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视觉系统一共有四个坐标系#xff1a;像素平面坐标系#xff08;u,v#xff09;、图像坐标系#xff08;x,y#xff09;、相机坐标系#xff08;Xc,Yc,Zc#xff09;和世界坐标系#xff08;Xw,Yw,Zw#xff09;#xff0c;如下图所示。每种坐标系之间均存…一、前言
视觉系统一共有四个坐标系像素平面坐标系u,v、图像坐标系x,y、相机坐标系Xc,Yc,Zc和世界坐标系Xw,Yw,Zw如下图所示。每种坐标系之间均存在联系那么如何通过图像像素坐标定位到世界坐标系的坐标需要通过相机标定来解决其中关键的算法部分在于坐标系转换而变换则需要通过齐次坐标的表示方式来完成。
二、坐标系变换
2.1像素坐标系和图像坐标系的变换
像素坐标就是像素在图像中的位置。像素坐标系是建立在图像中的需要和相机坐标系进行变换其单位为像素。其的左上角的顶点就是原点Op水平向右是u垂直向下是v轴。 图像坐标系的单位为毫米这是因为像素坐标没办法反应图片中点的具体尺寸大小所以需要图像坐标系来表示,原点为Oi为光轴与成像平面的交点。 两个坐标系都在成像平面上只是各自的原点和度量单位不一样。转换时需要知道两个参数dx,dy,分别表示感光芯片上像素的实际大小。 两者之间变换需要进行单位上的转换。在图中假设图像中心的像素坐标是u0,v0那么图像坐标系的坐标x,y与像素坐标系的坐标u,v之间的关系可以表示为 ux/dxu0ux/dxu0ux/dxu0 vy/dyv0vy/dyv0vy/dyv0 转换为齐次坐标 [uv1]\begin{bmatrix} u\\ v\\1\end{bmatrix}⎣⎡uv1⎦⎤[1/dx0u001/dyv0001]\begin{bmatrix} 1/dx0u0\\ 01/dyv0\\001\end{bmatrix}⎣⎡1/dx0001/dy0u0v01⎦⎤*[xy1]\begin{bmatrix} x\\ y\\1\end{bmatrix}⎣⎡xy1⎦⎤
2.2 相机坐标系与图像坐标系转换
相机坐标系是以相机的光轴作为Z轴光线在相机光学系统的中心位置就是原点Oc实际上就是透镜的中心,相机坐标系的水平轴Xc与垂直轴Yc分别于图像坐标系的X轴和Y轴平行,OcOi之间的距离为f。 上图P点为图像点坐标B为相机坐标系下物体坐标可以通过相似三角形求解如上图所示最终也用齐次坐标进行表示。最后的表达式可以看出相机坐标系为三维图像坐标系为2维只能通过齐次坐标变换的形式升维。 那为什么像素坐标系会在相机坐标系的前面呢 从原理图上我们可以看到像平面在镜面的右面而在推导相机标定的坐标系关系时却认为光线先通过成像平面再在相机坐标系上汇聚到一个点。其原因是推导的时候把像平面用虚拟像平面代替了。
2.3世界坐标系与相机坐标系转换
世界坐标系是目标物体位置的参考系可以根据运算方便与否自由放置单位为长度单位如mm。从世界坐标系转换到相机坐标系涉及到旋转和平移其实所有的运动也可以用旋转矩阵和平移向量来描述。因为世界坐标系和摄像机坐标都是右手坐标系所以其不会发生形变刚性变换。 计算过程 平移相机坐标点Xc,Yc,Zc平移距离为tx,ty,tz到世界坐标点Xw,Yw,Zw [XwYwZw1]\begin{bmatrix} Xw\\ Yw\\Zw\\1\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡XwYwZw1⎦⎥⎥⎤[100tx010ty001tz0001]\begin{bmatrix} 100tx\\010ty\\001tz\\0001\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡100001000010txtytz1⎦⎥⎥⎤*[XcYcZc1]\begin{bmatrix} Xc\\Yc\\Zc\\1\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡XcYcZc1⎦⎥⎥⎤ 坐标点Xc,Yc,Zc在平移的过程中旋转一定角度到世界坐标点Xw,Yw,Zw 首先给定一个基本旋转矩阵和基本矩阵 R[cosθsinθ−sinθ−cosθ]\begin{bmatrix} cosθsinθ\\ -sinθ-cosθ\end{bmatrix}[cosθ−sinθsinθ−cosθ] 基本矩阵 [1000010000100001]\begin{bmatrix} 1000\\0100\\0010\\0001\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡1000010000100001⎦⎥⎥⎤ 如果坐标点Xc,Yc,Zc绕XYZ轴分别旋转αβγ度则最终的表达式为哈哈实在不想自己推导仿射变换的公式了直接给最终结果链接可以看下方 那么和平移变换联合起来可以写为 2.4像素坐标系到世界坐标系变换终极变换 红框内即为外参R和T分别为旋转和平移量。 内参为是相机固有的属性实际上就是焦距f像元尺寸dx,dy。 Zc很明显表示的是点离光轴的距离。
参考文章 相机参数标定camera calibration及标定结果如何使用 3d变换基础平移、旋转、缩放仿射变换详解——公式推导 计算机视觉相机成像原理世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系之间的转换
