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课题的布置与指导1、第一天面向全体学生布置研究任务平行四边形的面积怎样计算(要求学生不能看课本不能上网查资料也不能问家长只能自己研究。)2、第二天收集学生的研究成果发现学生的研究成果有以下几种(1)平行四边形的面积等于两条邻边相乘这种意见占了一大半(2)平行四边形的面积等于底乘高全班只有5位同学得到这个结果。没有同学去用数方格的方法去求平行四边形的面积大概嫌太麻烦吧。对于提出平行四边形的面积邻边×邻边的同学我建议他们不能只猜测必须证明让所有的人信服。3、第三天多数同学证明平行四边形的面积不等于邻边×邻边应等于底乘高有一位同学提出平行四边形的面积等于高乘高有一位同学还坚持平行四边形的面积等于邻边×邻边。我只好引导他用数方格的方法证明看看。当他数完后果然发现不能用邻边×邻边计算平行四边形面积。我把这位同学留在办公室里观察他的研究思路他冥思苦想了两个小时却没有一点眉目我只好让他在方格纸上画了很多底相等高不同的平行四边形让他反复观察、数出面积找到面积与什么有关又经过3个多小时的努力终于很疑惑的问我“平行四边形的面积是不是与它的高和底有关”我说“对你的猜测很准确你再画两个高和底都相等的长方形和平行四边形会发现什么”只用了半个小时他就很惊喜的告诉我高和底都相等长方形和平行四边形面积相等所以平行四边形面积底×高。4、第四天大多数同学都能证明平行四边形面积底×高他们证明的方法不同好多方法是在我们正常的40分钟课堂从来没有出现过的任何参考资料上都没有的。三、课堂精彩片段师孩子们伟大的科学家牛顿说过“没有大胆的猜想就没有伟大的发现”。这次我们研究平行四边形的面积正是从大胆的猜想启航的。下面我们请二组的同学展示他们的研究成果。曹原大家还记得吗长方形的面积等于什么正方形的面积等于什么长方形和正方形的面积都是邻边×邻边。我就想平行四边形的面积是否也等于邻边×邻边我把两根长小棒和两根短小棒拼在一起成了一个长方形再把它稍微拉动了一下成了一个平行四边形。它的面积跟原来差不多。“可是”我又继续朝着同一个方向拉伸“可是如果它已经不是原来的样子而是这个样子了面积都快成一条缝了怎么会和先前长方形的面积一样呢”于是用邻边×邻边的方法去求平行四边形的面积是错误的。师三组的同学对这个问题也做了深入的研究看他们研究的方法是否一样。周冠妤平行四边形的面积是否等于邻边×邻边我做了一个平行四边形的框架这样它们的边不变就可以拉出不同形状的平行四边形。我把长方形描在方格本上又拉了几个不同的平行四边形也描在方格本上数了数图形1的面积是70个方格图形2的面积是50个方格图形3的面积是38个方格图形4的面积是26个方格平行四边形的面积越来越小。如图我的结论得出来了事实证明计算平行四边形的面积是不能用邻边×邻边这种方法的。我的汇报完毕谢谢大家。师孩子们看来面对同一个问题每人开启智慧的方式是不一样的一组同学用事实、画图说话而另一组同学用数据说话这都是我们证明科学问题常用的方法值得借鉴。师有同学猜想平行四边形的面积高×高是否这样呢请一组的同学给我们展示。吕芃霖我开始认为平行四边形的面积应该是高×高因为长方形的两条高就是长和宽。于是我就画了一个以两条高为边的长方形数了数可是只有7.5个格而我数了数原来平行四边形有15个格看来平行四边形的面积不等于高×高。师看来还是不对研究科学就是这样需要我们不断地猜想、验证、否定不断产生新的想法不断前进于是我们离真理越来越近。有同学猜想平行四边形的面积底×高先请二组同学展示他们是如何研究这个问题的。张瑞林我们用的是“变形法”。昨上我坐在竹席上思考平行四边形面积到底怎么计算我忽然眼前一亮竹席是由长短、粗细一样竹条编成的如果把竹条编成平行四边形它的面积会发生变化吗我马上找来小棒代替竹条做实验。我先用32根小棒拼成了长方形又用32根小棒编成了平行四边形大家说拼成平行四边形和长方形的面积有没有发生变化生没有发生变化。张瑞林大家再仔细观察还有什么没有发生变化生小棒长短没有变化张瑞林小棒长短没有变化说明底相同对吗生小棒的数量没有发生变化。张瑞林小棒叠加起来的高度是平行四边形的高。因为长方形的面积长×宽所以平行四边形的面积底×高。如果排成别的样子也会这样吗我又排了很多形状如箭头形、弧形、波浪形我把它们排在一起大家看他们的面积是不是还是没有发生变化还有设么没有发生变化生小棒的长短和数量都没发生变化。张瑞林也就是组成的图形的底和高没有发生变化由此我们可以推断底高相等上下粗细一样的图形都可以用底乘高来计算面积。不管侧边有多长都与面积没有关系。如下图张瑞林还有不明白的地方吗生可是长方形没有底和高啊。张瑞林长方形的长就是它的底长方形的宽就是它的高只不过是换了个说法而已。明白了吗生我明白了。师很好举一反三不但得到一种图形的面积还得到一类图形的面积同时这些同学的研究给了我们很好的启示面是由线构成的线是有点构成的而面叠加起来又可以构成我们周围的立体世界如这本书由许多长方形构成的。以小积大怪不得古人云不积跬步无以至千里不积小流无以成江海。希望同学们在生活和学习中积跬步积小流成大器。师一组也研究出了平行四边形的面积底×高请他们展示研究成果。李艺莹我先画出平行四边形因为我们学过平行四边形有两组对边平行既然平行那我就想它两个角能否组成和那个平行四边形长度一样的长方形呢我测试了一下发现可以那这样计算平行四边形的面积就容易多了下面就是我的研究方法。图一先画出平行四边形再画一条顶点上的高沿高剪下一个三角形。图二把剪下的三角形再拼在另一个三角形旁边一个长方形就转化成了。韩振大家看平行四边形变成长方形面积有没有变化生面积不变。韩振拼成的长方形的长等于平行四边形的什么长方形的宽等于平行四边形的什么生长方形的长等于平行四边形的底长方形的宽等于长方形的高。韩振因为长方形的面积长×宽那么平行四边形的面积底×高。马俊大家对我们的介绍有什么疑问吗张瑞林非沿顶点剪下来吗成员一也可以沿别的地方剪下来。师你能演示给大家看吗这位同学走到台前给大家演示。师可是你还是沿顶点剪的呀人家的问题是非沿顶点剪下来吗听了老师的疑问学生犹豫了一下说我认为不可以因为从别的地方剪不可以和梯形拼成长方形。 张瑞林可是我认为可以我来给大家演示。说着便走到了台前。看到别组的成员要演示组员三马上说我认为可以沿其它的地方剪下来拼成长方形。边说着边演示给大家看张瑞林我就说嘛你为什么非说要沿顶点剪呢。师看来不仅可以沿顶点剪只要怎样剪就可拼成长方形生只要沿平行线间的垂直往下剪就可以。师也就是沿什么剪曹原也就是沿着平行四边形的任意一条高剪就可以。师她概括得怎么样生非常好。吕芃霖那如果平行四边形很细怎么办比如说只有1厘米宽。张瑞林很细也可以呀比如说1毫米。吕芃霖很疑惑的举起了手。师你还有什么问题吗吕芃霖我还想证实我的想法。可是我认为这个图形就不能沿这条高剪他拿着一个又矮又长的平行四边形走到台前形想驳倒大家。如图张瑞林请问你画的是高吗吕芃霖我认为是高。师同学们说呢?众生他画的不是高根本就不垂直。可是吕芃霖不相信自己画的不是高只好借用三角尺现场量给他看张瑞林接着在附近画了一条高剪下来拼成了长方形吕芃霖回到了座位犹豫着接受了大家的意见。我看出了他还是有点疑惑的课堂又没有太多的时间只好说“如有疑问我们课下再研究。”师还有哪些同学来展示你们与众不同的方法宋雨虹我们发现平行四边形可以分成两个相同的三角形如图三角形的面积公式底×高÷2平行四边形的面积两个三角形的面积所以平行四边形的面积公式底×高÷2×2底×高我们没有学过三角形的面积是怎么得到的呢下面由陈平同学给大家解答。陈平我发现长方形、正方形都可以分成两个相同的直角三角形。三角形的高长方形的宽三角形的底长方形的长长方形的面积长×宽三角形的面积长×宽÷2雨虹大家还有什么疑问吗生你们研究的是直角三角形那如果不是直角三角形怎么办宋雨虹我们小组的同学也提出过类似的问题。我们发现无论锐角三角形和钝角三角形只要画出他们的高都可以分成两个直角三角形再把那两个直角三角形的上方画出两个三角形就拼成了长方形。如图原来三角形的面积等于长方形面积的一半这个长方形的面积等于底×高因此三角形的面积底×高÷2。师平行四边形转换成三角形三角形转换成直角三角形直角三角形转换成长方形就是在这不断地地转换中让我们找到了各种图形之间的联系而且我们还有了意外的收获三角形的面积底×高÷2。吕芃霖我还有一种方法证明三角形的面积底×高÷2。可以找到三角形两条斜边的中点做垂线段沿垂线段剪下拼到上方变成长方形如图。长方形的底是三角形底的一半宽是三角形的高长方形面积长×宽所以三角形面积底÷2×高生我觉得你这种方法真是稀有的你是怎么想出这种独特的方法的吕芃霖贺童是用两个三角形研究的我就想能不能用三角形自身来研究呢就想出了这种方法。生你的这种研究精神值得我们学习。生既然出现了两个求三角形的面积肯定有一个是正确的吧生我认为宋雨虹的方法对因为她研究了多个三角形而第二种只研究一个三角形。生我认为吕芃霖的方法对他的方法适用于任意的三角形第一种要找两个相同的三角形。生我用底是10cm,高是6cm的三角形验证结果是一样的可以将这两个公式概括为一个三角形的面积底×高÷2。师学了运算定律大家就知道为什么都对了有兴趣的同学可以课下继续研究。师孩子们炎炎烈日却挡不住我们小课题研究的脚步通过这几日的研究和今天的交流你有哪些收获生我们要用自己的方法和见解解决生活中的问题还从别人的研究中学会许多好的方法。解决问题的方法是多种多样的。生只要努力没有解决不了的问题让我们一起努力吧。四、课后研究及成果展示交流(一)课题是不是沿平行四边形的任意一条高剪都能拼成长方形记起课堂上吕芃霖对沿平行四边形的任意一条高剪都能拼成长方形问题的争辩及其他最后的犹豫我想画错了高不应是他的本意他是班上数学最好的同学可能是我忽视了他的想法。课后马上找到他果然他说自己的本意是假如是一个很长很细的平行四边形高画在了外面怎么办?那就继续研究吧。当天结论就出来了如果高画在了图形的外面剪下来的部分是不能直接拼成平行四边形的所以课堂上我们说的“沿任意一条高剪下的图形都能和梯形拼成平行四边形”这句话是不严密的。如图(二)课题如果平行四边形面积相等底相等周长会有什么变化研究人徐悦钧为了研究这个问题我画了如下几个图形它们的面积相等底相等但图形1的周长是15厘米图形2的周长是15.4厘米图形3的周长积是16厘米图形4的周长是17.4厘米我反复研究得出的结论是平行四边形面积相等底相等斜边越斜周长越长斜边越直周长越短。也就是相邻的两个夹角相差越小周长越短相邻的两个夹角相差越大周长越长。五、教学反思1.每位学生都经历了探究的过程以小课题研究的方式进行学习每位同学都经历了观察、猜想、思考、计算、实验、推理、联想、概括、争辩、获得共识的过程。在研究阶段有的学生用的时间长几天都找不到一点眉目有的学生有的时间少几十分钟就能有初步的想法真实反映了学生之间的差距。面对多数同学认为平行四边形的面积等于邻边乘邻边的惯性思维教师给了学生充足的探究空间让他们自己暴露思维痕迹自己纠正。这个过程是常规课堂40分钟所不能给学生的。通过这样的探究过程学生找到了平行四边形面积计算公式的来龙去脉并获得了选择方法来验证猜想、解决问题的基本经验。通过这样的方式学生经历了研究过程能逐步养成独立思考、善于质疑和自主探究的习惯达到学习的理想境界。2.每位学生展示了不一样的精彩在常规教学中由于每节课只有40分钟我们很难看到每一位学生对问题的独特见解基本上是几位学习尖子生展现自己的想法大多数同学当观众与听众跟着尖子生走。整堂课下来虽学会了相关内容却往往不是自己思考、探究的成果。这些数学优秀的同学展现的也并不完全是自己的思维因为他们善于预习会发现教材给我们提供的各种思路。而这些思路很多时候是教材编者的思路并不一定是孩子的思维方法。我们给了每个孩子真正的思考时间便发现了每个人与众不同的思维和方法。3.每位学生在辩析中有所发展在课前每位学生都做了深入的研究而且他们的研究方法各不相同所以当他们在课堂上展现出来出现了一幕幕精彩的质疑争辩场景。面对别人的研究成果孩子们不断质疑争辩讨论直至所有的结论得到所有同学的认可。在这样的学习过程中孩子们逐步养成全面考虑问题和善于从别人身上取长补短意识达到共识、共享、共进的境界。4.每位学生都提高了学习效率经过几天的时间学生才推导出公式有的学生甚至走了很多弯路这样的学习效率不是很低吗教师必须掌握学生研究进程对他们的研究情况有所了解并提供有针对性的帮助这样教不是很费力吗然而通过几天的研究学生的能力却得到切实的开发更重要的是增强了学生的学习兴趣他们乐此不疲各显神通累并快乐着。而且学生不仅推导出平行四边形的面积计算公式对公式有了更深刻的理解也推导出了三角形的面积计算公式自然而然地探究了后面要学习的内容建立起这些知识之间的纵横联系随着对平行四边形面积计算公式的研究三角形面积计算公式也一并解决了可谓是提高了学习效率。更关键的是学生获得了“能够带走”的方法和经验这无疑会提高学生学习其他内容时的效率。对教师而言学生自己能探究得到的教师也就不用事必躬亲劳神费力了这不也是一种解放吗而且是体现了教学艺术的解放(作者系日照市慧通小学) 本文已在《小学数学教师》发表。
