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1. 偏微分基础
引例: 物体从一维坐标的原点开始移动, 在 t t t 时刻, 它在坐标轴的位置由函数 s ( t ) s(t) s(t) 确定, 则速度为位置变化量与时间的比值: v ( t ) d s ( t ) d t lim Δ t → 0 s ( t Δ t ) − s ( t )…摘要: 本贴从零开始学习正演的数值模拟方法.
1. 偏微分基础
引例: 物体从一维坐标的原点开始移动, 在 t t t 时刻, 它在坐标轴的位置由函数 s ( t ) s(t) s(t) 确定, 则速度为位置变化量与时间的比值: v ( t ) d s ( t ) d t lim Δ t → 0 s ( t Δ t ) − s ( t ) Δ t (1) v(t) \frac{\mathrm{d} s(t)}{\mathrm{d} t} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t \Delta t) - s(t)}{\Delta t} \tag{1} v(t)dtds(t)Δt→0limΔts(tΔt)−s(t)(1) 加速度为速度变化量与时间的比值: a ( t ) d v ( t ) d t lim Δ t → 0 v ( t ) − v ( t − Δ t ) Δ t lim Δ t → 0 s ( t Δ t ) − 2 s ( t ) s ( t − Δ t ) Δ t 2 (2) a(t) \frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t) - v(t - \Delta t)}{\Delta t} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t \Delta t) - 2 s(t) s(t - \Delta t)}{\Delta t^2} \tag{2} a(t)dtdv(t)Δt→0limΔtv(t)−v(t−Δt)Δt→0limΔt2s(tΔt)−2s(t)s(t−Δt)(2)
推广 1: 给定一个单变量函数 y f ( x ) (3) y f(x) \tag{3} yf(x)(3) 其一阶导数记为 y ′ d f ( x ) d x (4) y \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \tag{4} y′dxdf(x)(4) 二阶导数记为 y ′ ′ d 2 f ( x ) d x 2 (5) y \frac{\mathrm{d}^2 f(x)}{\mathrm{d} x^2} \tag{5} y′′dx2d2f(x)(5)
推广 2: 给定一个二变量函数 z f ( x , y ) (6) z f(x, y) \tag{6} zf(x,y)(6) 其针对 x x x 偏导的为 ∂ z ∂ x lim Δ x → 0 f ( x Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x (7) \frac{\partial z}{\partial x} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} \tag{7} ∂x∂zΔx→0limΔxf(xΔx,y)−f(x,y)(7) 即 x x x 发生了变化, 而 y y y 并没变化. 二阶偏导为 ∂ 2 z ∂ x 2 lim Δ x → 0 f ( x Δ x , y ) − 2 f ( x , y ) f ( x − Δ x , y ) Δ x 2 (8) \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x \Delta x, y) - 2 f(x, y) f(x - \Delta x, y)}{\Delta x^2} \tag{8} ∂x2∂2zΔx→0limΔx2f(xΔx,y)−2f(x,y)f(x−Δx,y)(8)
另外有: ∂ 2 z ∂ x ∂ y lim Δ x → 0 , Δ y → 0 f ( x Δ x , y Δ y ) − f ( x , y Δ y ) − f ( x Δ x , y ) f ( x , y ) Δ x Δ y (9) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \frac{f(x \Delta x, y \Delta y) - f(x, y \Delta y) - f(x \Delta x, y) f(x, y)}{\Delta x \Delta y} \tag{9} ∂x∂y∂2zΔx→0,Δy→0limΔxΔyf(xΔx,yΔy)−f(x,yΔy)−f(xΔx,y)f(x,y)(9) ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ 2 z ∂ x ∂ y (10) \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \tag{10} ∂y∂x∂2z∂x∂y∂2z(10) 在进行数值模拟的时候, 不可能取 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0, 因此 (8) 式简化为 ∂ 2 z ∂ x 2 ≈ f ( x Δ x , y ) − 2 f ( x , y ) f ( x − Δ x , y ) Δ x 2 (11) \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \approx \frac{f(x \Delta x, y) - 2 f(x, y) f(x - \Delta x, y)}{\Delta x^2} \tag{11} ∂x2∂2z≈Δx2f(xΔx,y)−2f(x,y)f(x−Δx,y)(11) 其中 Δ x \Delta x Δx 越小越准确, 但涉及的计算量越大, 我们只能取一个折中.
注 1: 为统一起见, 即使一元函数, 以后也常使用 ∂ \partial ∂ 而不是 d \mathrm{d} d.
2. 波动方程
2.1 弦振动 (横波) 方程
参见全波形反演的深度学习方法: 第 2 章 正演, 根据牛顿第二定律 F m a (12) F ma \tag{12} Fma(12) 弦振动方程为 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 c 2 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 f ( x , t ) (13) \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2} c^2 \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} f(x, t) \tag{13} ∂t2∂2u(x,t)c2∂x2∂2u(x,t)f(x,t)(13) 其中 c 2 T / ρ c^2 T / \rho c2T/ρ, f ( x , t ) F ( x , t ) / ρ f(x, t) F(x, t) / \rho f(x,t)F(x,t)/ρ, 左式的物理意义是瞬时加速度 a a a, 右式第一项的物理意义是 单位质量所受的力 F F F, c c c 的物理意义是速度.
进一步忽略重力 F ( x , t ) F(x, t) F(x,t) 的作用, 可以推出一维齐次波动方程的解: ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 1 c 2 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 (14) \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2} \tag{14} ∂x2∂2u(x,t)c21∂t2∂2u(x,t)(14)
2.2 声波 (纵波) 方程
声波仅有纵波. 考虑二维的情况, 它满足 1 v 2 ∂ 2 U ∂ t 2 ∂ 2 U ∂ x 2 ∂ 2 U ∂ z 2 (15) \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} \tag{15} v21∂t2∂2U∂x2∂2U∂z2∂2U(15) 其中 U U U 指压力. 图 1 矩阵网格剖分 为了便于数值模拟, 将平面进行离散化, 仅考虑某些网格交叉点, 质量、压力等仅存在于这些点 (称为质点, 不知是否专业). 这样, 我们只考察第 i i i 行第 j j j 列的质点在时间 k k k 的压力 U i , j k (16) U_{i, j}^k \tag{16} Ui,jk(16) 将 (11) 式按照变量名改造后代入 (15) 式可得 1 v 2 U i , j k 1 − 2 U i , j k U i , j k − 1 Δ t 2 U i 1 , j k − 2 U i , j k U i − 1 , j k Δ x 2 U i , j 1 k − 2 U i , j k U i , j − 1 k Δ y 2 (17) \frac{1}{v^2} \frac{U_{i, j}^{k 1} - 2 U_{i, j}^{k} U_{i, j}^{k - 1}}{\Delta t^2} \frac{U_{i 1, j}^k - 2 U_{i, j}^{k} U_{i - 1, j}^k}{\Delta x^2} \frac{U_{i, j 1}^k - 2 U_{i, j}^{k} U_{i, j - 1}^k}{\Delta y^2} \tag{17} v21Δt2Ui,jk1−2Ui,jkUi,jk−1Δx2Ui1,jk−2Ui,jkUi−1,jkΔy2Ui,j1k−2Ui,jkUi,j−1k(17) 其中 k 1 k 1 k1 表示下一个时间点, i 1 i 1 i1 表示下一个质点.
