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从上一篇文章小车倒立摆物理建模与simulink仿真-CSDN博客 我们推导出了倒立摆小车的运动微分方程#xff1a; 方程里包含了正弦#xff0c;余弦运算#xff0c;因此这个系统是非线性的#xff0c;不容易控制。 我们的控制目标是把倒立摆直立在小车上(角度在0附…一、线性化
从上一篇文章小车倒立摆物理建模与simulink仿真-CSDN博客 我们推导出了倒立摆小车的运动微分方程 方程里包含了正弦余弦运算因此这个系统是非线性的不容易控制。 我们的控制目标是把倒立摆直立在小车上(角度在0附近)因此可以在0附近对sin(θ)cos(θ)项进行优化。 考虑到这一项中如果sin(θ)近似为θ则存在与θ耦合的情况因此对于这一项sin(θ)近似为0其余项sin(θ)近似为θ。简化后得到 取状态向量为将上述微分方程转换为状态空间方程的形式 二、验证线性化结果的准确性
将重力g的数值改为-10就可以将倒立摆的坐标切换到在小车底部角度为0g为10时是以倒立垂直向上为0给定初始角度没给外力的情况下小球角度便会在0附近摇摆。我们可以对比系统非线性微分方程与线性微分方程运动的曲线检验线性化的过程是否正确。
初始角度为0.1rad时非线性与线性的结果几乎一致。 初始角度设置为0.5rad时两者就能看出相位和幅值上的差异。 以上两个实验可以说明线性化后的状态空间方程是符合预期的在0附近结果与非线性的几乎一致。
三、状态空间方程离散化
直接带微分的状态空间方程是时间连续的模拟元器件的状态空间方程如下表示 但是在实际控制中控制器的运作传感器信号的采集都是固定周期离散化的因此需要将连续的状态空间方程离散化转换为以下的形式 离散化的方法主要有以下三种
1、前向欧拉法
假设T为采样周期则原来连续的状态方程可以如下表示 移向后可得I为单位矩阵 则离散后的A,B,C,D矩阵如下 2、后向欧拉法
假设T为采样周期则原来连续的状态方程可以如下表示 移向后整理可得I为单位矩阵 则离散后的A,B,C,D矩阵如下 3、 双线性变换法
可以理解成是前向欧拉法和后向欧拉法的综合理论上能提供更好的精度。
对于任意函数 (f(t))其一阶导数可以通过双线性梯形近似为 类似的近似应用到状态空间方程可得 整理后可得 假设短时间内输入u(Tt)约等于u(t)则上式化简为 求解方程得 四、三种离散方法效果对比 由上图可看到前向欧拉法结果偏大后向欧拉法结果偏小双线性变换的离散结果与连续线性方程基本一致因此后续控制器观测器的设计则使用双线性变换的离散结果。
关于仿真模型源码如果有需要的等这个专栏更新完了一并在某宝店 极简车辆控制里发布。
