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2#xff1a;本文主要为理念的讲解#xff0c;模型也是笔者自建#xff0c;文中假设与观点是基于笔者对模型… 摘要及声明
1本文主要介绍Treynor-MauzyTM模型将TM模型所衡量的择时能力延伸到业绩非线性特征上
2本文主要为理念的讲解模型也是笔者自建文中假设与观点是基于笔者对模型及数据的一孔之见若有不同见解欢迎随时留言交流
3笔者原则是只做干货的分享后续将更新更多内容但工作学习之余的闲暇时间有限更新速度慢还请谅解
4模型实现基于python3.8 目录
1. 从捕获比到TM模型
1.1 二次项的意义
1.2 收益归因的局限性
2. 择时能力与二次项
2.1 价投不择时的传言
2.2 模型失效分析
3. 总结
4. 代码实现
5. 引用
6. 往期精选 1. 从捕获比到TM模型 笔者在之前一篇文章曾经介绍过捕获比捕获比是一种用来衡量组合在市场上行和下行时期收益获取能力的指标业绩的非线性特征——捕获指标的改进及国内基金行业的证据。比起本周要介绍的TM模型捕获比有很明显的优势简单直观计算量小且具有很强的可解释性。图一展示了三个组合收益R(B)和市场收益R(m)的散点分布以及上行及下行条件下的线性拟合结果。组合A的捕获比大于1的具备涨多跌少的特性组合B捕获比等于1的无论上行还是下行市场中均呈现相似的斜率而组合C的捕获比是小于1的。由此我们可以得出一个结论组合A大概率是股神的组合B大概率是跟踪指数产品而组合C大概率是散户的操作结果。 图一三种不同表现组合的收益分布及拟合结果 但是捕获比的缺陷也很明显捕获比简单的将市场分为上涨和下跌两种情况导致其函数虽然是非线性的但却是个分段函数。其次组合表现与市场反向涨跌时捕获比是完全失效的为此笔者上期还对捕获比的函数进行了映射以弥补这一缺陷。 本期所要介绍的TM模型却通过回归拟合的手段一举解决上述两大缺陷可以说是两种不同的思路但他们都是为了描述业绩的非线性特征。关于TM的介绍网上已经有很多了笔者并不打算重复无意义的篇幅直接上公式 其中组合回报市场回报无风险收益 其实就是个CAPM模型加上个市场溢价的二次项然后回归这个二次项主要用于表达业绩的非线性特征而目前能看到所有文献都将之称为“择时能力”。
1.1 二次项的意义 在解释择时能力之前需要深入剖析这个二次项在数学上这个二次项无非表达的就是一个抛物线非常简单 其中a控制着抛物线的开口如图二 图二公式[2]的抛物线函数 这个抛物线乍一看和组合业绩毫无联系但其实组合收益率某些特征可以被抛物线函数右侧的部分曲线拟合进而表达出组合涨跌和市场涨跌之间的二阶非线性关系。即涨多跌少如a0.5y随x增大边际递增业绩涨多y随x减小边际递减业绩跌少。 为什么是右侧那部分看看图一中红色散点就知道了图一中红色散点就可以通过抛物线拟合出来。但它只是抛物线偏右侧的部分图像要现实图二整条橙色抛物线那样的收益散点分布是极难做到的市场涨组合涨市场跌组合涨市场暴跌组合还暴涨。 再结合之前捕获比那期的内容来看其实捕获比和TM模型的二次项都是用来衡量业绩的非线性特征只是捕获比用了取平均求期望值的方式而TM模型则是通过回归的方式拟合得到。因此只要满足回归条件TM模型不存在取值问题导致模型失效的情况。
1.2 收益归因的局限性 业绩归因从方式上可以分为基于收益的归因RBSAReturn based style analysis、基于持仓的归因HBSAHolding based style analysis。前者是自上而下的通过等方式已知收益倒推持仓后者是已知持仓情况直接通过持仓情况进行业绩分析。当然还有一种归因方式是管理人的自我披露这里就不展开讲了。 基于持仓的归因方式是最准确的但绝大多数情况下都很难直接拿到实时的持仓变化即使是公募基金也只有在季报披露时能更新持仓更不用说透明度较低的私募了。因此退而求其次实务中广泛使用的还是基于收益的归因由于组合收益披露是较高频的数据于是就可以通过回归等数学工具例如多因子模型对组合的业绩进行归因分析。然而统计上的相关不代表完全具备实质的经济意义一些无意义的因子依然有可能被模型识别为显著而被保留在模型中。尤其是对头寸方向和底层资产构成较为复杂的另类策略私募基金而言有可能基金组合的敞口虽然统计上和沪深300有较大相关性但这一敞口可能是用各种衍生品合成出来并不代表组合真正持有了沪深300指数。除了收益特征统计上看着像沪深300的收益实际上组合还可能暴露于潜在的数个未知风险敞口上。 尽管这种方式在精确性上有所妥协但对于急需了解管理人业绩黑盒的投资者而言这无异于在沙漠中寻得一瓶矿泉水。虽然这一瓶水或许无法与绿洲的泉水相提并论但总比一滴水都没有来的好。
2. 择时能力与二次项 所谓择时能力用大白话来说就是对市场牛熊的判断能力比如在14年市场底部重仓15年市场高位走人那么就可以说有管理人在这轮牛熊中很强的择时收益。择时能力高的组合特点往往是涨的时候比市场涨得多跌的时候比市场跌得少或是涨的时候和市场差不多跌的时候比市场跌得少等等方式。其实有很多种情况都可以说得专业一点择时能力高的捕获比会显著大于1择时能力高的TM模型二次项系数会显著大于1。 但是这一关系如果反过来则是不一定成立的正如第三节提到的收益归因的局限性它们之间虽然存在因果关系但却是多因一果Multiple Causes for a Single Effect而管理人具备择时能力只是二次项系数会显著大于1的其中一个结果变量Outcome variables。如图三所示其它可能的变量除了前文提到的衍生品合成头寸风控止损措施也可能导致本来管理人没有择时能力只是被动止损后造成比基准跌得少的效果。另外需要注意的是择时能力也只是个泛泛而谈择时能力只能被看作是一个中介变量Mediator Variable而不是最底层的因果关系。有很多情况比如个股交易时机的选择、行业的轮动、大类资产的轮动和仓位的管理甚至不错的运气都有可能导致管理人的具备涨多跌少的特点运气≠能力因此笔者并不打算将运气放在择时能力中辨别是真择时能力还是猴子抛硬币的随机也是需要进一步验证的。 图三对组合涨多跌少因果关系的梳理 综上就可以得到本文的核心结论择时能力只是TM模型所衡量的其中一个方面TM模型二次项所表达的真正含义是组合业绩的非线性特征。反过来说导致这种非线性特征的因素可以有很多择时能力只是其中一个可能。
2.1 价投不择时的传言 比较著名的价值投资者貌似一般都是反对择时或者否认自己择时的。举例来说巴菲特的老师格雷厄姆在《聪明的投资者》中写道 “我从来不择时”。巴菲特本人的投资也几乎都是以十年甚至更长时间为跨度并且鼓励普通投资者长期配置被动的指数型基金。笔者使用TM模型对巴菲特业绩进行了拆解所使用的巴菲特业绩来源于Berkshire年报中巴菲特所披露的自1965年至2023年年度业绩(Berkshire Hathway, 2024)比较基准是SP500指数。无风险收益数据来自Wind选取了十年期美国国债通过取年度均值得到。 得到拟合图像及模型参数如图四所示可以看到的模型参数均是显著的。首先我们假设TM二次项完全代表择时收益从回归系数来看巴菲特业绩具备很高的Alpha收益但择时方面TM模型二次项系数为-3.14图像呈现负凸的特点 图四Berkshire业绩TM模型拟合结果及ANOVA分析 换句话说从上述模型结果来看巴菲特并没有择时收益甚至择时上是负收益。这似乎与价值投资者“我从来不择时”以及巴菲特长期持有的理念呼应上了。但仔细想想TM模型二次项系数为-3.14这意味着其它参数不变的情况下市场风险溢价上升1%巴菲特择时带来的业绩贡献下滑-3.14%市场风险溢价下降1%巴菲特择时带来的业绩贡献还是下滑-3.14%。这实际上与我们所认知的巴菲特业绩特征是相矛盾的。 图五Berkshire业绩净值走势 笔者开始怀疑这一现象是模型局限性导致的巴菲特很强导致他的Alpha收益很高。Alpha收益很高也就是截距项数值较大从而抬升了整个散点在Y轴方向上的分布最小二乘法不得不将拟合曲线的两端向下弯曲以保证拟合更多的散点进而形成的负凸度。 为了消除截距项的影响在原有模型的基础上对数据分布进行去中心化再次进行拟合得到图六结果 图六Berkshire业绩TM模型拟合结果及ANOVA分析 经过去中心化后再进行拟合图像就显示出凸性但TM模型二次项系数在统计上看并不显著参考价值并不大。
2.2 模型失效分析 仔细看回归分析结果里协方差显示不稳健进一步分析下去看模型是否满足回归条件。简单拉出残差分布图看一下肉眼都能看出异方差性残差的方差随市场溢价的增大也不断上升因此不满足回归条件 图七TM模型拟合后的残差分布图 笔者认为业绩披露的频率过低也是造成模型失效的原因之一即使Berkshire完整的业绩年度已经有59年但以年为单位的数据点依然非常少并且从年度收益率的分布图上看无论是巴菲特还是SP 500都是有偏的。有偏的分布加上很少的数据点导致模型拟合效果很差。最后异方差性也一定程度上是数据分布有偏和数据量较少导致的从Berkshire业绩TM模型拟合的散点图图四和图六来看散点分布呈现从左向右的喇叭口扩散状态这直接导致残差的分布也是扩散状态的。 图八Berkshire和SP 500年度业绩分布图 综上所述TM模型无法很好的解释巴菲特的业绩使用捕获比或许更能简单和直观的衡量巴菲特业绩的非线性特征。 至于加投不择时的传言仁者见仁智者见智不是本期重点笔者不打算展开分析了。
3. 总结 本文在TM模型对择时能力衡量的基础上进一步拓展认为TM模型中的二次项更多反映了组合业绩的非线性特质并且明确指出其二次项系数所体现的多因一果的关键特性这为理解组合业绩提供了更为丰富和全面的视角。本文构建了一个TM模型对Berkshire的业绩进行了分析由于违反回归假设TM模型无法很好的应用于这一组合业绩案例但通过模型的失效分析进一步理解了TM模型的局限性。
4. 代码实现 本期的代码也是相对简单的可视化操作笔者编写了一个函数只要将符合要求的业绩表格放入模块即可自动计算和展示出本文的拟合图。 首先导入需要的库
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.formula.api as smfplt.rcParams[font.sans-serif] [SimHei] # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 用来正常显示负号 本文所使用的巴菲特业绩来源于Berkshire年报中巴菲特所披露的业绩比较基准是SP 500指数。有需要数据的可以私信笔者下面直接读取并导入业绩数据
fund pd.read_excel(C:/Users/nynka/Desktop/工作文件/巴菲特业绩分析.xlsx, sheet_name 巴菲特年度业绩)
fund[年度] fund[年度].astype(str)
fund.set_index(年度, inplaceTrue)fund年度 国债收益 Berkshire SP500 超额
1965 0.042837 0.495 0.100 0.395
1966 0.049250 -0.034 -0.117 0.083
1967 0.050727 0.133 0.309 -0.176
1968 0.056444 0.778 0.110 0.668
1969 0.066727 0.194 -0.084 0.278
... ... ... ... ...
2019 0.021414 0.110 0.315 -0.205
2020 0.008892 0.024 0.184 -0.160
2021 0.014469 0.296 0.287 0.009
2022 0.029506 0.040 -0.181 0.221
2023 0.039590 0.158 0.263 -0.105 接下来编写函数需要注意的是放进函数里的数据表需要固定格式第一列无风险收益第二列组合业绩第三列为比较基准
def visual_mod(fund):rf_name fund.columns[0] ## 获取列名无风险收益fund_name fund.columns[1] ## 获取列名基金名称index_name fund.columns[2] ## 获取列名基准fund_pct_chg fund[fund_name]# ————————数据计算————————## 无风险利率:十年期国债年度均值rf fund[[rf_name]]## 市场数据market_pct_chg fund[[index_name]]## 市场溢价MRP pd.concat([market_pct_chg[index_name], rf[rf_name]], axis 1, joininner)MRP MRP[index_name] - MRP[rf_name]## 基金溢价ERP pd.concat([fund_pct_chg, rf[rf_name]], axis 1, joininner)ERP.columns [fund_pct, rf_pct]ERP ERP[fund_pct] - ERP[rf_pct]## 整合数据data pd.concat([ERP, MRP], axis 1, join inner)data.columns [erp, mrp]data[mrp_sqr] data[mrp] ** 2 ## TM模型二次项# ————————回归建模————————model smf.gls(data data, formula erp~mrpmrp_sqr)result model.fit()# ————————图像输出————————params result.paramsplt.figure(figsize (8,5))ax plt.subplot(1, 1, 1) # plt没有直接居中显示坐标轴的方法这里用实例化一个subplot后面再用.spines()设置居中ax.plot(data[mrp].sort_values(ascendingTrue).values, result.fittedvalues.sort_values(ascendingTrue).values, color orange, label 拟合结果)ax.plot(data[mrp].sort_values(ascendingTrue).values, data[mrp].sort_values(ascendingTrue).values, color gray, label β1, linewidth 1, linestyle --)ax.scatter(data[mrp].values, data[erp].values, color orange, marker , s 8, label 基金-市场回报分布)## 设置坐标轴居中显示ax.spines[top].set_visible(False)ax.spines[right].set_visible(False)ax.spines[bottom].set_position((data,0))ax.xaxis.set_ticks_position(bottom)ax.spines[bottom].set_position((data, 0))ax.yaxis.set_ticks_position(left)ax.spines[left].set_position((data, 0))plt.title(T-M 回归结果)## 设置轴标签居中显示xlim ax.get_xlim() ## 轴标签没有直接居中显示的方法通过.text设置坐标显示ylim ax.get_ylim() plt.text(xlim[1] 0.05 * (xlim[1] - xlim[0]), ylim[0] 0.35 * (ylim[1] - ylim[0]), index_name, haleft, vacenter, rotationvertical, fontsizelarge) ax.text(0, ylim[0] - 0.02 * (ylim[1] - ylim[0]), fund_name, hacenter, vacenter, rotationhorizontal, fontsizelarge) plt.legend()plt.show()# ————————回归结果输出————————print(————————ANOVA ANALYSIS————————)print(result.summary())visual_mod(fund) 当然生成分布图后可以得到前文的图七
import seaborn as sns
sns.distplot(fund[SP500], labelSP 500)
sns.distplot(fund[Berkshire], labelBerkshire)
plt.legend()
plt.xlabel(收益率)
plt.show()
5. 引用
Berkshire Hathway. 2024. 2023 annual report. https://berkshirehathaway.com/2023ar/2023ar.pdf
6. 往期精选 往期精选系列文章传送门实现方式金融杂谈多目标最优化的资产配置Python基于均值方差最优化资产配置的模型特性Python业绩的非线性特征——捕获指标的改进及国内基金行业的证据Python基金市场的冷热传递什么信号Python券商金股哪家强——信息比率Python从指数构建原理看待A股的三千点魔咒Python决策树学习基金持仓并识别公司风格类型R垃圾公司对回报率计算的影响几何Python市场预测美联储加息的有效性几何Python市场风险分析Python
