哈尔滨中小企业网站制作,店铺运营方案策划,凡科做的网站如何绑定域名,哪个wordpress编辑器本章记录 1二元随机变量的定义 2二元离散型随机变量的定义、联合概率分布律、边际分布律、条件分布律 3二元离散型随机变量联合概率分布律函数、边际分布函数、条件分布函数 4二元连续型随机变量的定义、联合概率密度函数、边际密度函数、条件密度函数 二元随机变…本章记录 1二元随机变量的定义 2二元离散型随机变量的定义、联合概率分布律、边际分布律、条件分布律 3二元离散型随机变量联合概率分布律函数、边际分布函数、条件分布函数 4二元连续型随机变量的定义、联合概率密度函数、边际密度函数、条件密度函数 二元随机变量 举例研究入学儿童的发育情况。从一个样本儿童的身高、体重两个维度研究。这用面向对象的编程角度理解类似于一个实体有两个属性。 再个栗子研究炮弹着点位置。每个样本位置由横坐标、纵坐标确定。 这两个例子中每个样本的两个维度不是固定不变的而是随机变化的。入学儿童的年龄在样本空间中就几乎不变在我们国家入学年龄7岁入学年龄就不是随机变量。 定义设E是一个随机试验样本空间S{e}设XX{e}YY(e)是定义在S上的随机变量由它们构成的向量(X,Y)称为二元随机变量也称二维随机变量。
二元离散型随机变量 定义若二元随机变量X,Y全部可能取到不同的值是有限对或者可列无数对则称(X,Y)是二元离散型随机变量。 二元离散型随机变量的概率分布律 定义若(X,Y)所有可能取值为(xi,yj)(x_i,y_j)称P(Xxi,Yyj)pij,i,j1,2,3...P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},i,j=1,2,3...为二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。也可简称(X,Y)的分布律。 性质 1 pij≥0p_{ij} \geq 0。 2 ∑∞i1∑∞j1pij1\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij}=1 3 P((X,Y)∈D)∑xi,yj∈DpijP((X,Y) \in D)=\sum_{x_i,y_j \in D} p_{ij}其中pijP(Xxi,Yyj)i,j1,2,3...p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)，i,j=1,2,3... 举例
二元离散型随机变量的边际分布律 定义离散型随机变量(X,Y)的边际分布律为P(Xxi)∑∞j1p(xi,yj)P(X=x_i)=\sum_{j=1}^{\infty}p(x_i,y_j)记为pi.p_{i.}P(Yyj)∑∞i1p(xi,yj)P(Y=y_j)=\sum_{i=1}^{\infty}p(x_i,y_j)记为p.jp_{.j}。
二元离散型随机变量的条件分布律 定义(X,Y)是二元离散型随机变量对于固定的yjy_j如果P(Yyj)0P(Y=y_j)>0(Y的边际分布律0)则称P(Xxi|Yyj)P(Xxi,Yyj)P(Yyj)pijp.jP(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{.j}}ii,2,3...i=i,2,3...为在YyjY=y_j条件下随机变量X的条件分布律。 同样的对于固定的xix_i如果P(Xxi)0P(X=x_i)>0则称P(Yyj|Xxi)P(Xxi,Yyj)P(Xxi)pijpi.P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}=\frac{p_{ij}}{p_{i.}}ji,2,3...j=i,2,3...为在XxiX=x_i条件下随机变量Y的条件分布律。 例子 二元随机变量的联合分布函数 定义若(X,Y)是二元随机变量对于任意的实数x,y二元函数F(x,y)P(X≤x,Y≤y)F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)称为二元随机变量(X,Y)的联合分布函数。 二元离散型随机变量的联合分布函数:F(x,y)P(X≤x,Y≤y)∑xi≤x,yj≤yP(Xxi,Yyj)F(x,y)=P(X \leq x,Y\leq y)=\sum_{x_i \leq x,y_j \leq y}P(X=x_i,Y=y_j)。 性质 1 F(x,y)关于x,y单调不递减。 2 0≤F(x,y)≤10 \leq F(x,y) \leq 1F(−∞,∞)1F(-\infty,+\infty)=1 3 F(x,y)关于x,y右连续即 limε→0F(xε,y)F(x,y)\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}F\left( x+\varepsilon ,y\right)=F(x,y)limε→0F(x,yε)F(x,y)\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}F\left( x ,y+\varepsilon \right)=F(x,y) 4 如果x1xx2y1yy2x_1则有 P(x1X≤x2,y1Y≤y2)F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)F(x1,y1)P(x_1
二元随机变量的边际分布函数 定义二元随机变量(X,Y)关于X的边际分布函数记为FX(x)F_X(x)关于Y的边际分布函数记为FY(y)F_Y(y)。 FX(x)P(X≤x)P(X≤x,Y∞)F(x,∞)limy→∞F(x,y)F_X(x)=P(X\leq x)=P(X\leq x,Y FY(y)P(Y≤y)P(X∞,Y≤y,)F(∞,y)limx→∞F(x,y)F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X
二元随机变量的条件分布函数 定义如果P(Yy)0P(Y=y)>0则在Yy条件下X的条件分布函数为FX|Y(x|y)P(X≤x|Yy)P(X≤x,Yy)P(Yy)F_{X|Y}(x|y)=P(X\leq x|Y= y)=\frac{P(X\leq x,Y=y)}{P(Y=y)}如果(X,Y)是离散型随机变量则P(Yy)0P(Y=y)>0。 如果(X,Y)是连续型随机变量P(Yy)0但是ε0,P(yYyε)0\varepsilon >0,P(y0则在Yy 条件下X的条件分布函数定义为FX|Y(x|y)limε→0P(X≤x|yYyε)F_{X|Y}(x|y)=lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+}P(X\leq x|y
二元连续型随机变量 定义对于二元随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)如果存在非负函数f(x,y)使得对于任意x,y 有F(x,y)∫x−∞∫y−∞f(u,v)dudvF(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v)dudv称(X,Y)为二元连续型随机变量称f(x,y)为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。 二元连续型随机变量联合概率密度函数 性质 1 f(x,y)0 2 ∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)dxdy1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dxdy=1在几何上zf(x,y)表示空间的一个顶曲面介于它和x0y平面的空间体积为1。 3 概率和。设D是xoy平面上的区域点(X,Y)落在D内的概率为P((X,Y)∈D)∫∫Df(x,y)dxdyP((X,Y) \in D)=\int \int_D f(x,y)dxdy。P((X,Y)∈D)P((X,Y) \in D)等于以D为底曲面f(x,y)为顶面的柱体体积。 4 在f(x,y)的连续点(x,y)有F(x,y)的二阶导f(x,y) 二元连续型随机变量的概率密度函数与分布函数之间就是积分与求导的关系了。
二元连续型随机变量边际概率密度函数 定义对于连续型随机变量(X,Y)概率密度函数为f(x,y)X,Y的边际概率密度函数为 fX(x)∫∞−∞f(x,y)dyf_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy fY(y)∫∞−∞f(x,y)dxf_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx 要注意 对x积分的时候y是不变的x的边界是要找到 x自己的边界以及与y的关系边界的交集。对y积分的时候也一样。 二元连续型随机变量条件概率密度函数 定义设二元随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)(X,Y)关于Y的边际概率密度函数fY(y)f_Y(y)若对于固定的yfY(y)0f_Y(y)>0且fY(y)f_Y(y)是连续的则在Yy的条件下X的条件概率密度为fX|Y(x|y)f(x,y)fY(y)f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}。 同理若对于固定的Xx且fX(x)f_X(x)连续的在Xx的条件下Y的条件概率密度为fY|X(y|x)f(x,y)fX(x)f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}。 二元均匀分布 定义如果二元随机变量(X,Y)的概率密度函数在平面上的一个有界区域D内是常数而在其他地方取值为0则称(X,Y)在D上服从均匀分布。 f(x,y)⎧⎩⎨1A,(x,y)∈D0,otherf\left( x,y\right) =\begin{cases} \dfrac {1} {A},\left( x,y\right) \in D\\ 0,other\end{cases} AD也就是说在D上f(x,y)1/面积。 二元均匀分布的条件分布仍然是均匀分布。 二元正态分布 二元正态分布的两个边际分布函数都是一元正态分布并且与ρ\rho没有关系。在Xx的条件下Y的条件分布也是正态分布。
