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树是一种非线性的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。它具有以下的特点 有一个特殊的结点称为根结点根结点没有前驱结点 除根结点外其余结点被分成M(M 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm其中每一个集合Ti (1 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有0个或多个后继 树是递归定义的。 注意 树形结构中子树之间不能有交集否则就不是树形结构除了根节点外每个节点有且仅有一个父节点一棵n个节点的树有n-1条边 二、树中的概念
结点的度一个结点含有子树的个数称为该结点的度 如上图A的度为3
树的度一棵树中所有结点度的最大值称为树的度 如上图树的度为3
叶子结点或终端结点度为0的结点称为叶结点 如上图K J L节点为叶结点
双亲结点或父结点若一个结点含有子结点则这个结点称为其子结点的父结点 如上图A是B的父结点
孩子结点或子结点一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点 如上图B是A的孩子结点
根结点一棵树中没有双亲结点的结点 如上图A
结点的层次从根开始定义起根为第1层根的子结点为第2层以此类推
树的高度树中结点的最大层次 如上图树的高度为4
树的深度节点的相对位置如上图B的深度是2E的深度是3J的深度是4
三、二叉树
1、概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合
或者为空或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 注意 二叉树不存在度大于2的结点二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树 2、两种特殊的二叉树
满二叉树: 一棵二叉树如果每层的结点数都达到最大值则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说如果一棵二叉树的层数为K且结点总数是 则它就是满二叉树。 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。也就是从上到下从左到右需要依次放节点不能跳着放。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 没有11节点直接10到12这就不是完全二叉树
3、二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有(i0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1则深度为K的二叉树的最大结点数是(k0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0n21
度为0的节点会比度为2的节点多一个 公式推导 4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整 求解上述二叉树的深度节点n9 9110 因此取4
5. 对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号则对于序号为i的结点有
若i0双亲序号(i-1)/2i0i为根结点编号无双亲结点若2i1n左孩子序号2i1否则无左孩子若2i2n右孩子序号2i2否则无右孩子
例如
已知孩子节点下标是i求父亲节点i-1/ 2
已知父亲节点下标是i左孩子2*i1右孩子2*i2前提孩子节点序数小于n
4、例题
1. 某二叉树共有 399 个结点其中有 199 个度为 2 的结点则该二叉树中的叶子结点数为
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
题解n0 n21 200
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中叶子结点个数为
A n
B n1
C n-1
D n/2
偶数个节点 n0:
n1: 1
n2:
奇数个节点 n0:
n1: 0
n2: 题解 2n是个偶数所以2n n01n2 n0n21 所以2n n0 1 n0 - 1 n0 n 3.一个具有767个节点的完全二叉树其叶子节点个数为
A 383
B 384
C 385
D 386 题解 767是奇数所以767 n0n2n0n0-1 n0384 4.一棵完全二叉树的节点数为531个那么这棵树的高度为
A 11
B 10
C 8
D 12 题解根据之前的性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整 k 10
