360安全网站怎么做号码认证,无锡有名的设计公司,做试卷挣钱的网站,吉林省建设信息网电话四元数(Quaternion)是用于三维旋转和定向的四部分组成的超复数#xff0c;超复数简单理解就是比abi这样的复数更复杂的复数#xff0c;其中abi这样的复数我们也可以叫做二元数#xff0c;表示复平面的一点#xff0c;对于熟悉欧拉公式的朋友就知道#xff0c;也可以看成是… 四元数(Quaternion)是用于三维旋转和定向的四部分组成的超复数超复数简单理解就是比abi这样的复数更复杂的复数其中abi这样的复数我们也可以叫做二元数表示复平面的一点对于熟悉欧拉公式的朋友就知道也可以看成是平面上的旋转。 由于二元数是在二维平面的旋转于是哈密顿就在想是否可以找到一个表示三维空间旋转的复数呢于是这个四元数就诞生了。 四元数的表示形式为a bicjdk或者wxiyjzk其中a、b、c、d是实数i、j、k是三个虚数单位满足 i² j² k² ijk −1每个四元数都是a和i, j, k的线性组合。 因为四元数非常适合表示三维空间的旋转跟旋转矩阵相比四元数是没有奇异点的也就是说两个不同的旋转是不可能存在同样的四元数这样就避免了机器人中的“万向节死锁”的问题万向节死锁的本质就是少了一个自由度比如两个轴重合了这样就无论怎么旋转都达不到预期了而四元数不会出现这样的情况所以特别好使。
1、概述
我们来看下i、j、k的旋转对应着XYZ的哪根轴旋转。 RPY分别表示翻滚角(Roll)、俯仰角(Pitch)、偏航角(Yaw)这几个很好理解比如开飞机的时候战斗机在空中旋转如果是绕X轴旋转就叫做翻滚如果是绕Y轴旋转比如起飞降落这样的情况就叫做俯仰偏航角就是绕Z轴旋转这个很简单就是左右打方向盘。 i旋转代表Z轴与Y轴相交平面中Z轴正向向Y轴正向的旋转。两条轴就是两条直线就确定一个面所以就是Z轴向Y轴旋转那本质就是绕X轴旋转对应着Roll翻滚角。j旋转代表X轴与Z轴相交平面中X轴正向向Z轴正向的旋转就是绕Y轴旋转对应着Pitch俯仰角。k旋转代表Y轴与X轴相交平面中Y轴正向向X轴正向的旋转就是绕Z轴旋转对应着Yaw偏航角。 简单来说ijk对应着rpy 2、四元数性质
我们先来熟悉四元数具备哪些性质
i² j² k² ijk −1
ij k
ji -kjk i,kj -i
ki j,ik -j
这个很好理解跟刚学习时的虚数i的计算是一样的但是请注意四元数是没有乘法交换律的所以上面的ij≠ji这个跟矩阵类似A*B和B*A是不一样的。 四元数的L2范数a²b²c²d²四个平方和的平方根也就是它的模。
加减乘除 我们来计算两个四元数的加减乘除
% 定义四元数
xquaternion(3,1,0,0);
% 3 1i 0j 0k
yquaternion(0,5,1,-2);
% 0 5i 1j - 2k% x取模L2范数
x.norm() 或者 norm(x)
% 3.1623
% x的共轭四元数
x.conj()
% 3 - 1i 0j 0k
y.conj()
% 0 - 5i - 1j 2k
共轭复数就是实部不变虚部是相反数。
%加法
xy
% 3 6i 1j - 2k
%减法
x-y
% 3 - 4i - 1j 2k%计算x*y
x*y
% -5 15i 5j - 5k
% 乘法不遵循交换律
y*x
% -5 15i 1j - 7k%除法分为左除和右除
%左除
x.\y
% 0.5 1.5i 0.1j - 0.7k
%右除
x./y
% 0.16667 - 0.5i - 0.16667j 0.16667k
3、四元数构造
我们先来熟悉如何自己来构造四元数
a1;b2;c3,d4;
quat quaternion(a,b,c,d);
% 1 2i 3j 4k
%虽然这里我是用的是整数但四元数的类型是double型
classUnderlying(quat)
% double
也可以使用四元数组来构造
A [1.1;1.2];
B [2.1;2.2];
C [3.1;3.2];
D [4.1;4.2];
quaternion(A,B,C,D)
%得到2x1的四元数组
1.1 2.1i 3.1j 4.1k
1.2 2.2i 3.2j 4.2kA [1.1,1.3;1.2,1.4];
B [2.1,2.3; 2.2,2.4];
C [3.1,3.3; 3.2,3.4];
D [4.1,4.3; 4.2,4.4];
quatMatrixquaternion(A,B,C,D)
%得到2x2的四元数矩阵
1.1 2.1i 3.1j 4.1k 1.3 2.3i 3.3j 4.3k
1.2 2.2i 3.2j 4.2k 1.4 2.4i 3.4j 4.4k
%转成Nx4的系数矩阵
compact(quatMatrix)
1.1000 2.1000 3.1000 4.1000
1.2000 2.2000 3.2000 4.2000
1.3000 2.3000 3.3000 4.3000
1.4000 2.4000 3.4000 4.4000
还可以构造Nx1的随机四元数矩阵
quaternion(randn(5,4))
%结果类似
1.4384 - 0.10224i - 0.030051j - 0.86365k
0.32519 - 0.24145i - 0.16488j 0.077359k
-0.75493 0.31921i 0.62771j - 1.2141k
1.3703 0.31286i 1.0933j - 1.1135k
-1.7115 - 0.86488i 1.1093j - 0.0068493k4、旋转向量与四元数
旋转向量包括旋转角度或者弧度它们之间的相互转换如下
% 绕X轴旋转60°
d1 [60,0,0];
quat quaternion(d1,rotvecd)
%0.86603 0.5i 0j 0k
% 绕Y轴旋转60°
d2 [0,60,0];
quat quaternion(d2,rotvecd)
%0.86603 0i 0.5j 0k
% 绕Z轴旋转60°
d3 [0,0,60];
quat quaternion(d3,rotvecd)
%0.86603 0i 0j 0.5k
d4 [60,60,60];
quat quaternion(d4,rotvecd)
%0.61619 0.45472i 0.45472j 0.45472k
到d4的时候这个结果是怎么来的就有了疑问我们来看下计算过程。 三维旋转向量为v[vx,vy,vz]θ||v||于是就得到公式如下四元数(cos(θ/2),sin(θ/2)*vx/θ,sin(θ/2)*vy/θ,sin(θ/2)*vz/θ) 还是画一张图来更直观的了解下其推导过程 从图中我们通过复平面的欧拉公式可以很容易地将旋转向量转换成为一个四元数其中角度拆分成一半这样就算是180度重合也是没有问题的可能也有基于这个原因的考虑吧。 示例
%旋转角度(60°30°90°)为便于计算我们先转换成弧度
v[pi/3,pi/6,pi/2];
thetanorm(v); %1.9591
%四元数实部
acos(theta/2); %0.5574
%四元数虚部
bsin(theta/2)*v(1)/theta %0.4438
csin(theta/2)*v(2)/theta %0.2219
dsin(theta/2)*v(3)/theta %0.6657
或者
sin(theta/2)*[v/theta] %0.4438 0.2219 0.6657
所以这个四元数abicjdk的结果为0.55740.4438i0.2219j0.6657k
%四元数转换成旋转向量
rotvecd(quat)%弧度rotvecd修改为rotvec即可
rotationVector [pi/3,pi/6,pi/2];
quat quaternion(rotationVector,rotvec)
%0.55738 0.44379i 0.22189j 0.66568k
rotvec(quat)
%1.0472 0.5236 1.5708
这里相当于也再次验证上面的推导我们来看下旋转矩阵和欧拉角的转换
5、旋转矩阵与四元数
%旋转矩阵转换成四元数
M [1 0 0; 0 sqrt(3)/2 0.5; 0 -0.5 sqrt(3)/2];
quat quaternion(M,rotmat,frame)
%0.96593 0.25882i 0j 0k
%quaternion(M,rotmat,point)
rotmat(quat,frame)
ans 1.0000 0 00 0.8660 0.50000 -0.5000 0.8660
6、欧拉角与四元数
%欧拉角转换成四元数
E [pi/2,0,pi/4];
quat quaternion(E,euler,ZYX,frame)
%0.65328 0.2706i 0.2706j 0.65328k
%quaternion(E,euler,ZYX,point)
%四元数转换成欧拉角
euler(quat,ZYX,frame)
ans 1.5708 0 0.7854
