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一.树概念及结构
1.1树的概念
1.2树的表示
二.二叉树的概念及结构
2.1概念
2.2二叉树的特点
2.3现实中的二叉树
2.4数据结构中的二叉树
2.5 特殊的二叉树
2.6二叉树的存储结构
2.6.1二叉树的性质
2.6.2 顺序结构
2.6.3链式存储
三. 二叉树的链式结构的遍历 …目录
一.树概念及结构
1.1树的概念
1.2树的表示
二.二叉树的概念及结构
2.1概念
2.2二叉树的特点
2.3现实中的二叉树
2.4数据结构中的二叉树
2.5 特殊的二叉树
2.6二叉树的存储结构
2.6.1二叉树的性质
2.6.2 顺序结构
2.6.3链式存储
三. 二叉树的链式结构的遍历 一.树概念及结构
1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。 有一个特殊的结点称为根结点根节点没有前驱结点 除根节点外其余结点被分成M(M0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm其中每一个集合Ti(1 i m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以 有0个或多个后继 因此树是递归定义的 节点的度一个节点含有的子树的个数称为该节点的度 如上图A的为6 叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点 如上图B、C、H、I...等节点为叶节点 非终端节点或分支节点度不为0的节点 如上图D、E、F、G...等节点为分支节点 双亲节点或父节点若一个节点含有子节点则这个节点称为其子节点的父节点 如上图 A是B的父节点 孩子节点或子节点一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点 如上图B是A的孩子节点 兄弟节点具有相同父节点的节点互称为兄弟节点 如上图B、C是兄弟节点 树的度一棵树中最大的节点的度称为树的度 如上图树的度为6 节点的层次从根开始定义起根为第1层根的子节点为第2层以此类推 树的高度或深度树中节点的最大层次 如上图树的高度为4 堂兄弟节点双亲在同一层的节点互为堂兄弟如上图H、I互为兄弟节点 节点的祖先从根到该节点所经分支上的所有节点如上图A是所有节点的祖先 子孙以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图所有节点都是A的子孙 森林由mm0棵互不相交的树的集合称为森林 1.2树的表示 树结构相对线性表就比较复杂了要存储表示起来就比较麻烦了实际中树有很多种表示方式如双亲表示法孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; //节点中的数据域
}; 二.二叉树的概念及结构
2.1概念 一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合或者为空或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 2.2二叉树的特点 1. 每个结点最多有两棵子树即二叉树不存在度大于2的结点。 2. 二叉树的子树有左右之分其子树的次序不能颠倒。 2.3现实中的二叉树 2.4数据结构中的二叉树 2.5 特殊的二叉树 1. 满二叉树一个二叉树如果每一个层的结点数都达到最大值则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二叉树的层数为K且结点总数是(2^k) -1 则它就是满二叉树。 2. 完全二叉树完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树 2.6二叉树的存储结构 二叉树一般可以使用两种结构存储一种顺序结构数组顺序表一种链式结构链表 2.6.1二叉树的性质 1. 若规定根节点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点. 2. 若规定根节点的层数为1则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1. 3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0n21 4. 若规定根节点的层数为1具有n个结点的满二叉树的深度hLog2(n1). (psLog2(n1)是log以2为底n1为对数) 5. 对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号则对于序号为i的结点有 1. 若i0i位置节点的双亲序号(i-1)/2i0i为根节点编号无双亲节点 2. 若2i1n左孩子序号2i12i1n否则无左孩子 3. 若2i2n右孩子序号2i22i2n否则无右孩子 2.6.2 顺序结构 顺序结构存储就是使用数组来存储一般使用数组只适合表示完全二叉树因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组在逻辑上是一颗二叉树。 2.6.3链式存储 二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成数据域和左右指针域左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链当前我们学习中一般都是二叉链后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链 三. 二叉树的链式结构的遍历 所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问 题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一是二叉树上进行其它运算之基础 前序/中序/后序的递归结构遍历是根据访问结点操作发生位置命名 1. NLR前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。 2. LNR中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中间。 3. LRN后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。 由于被访问的结点必是某子树的根所以N(Node、L(Left subtree和R(Right subtree又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。 层序遍历除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发首先访问第一层的树根节点然后从左到右访问第2层上的节点接着是第三层的节点以此类推自上而下自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
