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题意#xff1a; 题解#xff1a;
参考博客 看了好一阵子才明白。。。emm。 我们先按照题意画出一部分树 我们先不考虑复杂度#xff0c;这题应该怎么做#xff1f; 题目给了每个点的权值w[i]#xff0c;问一个点到所有的节点路径长度*点权之和最小是多少…Infinite Tree
题意 题解
参考博客 看了好一阵子才明白。。。emm。 我们先按照题意画出一部分树 我们先不考虑复杂度这题应该怎么做 题目给了每个点的权值w[i]问一个点到所有的节点路径长度*点权之和最小是多少很明显是树形dp dp[i]表示以i为根的子树到i的w和 sum[i]表示乘上距离之后的答案 dep[i]表示深度now为当前节点son为子节点 则有
dp[now] w[now]
sum[now]0
dp[now]dp[son]
sum[now]sum[son](dep[son]-dep[now])*sum[son]但是以now为根并不一定是最佳答案所以我们还要不断的换根求出最佳答案 如果将now为根转移到son为根我们不用重新算一遍只需要在之前的基础上
sum[now]-sum[son](dep[son]-dep[now])*dp[son]
dp[now]-dp[son]
sum[son]sum[now](dep[son]-dep[now])*dp[now]
dp[son]dp[now]这样就OK了 但是 题目是要求u到i的距离i的增长速度很快树的增长也是很快如果全建出来肯定TLE了所以我们没办法将整棵树建立只能选择性建立这要用到虚树 我们将阶乘点当做关键点保留关键点及其lca然后建立数就行 现在又有一个新问题lca怎么计算 我们首先考虑a和(a1)!的dfn谁大 因为后者的因子一定包含前者的因子所以除以mindiv后a1的深度肯定更大所以这些阶乘数的dfn是随a值从小到大的这样我们只需要考虑相邻两个点的lca即可 我们列一个表格记录阶乘数分解后有多少个质数 我们根据上面的表格来列出相邻的LCA 2!和3 ! : 1深度为1 3!和4 ! : 6深度为3 4!和5 !: 1深度为1 5!和6 !: 15深度为3 6!和7 !: 1深度为1 我们可以得出对于a和(a1)!LCA就是从大到小公共的质因子的乘积遇到不同的就停止深度是相同的个数1 例如5和6 5分解后5 3 2 2 2 65 3 3 2 2 2 2 从大到小一样的是5和3 从第三位开始不一样停止 lca就是15深度就是3 可以得到dep[lca((i1)!,i!)] sum(maxdiv(i1),n) sum(maxidv(i1),n)为原本i中大于等于maxdiv(i1)的因子个数 这样我们就可以快速算出LCA 但是还是不够快如果对于每个数都扫一次的话还是很慢。所以需要一个快速地查找求和修改的算法那就是用到了线段树或树状数组
代码
#includebits/stdc.h
#define ll long long
#define inf 1ll60
using namespace std;
const int MAXN1e510;
int num[MAXN],w[MAXN1],d[MAXN1],stk[MAXN];
int ldfn[MAXN],rdfn[MAXN],dep[MAXN],lcad[MAXN],m;
int mndv[MAXN],pcnt0;
ll dp1[MAXN1],dp2[MAXN1],ans;
vectorint vir[MAXN1];
ll tr[MAXN2];//注意开long long
void Build(int root,int l,int r)
{tr[root]0;if(lr) return;int midlr1;Build(root1,l,mid);Build(root1|1,mid1,r);
}
void Change(int root,int l,int r,int x)
{if(lr){tr[root];return;}int midlr1;if(xmid) Change(root1,l,mid,x);else Change(root1|1,mid1,r,x);tr[root]tr[root1]tr[root1|1];
}//x是插入的质数要将其计数1
int Query(int root,int x,int l,int r)
{ if(lx) return tr[root];int midlr1;if(xmid) return Query(root1,x,l,mid)Query(root1|1,x,mid1,r);else if(xmid) return Query(root1|1,x,mid1,r);
}//查找当前质数的个数
void build()
{//^不等于相当于!dep[1]1;for(int i2;im;i){dep[i]dep[i-1];int ji;while(j^mndv[j]) j/mndv[j];lcad[i]Query(1,j,1,m)1;for(ji;j^1;dep[i],j/mndv[j]) Change(1,1,m,mndv[j]);}int top0,totm;stk[top]1;for(int i2;im;i){if(top1||lcad[i]dep[stk[top]]){stk[top]i;continue;}while(top1lcad[i]dep[stk[top-1]]){vir[stk[top-1]].push_back(stk[top]);top--;}//建虚树的基本操作不会的建议去学习一下if(lcad[i]^dep[stk[top]]){dep[tot]lcad[i];w[tot]0;vir[tot].push_back(stk[top]);stk[top]tot;}stk[top]i;}while(top1){vir[stk[top-1]].push_back(stk[top]);top--;}
}//原理同上供参考
void dfs1(int x,int fa)
{dp1[x]w[x];dp2[x]0;for(int i0;ivir[x].size();i){int sonvir[x][i];if(sonfa) continue;dfs1(son,x);dp1[x]dp1[son];dp2[x]dp2[son](dep[son]-dep[x])*dp1[son];}
}
void dfs2(int x,int fa)
{ansmin(ans,dp2[x]);for(int i0;ivir[x].size();i){int sonvir[x][i];if(sonfa) continue;ll x1dp1[x],x2dp2[x],son1dp1[son],son2dp2[son];dp2[x]-dp2[son](dep[son]-dep[x])*dp1[son];dp1[x]-dp1[son];dp2[son]dp2[x](dep[son]-dep[x])*dp1[x];dp1[son]dp1[x];dfs2(son,x);dp1[x]x1,dp2[x]x2,dp1[son]son1,dp2[son]son2;}
}//树形dp换根非重点且是模板一套的问题上面已经分析
int main()
{mndv[1]1;for(int i2;iMAXN;i)if(!mndv[i])for(int ji;jMAXN;ji)if(!mndv[j]) mndv[j]i;//预处理出每个数的mindiv之后分解时可以用while(~scanf(%d,m)){for(int i1;im;i)scanf(%d,w[i]);for(int i0;im*2;i){vir[i].clear();dp1[i]dp2[i]0;}Build(1,1,m);build();dfs1(1,0);ansdp2[1];dfs2(1,0);printf(%lld\n,ans);}
}
#includebits/stdc.h
#define lowbit(x) x-x
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX 2e5 10;
//建立虚树点数tot 2n, 空间开两倍int n, w[MAX];
ll ans;//树状数组
int c[MAX];
void upd(int p, int k) { for (; p n; p lowbit(p)) c[p] k; }
int query(int p) { int res 0; for (; p; p - lowbit(p)) res c[p]; return res; }int mindiv[MAX];
void sieve(int siz) {//筛mindivfor (int i 2; i siz; i)if (!mindiv[i])for (int j i; j siz; j i)if (!mindiv[j])mindiv[j] i;
}int lcadep[MAX], dep[MAX];
int st[MAX], top, tot;//stack, top, tot:虚树点数
vectorint g[MAX];//虚树
void add_edge(int u, int v) { g[u].push_back(v), g[v].push_back(u); }void buildVirtualTree() {tot n;st[top 1] 1;for (int i 2; i n; i) {dep[i] dep[i - 1] 1; int j i;for (; j ! mindiv[j]; j / mindiv[j]) dep[i];lcadep[i] query(n) - query(j - 1);for (j i; j ! 1; j / mindiv[j]) upd(mindiv[j], 1);}//建树for (int i 2; i n; i) {while (top 1 dep[st[top - 1]] lcadep[i])add_edge(st[top - 1], st[top]), top--;if (dep[st[top]] ! lcadep[i]) {dep[tot] lcadep[i];add_edge(tot, st[top]);st[top] tot;}st[top] i;}while (top 1){add_edge(st[top - 1], st[top]);top--;}
}void dfs(int u, int fa) {ans 1ll * w[u] * dep[u];//ans最开始是rt 1时的答案for (auto v: g[u])if (v ! fa) {dfs(v, u);w[u] w[v];}
}void dfs2(int u, int fa) {//如果rt移动之后答案变小就一直移动下去直到答案不在变小for (auto v: g[u])if (v ! fa) {//rt从u转移到v的代价//(w[1] - w[v]) - w[v]if (w[1] - 2 * w[v] 0) {ans 1ll * (w[1] - 2 * w[v]) * (dep[v] - dep[u]);//一步的代价*距离dfs2(v, u);}}
}void init() {ans top 0;for (int i 1; i tot; i) {g[i].clear();c[i] w[i] lcadep[i] dep[i] 0;}
}int main() {sieve(1e5);while (~scanf(%d, n)) {init();for (int i 1; i n; i) scanf(%d, w[i]);buildVirtualTree();int rt 1;dfs(rt, 0);dfs2(rt, 0);printf(%lld\n, ans);}return 0;
}
