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2023年11月3日 #algebra 文章目录 Jordan型矩阵1. 代数重数与几何重数2. Jordan块与Jordan标准型2.1 最小多项式与Jordan标准型2.2 两类重要矩阵 3. 矩阵的Jordan分解3.1 Jordan分解的应用 下链 1. 代数重数与几何重数
在对向量做线性变换时#xff0c;向量空间…Jordan型矩阵
2023年11月3日 #algebra 文章目录 Jordan型矩阵1. 代数重数与几何重数2. Jordan块与Jordan标准型2.1 最小多项式与Jordan标准型2.2 两类重要矩阵 3. 矩阵的Jordan分解3.1 Jordan分解的应用 下链 1. 代数重数与几何重数
在对向量做线性变换时向量空间的某个向量的方向不发生改变而只是在其方向上进行拉伸则该向量是线性变换的特征向量其在变换中被拉伸的倍数为该特征向量的特征值特征根。 矩阵的相同特征值有其对应的代数重数与几何重数相同特征值的代数重数就是相同特征值的个数几何重数就是相同特征值所对应特征向量的个数。显然特征向量的拉伸量可能相同即代数重数大于等于几何重数也就是多个相同特征值可能对应一个特征向量。也可以说对同一个特征值可能有多个特征向量而该特征值的代数重数大于等于特征向量的个数。 如果每个相同的特征值都对应不同的特征向量则代数重数等于几何重数。 对于 n × n n\times n n×n 矩阵 A A A有 l l l 个特征根 l n l\lt n ln 且第 i i i 个特征根 λ i \lambda_i λi 的代数重数为 σ i \sigma_i σi 、几何重数为 α i \alpha_i αi det ( λ I n − A ) ( λ − λ 1 ) σ 1 ( λ − λ 2 ) σ 2 ⋯ ( λ − λ l ) σ l \det (\lambda I_n-A)(\lambda-\lambda_1)^{\sigma_1}(\lambda-\lambda_2)^{\sigma_2}\cdots(\lambda-\lambda_l)^{\sigma_l} det(λIn−A)(λ−λ1)σ1(λ−λ2)σ2⋯(λ−λl)σl 第 i i i个特征根的几何重数计算如下 α i n − rank ( λ i I n − A ) \alpha_in-\text{rank}(\lambda_iI_n-A) αin−rank(λiIn−A) 几何重数零化度对应着有几个线性无关的特征向量拥有当前的特征值。 在Jordan标准型中几何重数对应着当前特征值拥有几个Jordan快。 若代数重数等于几何重数该特征值为 半单的。 若代数重数大于几何重数该特征值为 亏损的。 显然代数重数为 1 {1} 1 的特征值一定时半单的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。每个特征值都是半单的矩阵有完备的特征向量系等价于可对角化。 存在亏损的特征值的矩阵称为亏损矩阵等价于不可对角化。 2. Jordan块与Jordan标准型
举例对代数重数为 σ i 5 \sigma_i5 σi5 、几何重数为 α i 2 \alpha_i2 αi2 的特征根 λ i \lambda_i λi有两个Jordan快设存在一个三阶和一个两阶的Jordan块 J i [ λ i 1 0 0 0 0 λ i 1 0 0 0 0 λ i 0 0 0 0 0 λ i 1 0 0 0 0 λ i ] diag ( J 3 ( λ i ) , J 2 ( λ i ) ) J_{i} \begin{bmatrix} \lambda_i1000\\ 0\lambda_i100\\ 00\lambda_i00\\ 000\lambda_i1\\ 0000\lambda_i \end{bmatrix}\text{diag}(J_3(\lambda_i),J_2(\lambda_i)) Ji λi00001λi00001λi00000λi00001λi diag(J3(λi),J2(λi)) Jordan块的顺序可以交换。知道特征值的代数重数和几何重数还需要知道特征值对应的每阶Jordan块的个数才能写出Jordan标准型。 可以通过幂零矩阵确定 λ i \lambda_i λi 对应的两个Jordan快各有几阶如其中 j j j 阶Jordan块的个数为 r j 1 r j − 1 − 2 r j r_{j1}r_{j-1}-2r_j rj1rj−1−2rj r j rank ( λ i I − A ) j r_j\text{rank}(\lambda_iI-A)^j rjrank(λiI−A)j r 0 rank ( λ i I − A ) 0 n r_0\text{rank}(\lambda_iI-A)^0n r0rank(λiI−A)0n 矩阵的Jordan标准型 J diag ( J n 1 , J n 2 , ⋯ , J n k ) , n 1 n 2 ⋯ n k n J\text{diag}(J_{n_1},J_{n_2},\cdots,J_{n_k}),~n_1n_2\cdotsn_kn Jdiag(Jn1,Jn2,⋯,Jnk), n1n2⋯nkn Jordan块的上次对角元值都为 1 {1} 1 J n i [ λ i 1 λ i 1 ⋱ ⋱ λ i 1 λ i ] J_{n_i} \begin{bmatrix} \lambda_i1\\ \lambda_i1\\ \ddots\ddots\\ \lambda_i1\\\lambda_i \end{bmatrix} Jni λi1λi1⋱⋱λi1λi 在这种定义下不同Jordan块可能对应相同特征值。求Jordan标准型步骤如下
算特征值算代数重数、几何重数算特征值对应阶数Jordan块的个数 [!example]- 求矩阵 A A A 的Jordan标准型 A [ 2 0 − 1 0 − 1 1 0 − 1 0 0 2 0 1 1 1 3 ] A \begin{bmatrix} 2 0 -1 0 \\ -1 1 0 -1 \\ 0 0 2 0\\ 1 1 1 3 \end{bmatrix} A 2−1010101−10210−103 解 det ( λ I − A ) ( λ − 2 ) 4 \det ( \lambda I-A)( \lambda-2)^4 det(λI−A)(λ−2)4 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 2 , 4 − rank ( λ 1 I − A ) 2 \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_42 \,\,,\,\, 4- \text{rank} ( \lambda_1I-A)2 λ1λ2λ3λ42,4−rank(λ1I−A)2 2 2 2 特征值的代数重数是 4 {4} 4 几何重数是 2 {2} 2 有两个Jordan块可能是一个三阶和一个一阶的也可能是两个二阶的。 r 0 4 r 1 rank ( λ 1 I − A ) 2 r 2 rank ( λ 1 I − A ) 2 0 r 3 rank ( λ 1 I − A ) 3 0 \begin{align*} r_04 \\ \\ r_1 \text{rank}( \lambda_1I-A)2 \\ \\ r_2 \text{rank} ( \lambda_1I-A)^20 \\ \\ r_3 \text{rank} ( \lambda_1I-A)^30 \\ \\ \end{align*} r0r1r2r34rank(λ1I−A)2rank(λ1I−A)20rank(λ1I−A)30 2 2 2 特征值对应的一阶Jordan块个数 r 2 r 0 − 2 r 1 0 r_2r_0-2r_10 r2r0−2r10 2 2 2 特征值对应的二阶Jordan块个数 r 3 r 1 − 2 r 2 2 r_3r_1-2r_22 r3r1−2r22 所以有两个二阶Jordan块Jordan标准型为 J [ 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 ] J \begin{bmatrix} 2 1 0 0 \\ 0 2 0 0 \\ 0 0 2 1\\ 0 0 0 2 \end{bmatrix} J 2000120000200012 Jordan块减去特征值单位阵拥有幂零的特性 ( J n i − λ i I n i ) n i 0 (J_{n_i}- \lambda_iI_{n_i})^{n_i}0 (Jni−λiIni)ni0
2.1 最小多项式与Jordan标准型
由于一个特征值可能对应多个Jordan块我们选择一个特征值的最大Jordan块的阶数做为最小多项式中该特征值对应因子的幂次得到最小多项式。例如 A [ λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 ] A \begin{bmatrix} \lambda_1 1 0 00 \\ 0 \lambda_1 1 00 \\ 0 0 \lambda_1 00\\ 0 0 0 \lambda_10\\0 0 0 0 \lambda2 \end{bmatrix} A λ100001λ100001λ100000λ100000λ2 特征多项式为 Δ ( λ ) det ( λ I − A ) ( λ − λ 1 ) 4 ( λ − λ 2 ) \Delta( \lambda)\det( \lambda I-A)( \lambda- \lambda_1)^4( \lambda- \lambda_2) Δ(λ)det(λI−A)(λ−λ1)4(λ−λ2) 最小多项式为 ψ ( λ ) ( λ − λ 1 ) 3 ( λ − λ 2 ) \psi( \lambda)( \lambda- \lambda_1)^3( \lambda- \lambda_2) ψ(λ)(λ−λ1)3(λ−λ2) 所有相似矩阵都有相同的最小多项式。
2.2 两类重要矩阵
一类是每个特征值代数重数与几何重数相等的矩阵又称非退化矩阵或简单矩阵、可对角化矩阵其Jordan标准型是对角阵。 另一类是每个特征值的几何重数都为 1 {1} 1 的矩阵也就是一个特征值对应一个Jordan块各Jordan块对应的特征值互异又称循环矩阵。 显然循环矩阵的特征多项式与最小多项式相同。 3. 矩阵的Jordan分解
对 n {n} n 阶方阵 A A A存在 n {n} n 阶可逆矩阵 T T T使得 A T J T − 1 ATJT^{-1} ATJT−1 为矩阵Jordan分解 J J J 为矩阵的Jordan标准型若不计Jordan块的次序则Jordan标准型唯一。 对变换矩阵可以写为矩阵的集合 T ( T 1 , T 2 , ⋯ , T k ) T(T_1,T_2,\cdots,T_k) T(T1,T2,⋯,Tk) T i T_i Ti 为 n × n i n\times n_i n×ni 阶矩阵。 A ( T 1 , T 2 , ⋯ , T k ) ( T 1 , T 2 , ⋯ , T k ) [ J n 1 ⋱ J n k ] A(T_1,T_2,\cdots,T_k)(T_1,T_2,\cdots,T_k) \begin{bmatrix}J_{n_1}\\\ddots\\J_{n_k}\end{bmatrix} A(T1,T2,⋯,Tk)(T1,T2,⋯,Tk) Jn1⋱Jnk A T i T i J n i ( t 1 i , t 2 i , ⋯ , t n i i ) [ λ i 1 λ i 1 ⋱ ⋱ λ i 1 λ i ] AT_iT_iJ_{n_i}(t_1^i,t_2^i,\cdots,t_{n_i}^i) \begin{bmatrix} \lambda_i1\\ \lambda_i1\\ \ddots\ddots\\ \lambda_i1\\\lambda_i \end{bmatrix} ATiTiJni(t1i,t2i,⋯,tnii) λi1λi1⋱⋱λi1λi 所以 { A t 1 i λ i t 1 i A t 2 i λ i t 2 i t 1 i ⋮ A t n i i λ i t n i i t n i − 1 i \begin{cases} At_1^i\lambda_it_1^i \\ At_2^i\lambda_it_2^it_1^i\\ \vdots\\ At_{n_i}^i\lambda_it_{n_i}^it_{n_i-1}^i \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧At1iλit1iAt2iλit2it1i⋮Atniiλitniitni−1i ( A − λ i I n ) t 1 i 0 (A-\lambda_iI_n)t_1^i0 (A−λiIn)t1i0 ( A − λ i I n ) t j i t j − 1 i , j 2 , 3 ⋯ , n i (A-\lambda_iI_n)t_j^it_{j-1}^i,~j2,3\cdots,n_i (A−λiIn)tjitj−1i, j2,3⋯,ni t 1 i , t 2 i , ⋯ , t n i i t_1^i,t_2^i,\cdots,t_{n_i}^i t1i,t2i,⋯,tnii 构成一条关于 λ i \lambda_i λi的长度为 n i n_i ni的Jordan链。 t 1 i t_1^i t1i 是链首是 A A A 关于 λ i \lambda_i λi 的一个特征向量。 链首满足是特征向量且方程组可解的要求。所以把 λ i \lambda_i λi 对应的所有线性无关的特征向量算出来做线性组合作为链首。变换矩阵 T T T 的求解步骤如下
求Jordan标准型算每个Jordan块对应的Jordan链 若Jordan块阶数为1直接计算特征向量 若阶数大于1先计算特征向量利用特征向量的线性组合得到链首同一特征值特征向量非零线性组合仍是特征向量 [!example]- A A A 的Jordan标准型 A [ 3 0 8 3 − 1 6 − 2 0 − 5 ] , J [ − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 − 1 ] A \begin{bmatrix} 3 0 8 \\ 3 -1 6 \\ -2 0 -5 \end{bmatrix} \,\,,\,\, J \begin{bmatrix} -1 0 0 \\ 0 -1 1 \\ 0 0 -1 \end{bmatrix} A 33−20−1086−5 ,J −1000−1001−1 求出 λ 1 \lambda_1 λ1 对应的线性无关的特征向量 x 1 ( 2 , 0 , − 1 ) T , x 2 ( 0 , 1 , 0 ) T x_1(2,0,-1)^ \mathrm T \,\,,\,\, x_2(0,1,0)^ \mathrm T x1(2,0,−1)T,x2(0,1,0)T 对应的变换矩阵为 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 的线性组合我们选取 x 1 x_1 x1。对于阶数为 2 {2} 2 的Jordan块构造 y k 1 x 1 k 2 x 2 yk_1x_1k_2x_2 yk1x1k2x2 使得 ( A − λ 1 I ) Z y (A- \lambda_1I)Zy (A−λ1I)Zy 可解即 rank ( A − λ 1 I ) rank ( A − λ 1 I ∣ y ) \text{rank}(A- \lambda_1I) \text{rank}(A- \lambda_1I\,|\,y) rank(A−λ1I)rank(A−λ1I∣y) ( A − λ 1 I ∣ y ) [ 4 0 8 2 k 1 3 0 6 k 2 − 2 0 − 4 − k 1 ] → [ 4 0 8 2 k 1 0 0 0 k 2 − 3 k 1 / 2 0 0 0 0 ] (A- \lambda_1I\,|\,y) \begin{bmatrix} 4 0 8 2k_1 \\ 3 0 6 k_2 \\ -2 0 -4 -k_1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 4 0 8 2k_1 \\ 0 0 0 k_2-3k_1/2 \\ 0 0 0 0 \end{bmatrix} (A−λ1I∣y) 43−200086−42k1k2−k1 → 4000008002k1k2−3k1/20 需要 2 k 2 − 3 k 1 0 2k_2-3k_10 2k2−3k10 取 k 1 2 , k 2 3 , y ( 4 , 3 , − 2 ) T k_12 \,\,,\,\, k_23 \,\,,\,\, y(4,3,-2)^ \mathrm T k12,k23,y(4,3,−2)T 解出 z ( 1 , 0 , 0 ) T z(1,0,0)^ \mathrm T z(1,0,0)T鼓变换矩阵为 T [ 2 4 1 0 3 0 − 1 − 2 0 ] T \begin{bmatrix} 2 4 1 \\ 0 3 0 \\ -1 -2 0 \end{bmatrix} T 20−143−2100 3.1 Jordan分解的应用
Jordan分解用于计算初等函数在某个矩阵处的值最简单的情形是计算多项式函数高次多项式当然也可以用Cayley-Hamilton定理。 [!example]- 设矩阵 A [ − 1 0 1 1 2 0 − 4 0 3 ] A \begin{bmatrix} -1 0 1 \\ 1 2 0 \\ -4 0 3 \end{bmatrix} A −11−4020103 求 A 2018 A^{2018} A2018。 解 T − 1 A T J [ 1 1 0 0 1 0 0 0 2 ] → A 2018 T J 2018 T − 1 \begin{align*} T^{-1}ATJ \begin{bmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 2 \end{bmatrix} \end{align*}\to A^{2018}TJ^{2018}T^{-1} T−1ATJ 100110002 →A2018TJ2018T−1 A 2018 [ 1 0 0 − 1 − 1 1 2 1 0 ] [ 1 2018 0 0 1 0 0 0 2 2018 ] [ 1 0 0 − 2 0 1 − 1 1 1 ] [ − 4035 0 2018 4037 − 2 2018 2 2018 2 2018 − 2019 − 8072 0 4037 ] \begin{align*} A^{2018} \begin{bmatrix} 1 0 0 \\ -1 -1 1 \\ 2 1 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 2018 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 2^{2018} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 0 0 \\ -2 0 1 \\ -1 1 1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} -4035 0 2018 \\ 4037-2^{2018} 2^{2018} 2^{2018}-2019 \\ -8072 0 4037 \end{bmatrix} \end{align*} A2018 1−120−11010 1002018100022018 1−2−1001011 −40354037−22018−80720220180201822018−20194037 Jordan分解还可以用于求解一阶线性常系数微分方程组。 [! example]- 求解 { d d t x 1 3 x 1 x 2 − 3 d d t x 2 − 2 x 2 2 x 3 d d t x 3 − x 1 x 2 3 x 3 \begin{cases} \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}x_13x_1x_2-3 \\ \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}x_2-2x_22x_3\\ \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}x_3-x_1x_23x_3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧dtdx13x1x2−3dtdx2−2x22x3dtdx3−x1x23x3 解令 x ( x 1 , x 2 , x 3 ) T x(x_1,x_2,x_3)^ \mathrm T x(x1,x2,x3)T 则原方程组化为 d x d t A x \frac{\mathrm d x}{\mathrm dt}Ax dtdxAx 令 x T y xTy xTy则 d y d t T − 1 d x d t T − 1 A x T − 1 A T y J y \frac{\mathrm d y}{\mathrm dt} T^{-1}\frac{\mathrm d x}{\mathrm dt}T^{-1}AxT^{-1}ATyJy dtdyT−1dtdxT−1AxT−1ATyJy A [ 3 1 − 1 − 2 0 2 − 1 − 1 3 ] , J [ 2 0 0 0 2 1 0 0 2 ] A \begin{bmatrix} 3 1 -1 \\ -2 0 2 \\ -1 -1 3 \end{bmatrix} \,\,,\,\, J \begin{bmatrix} 2 0 0 \\ 0 2 1 \\ 0 0 2 \end{bmatrix} A 3−2−110−1−123 ,J 200020012 ∴ J y [ 2 y 1 2 y 2 y 3 2 y 3 ] → y 1 ′ 2 y 1 , y 2 ′ 2 y 2 y 3 , y 3 ′ 2 y 3 \therefore Jy \begin{bmatrix} 2y_1\\ 2y_2y_3\\ 2y_3 \end{bmatrix}\to y_12y_1 \,\,,\,\, y_22y_2y_3 \,\,,\,\, y_32y_3 ∴Jy 2y12y2y32y3 →y1′2y1,y2′2y2y3,y3′2y3 y y y 第一第三个分量的一般解为 y 1 ( t ) c 1 e 2 t , y 3 ( t ) c 3 e 2 t y_1(t)c_1e^{2t} \,\,,\,\, y_3(t)c_3e^{2t} y1(t)c1e2t,y3(t)c3e2t 代入第二个分量求解得 y 2 ( t ) ( c 2 c 3 t ) e 2 t y_2(t)(c_2c_3t)e^{2t} y2(t)(c2c3t)e2t x T y [ − e 2 t ( c 1 c 2 c 3 c 3 t ) e 2 t ( c 1 2 c 2 2 c 3 t ) e 2 t ( c 2 c 3 t ) ] , ∀ c 1 , c 2 , c 3 ∈ C xTy \begin{bmatrix} -e^{2t}(c_1c_2c_3c_3t)\\ e^{2t}(c_12c_22c_3t)\\ e^{2t}(c_2c_3t) \end{bmatrix} \,\,,\,\, \forall c_1,c_2,c_3\in \mathbb C xTy −e2t(c1c2c3c3t)e2t(c12c22c3t)e2t(c2c3t) ,∀c1,c2,c3∈C 下链
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