杂度的定义2. 大O的渐进表示法3. 时间复杂度计算举例 三、空间复杂度1. 空间复杂度的定义2. 空间复杂度计算举例 四、常见复杂度对比1. 常见的时间复杂度及其对应的算法2. 常见复杂度的对比 总结 一、算法效率
算法效率指的是算法在处理数据时所消耗的时间和空间资源的多少。
算法效率通常由时间复杂度和空间复杂度来衡量。
时间复杂度 表示算法在处理数据时所需要的运算次数与数据规模之间的关系。
空间复杂度 表示算法在处理数据时所需要的存储空间与数据规模之间的关系。
算法效率的好坏直接影响到算法的执行速度和资源利用率是算法设计时需要考虑的重要因素之一。 二、时间复杂度
1. 时间复杂度的定义
时间复杂度的定义在计算机科学中算法的时间复杂度是一个函数它定量描述了该算法的运行时间。
一个算法执行所耗费的时间从理论上说是不能算出来的只有你把你的程序放在机器上跑起来才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗是可以都上机测试但是这很麻烦所以才有了时间复杂度这个分析方式。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例算法中的基本操作的执行次数为算法的时间复杂度。
即找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式就是算出了该算法的时间复杂度。
举例说明
// 请计算一下Func1中count语句总共执行了多少次
void Func1(int N)
{int count 0;for (int i 0; i N; i){ //外层循环n次for (int j 0; j N; j){count; //内层循环n次//n*n}}for (int k 0; k 2 * N; k){count; //2*N 次}int M 10;while (M--){count; //循环10次}printf(%d\n, count);
}Func1 执行的基本操作次数 F ( N ) N 2 2 ∗ N 10 F(N)N^22*N10 F(N)N22∗N10 N 10 F(N) 130 N 100 F(N) 10210 N 1000 F(N) 1002010 实际中我们计算时间复杂度时我们其实并不一定要计算精确的执行次数而只需要大概执行次数那么这里我们使用大O的渐进表示法。
使用大O的渐进表示法以后Func1的时间复杂度为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)
N 10 F(N) 100 N 100 F(N) 10000 N 1000 F(N) 1000000 通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项简洁明了的表示出了执行次数。 2. 大O的渐进表示法
大O表示法是算法时间复杂度的渐进表示法表示算法的运行时间在最坏情况下的渐进上限。
大O符号Big O notation是用于描述函数渐进行为的数学符号。推导大O阶方法 1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况 最坏情况任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况任意输入规模的期望运行次数 最好情况任意输入规模的最小运行次数(下界) 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况 需要注意的是大O表示法只关注算法的渐进时间复杂度而不关注算法的具体实现细节和常数项。因此两个算法的时间复杂度可能相同但它们的实际运行时间可能差别很大这需要具体问题具体分析。 3. 时间复杂度计算举例
实例1
// 计算Func2的时间复杂度
void Func2(int N)
{int count 0;for (int k 0; k 2 * N; k){count;}int M 10;while (M--){count;}printf(%d\n, count);
}
实例1解析 上述算法基本操作执行了2N10次通过推导大O阶方法知道时间复杂度为 O(N) 实例2
// 计算Func3的时间复杂度
void Func3(int N, int M)
{int count 0;for (int k 0; k M; k){count;}for (int k 0; k N; k){count;}printf(%d\n, count);
}实例2解析 上述算法基本操作执行了MN次有两个未知数M和N时间复杂度为 O(NM) 实例3:
// 计算Func4的时间复杂度
void Func4(int N)
{int count 0;for (int k 0; k 100; k){count;}printf(%d\n, count);
}实例3解析 上述算法基本操作执行了10次通过推导大O阶方法时间复杂度为 O(1) 实例4:
// 计算strchr的时间复杂度
const char * strchr ( const char * str, int character );实例4解析 上述算法基本操作执行最好1次最坏N次时间复杂度一般看最坏时间复杂度为 O(N) 实例5:
// 计算BubbleSort的时间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end n; end 0; --end){int exchange 0;for (size_t i 1; i end; i){if (a[i - 1] a[i]){Swap(a[i - 1], a[i]);exchange 1;}}if (exchange 0)break;}
}实例5解析 上述算法基本操作执行最好N次最坏执行了(N*(N1)/2次通过推导大O阶方法时间复杂度一般看最坏时间复杂度为 O(N^2) 实例6:
// 计算BinarySearch的时间复杂度
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin 0;int end n - 1;// [begin, end]begin和end是左闭右闭区间因此有号while (begin end){int mid begin ((end - begin) 1);if (a[mid] x)begin mid 1;else if (a[mid] x)end mid - 1;elsereturn mid;}return -1;
}实例6解析 上述算法基本操作执行最好1次最坏O(logN)次时间复杂度为 O(logN) pslogN在算法分析中表示是底数为2对数为N。有些地方会写成lgN。建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出的 实例7:
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度
long long Fac(size_t N)
{if (0 N)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}实例7解析 上述算法通过计算分析发现基本操作递归了N次时间复杂度为O(N)。 实例8:
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{if (N 3)return 1;return Fib(N - 1) Fib(N - 2);
}实例8解析 实例8通过计算分析发现基本操作递归了2^N次时间复杂度为O(2^N)。 三、空间复杂度
1. 空间复杂度的定义
空间复杂度也是一个数学表达式是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间因为这个也没太大意义所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似也使用大O渐进表示法。
注意函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。 2. 空间复杂度计算举例
实例1
// 计算BubbleSort的空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end n; end 0; --end) //end{int exchange 0; //exchangefor (size_t i 1; i end; i) //i {if (a[i - 1] a[i]){Swap(a[i - 1], a[i]);exchange 1;}}if (exchange 0)break;}
}实例1解析 上面算法里用三个变量为常数个变量 使用了常数个额外空间所以空间复杂度为 O(1) 实例2
// 计算Fibonacci的空间复杂度
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if (n 0)return NULL;long long* fibArray (long long*)malloc((n 1) * sizeof(long long));fibArray[0] 0;fibArray[1] 1;for (int i 2; i n; i){fibArray[i] fibArray[i - 1] fibArray[i - 2];}return fibArray;
}实例2解析 上面算法使用malloc动态内存函数开辟了N个空间 动态开辟了N个空间空间复杂度为 O(N) 实例3
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度
long long Fac(size_t N)
{if (N 0)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}实例3解析 上述算法使用了递归 递归调用了N次开辟了N个栈帧每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N) 四、常见复杂度对比
1. 常见的时间复杂度及其对应的算法
大O渐进表示法时间复杂度类型算法的执行时间与输入规模关系对应算法O(1)常数时间复杂度表示算法的执行时间与输入规模无关例如访问数组元素、哈希表操作等。O(log n)对数时间复杂度表示算法的执行时间与输入规模的对数相关例如二分查找、平衡二叉树操作等。O(n)线性时间复杂度表示算法的执行时间与输入规模成线性关系例如线性查找、顺序遍历数组等。O(n log n)线性对数时间复杂度表示算法的执行时间介于线性和对数之间例如归并排序、快速排序等。O(n^2)平方时间复杂度表示算法的执行时间与输入规模的平方相关例如冒泡排序、选择排序等。O(n^3)立方时间复杂度表示算法的执行时间与输入规模的立方相关例如矩阵乘法等。O(2^n)指数时间复杂度表示算法的执行时间与输入规模的指数相关例如求解子集、穷举等。 2. 常见复杂度的对比 总结
时间复杂度和空间复杂度是用来衡量算法性能的两个重要指标。
时间复杂度表示算法的运行时间随着数据规模的增长而增长的趋势通常用大O表示法来表示。时间复杂度越低算法的效率越高。时间复杂度和数据规模之间的关系如下
常数时间O(1)对数时间O(log n)线性时间O(n)线性对数时间O(n log n)平方时间O(n^2)立方时间O(n^3)指数时间O(2^n)
空间复杂度表示算法所需内存空间增长的趋势同样用大O表示法来表示。空间复杂度越低算法所需内存空间越少。空间复杂度和数据规模之间的关系如下
常数空间O(1)线性空间O(n)平方空间O(n^2)
在实际应用中我们要综合考虑时间复杂度和空间复杂度找到一个性能和资源占用的平衡点以实现最优的算法效果。时间复杂度和空间复杂度是用来衡量算法性能的两个重要指标。 如这篇博客对大家有帮助的话希望 三连 支持
