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2023年11月29日 #analysis 文章目录 数值积分与数值微分1. 求积公式与代数精度2. 几个常用积分公式及其复合积分公式2.1 中点公式2.2 梯形公式2.3 抛物型公式/Simpson公式2.4 复合中点公式2.5 复合梯形公式2.6 复合Simpson公式 1. 求积公式与代数精度
求积…数值积分与数值微分
2023年11月29日 #analysis 文章目录 数值积分与数值微分1. 求积公式与代数精度2. 几个常用积分公式及其复合积分公式2.1 中点公式2.2 梯形公式2.3 抛物型公式/Simpson公式2.4 复合中点公式2.5 复合梯形公式2.6 复合Simpson公式 1. 求积公式与代数精度
求积公式的一般形式为 ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ k 0 n A k f ( x k ) \int_{ a }^{b} f(x)\mathrm dx \approx \sum_{k0}^{ n} A_kf(x_k) ∫abf(x)dx≈k0∑nAkf(xk) A k : 求积系数 , x k : 求积节点 A_k:求积系数 \,\,,\,\, x_k:求积节点 Ak:求积系数,xk:求积节点 如果求积公式对 f ( x ) x j ( j 0 , 1 , ⋯ , m ) {f(x)x^j(j0,1,\cdots ,m)} f(x)xj(j0,1,⋯,m) 都精确成立但对 f ( x ) x m 1 {f(x)x^{m1}} f(x)xm1 不能精确成立即 ∫ a b x j d x ∑ k 0 n A k x k j , j 0 , 1 , ⋯ , m ∫ a b x m 1 d x ≠ ∑ k 0 n A k x k m 1 \begin{align*} \int_{ a }^{b} x^j \mathrm dx \sum_{k0}^{ n} A_kx_k^j \,\,,\,\, j0,1,\cdots ,m \\ \\ \int_{ a }^{b} x^{m1} \mathrm dx \ne \sum_{k0}^{ n} A_kx_k^{m1} \end{align*} ∫abxjdx∫abxm1dxk0∑nAkxkj,j0,1,⋯,mk0∑nAkxkm1 则称求积公式具有 m {m} m 次代数精度。 [!example]- 对于数值求积公式 ∫ − 1 2 1 2 f ( x ) d x ≈ A 0 f ( x 0 ) A 1 f ( x 1 ) \int_{ -\frac{1}{2} }^{\frac{1}{2}} f(x) \mathrm dx \approx A_0f(x_0)A_1f(x_1) ∫−2121f(x)dx≈A0f(x0)A1f(x1) 当 A 1 1 / 4 {A_11/4} A11/4 x 1 3 / 8 {x_13/8} x13/8 时请确定参数 A 0 {A_0} A0 x 0 {x_0} x0 使此公式的代数精度尽可能地高并确定此时公式的代数精度。 解此求积公式只有两个参数 A 0 {A_0} A0 x 0 {x_0} x0 。令公式对 f ( x ) 1 {f(x)1} f(x)1 x {x} x 都精确成立。则有 { A 0 A 1 1 A 0 x 0 A 1 x 1 0 \begin{cases} A_0A_11 \\ \\ A_0x_0A_1x_10 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧A0A11A0x0A1x10 代入 A 1 1 / 4 {A_11/4} A11/4 x 1 3 / 8 {x_13/8} x13/8 得 { A 0 1 4 1 A 0 x 0 3 32 0 ⇒ { A 0 3 4 x 0 − 1 8 \begin{cases} A_0 \frac{1}{4}1 \\ \\ A_0x_0 \frac{3}{32}0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A_0 \frac{3}{4} \\ \\ x_0- \frac{1}{8} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧A0411A0x03230⇒⎩ ⎨ ⎧A043x0−81 ∫ − 1 2 1 2 f ( x ) d x ≈ 3 4 f ( − 1 8 ) 1 4 f ( 3 8 ) \int_{ - \frac{1}{2} }^{\frac{1}{2}} f(x) \mathrm dx \approx \frac{3}{4}f(- \frac{1}{8}) \frac{1}{4}f(\frac{3}{8}) ∫−2121f(x)dx≈43f(−81)41f(83) 当 f ( x ) x 2 {f(x)x^2} f(x)x2 时由于 ∫ − 1 2 1 2 f ( x ) d x 1 12 ≠ 3 4 ( − 1 8 ) 2 1 4 ( 3 8 ) 2 3 64 \int_{ - \frac{1}{2} }^{\frac{1}{2}} f(x) \mathrm dx \frac{1}{12} \ne \frac{3}{4}(- \frac{1}{8})^2 \frac{1}{4} (\frac{3}{8})^2 \frac{3}{64} ∫−2121f(x)dx12143(−81)241(83)2643 则此求积公式的代数精度为 m 1 {m1} m1 。 要求的参数有 n {n} n 个则设 f ( x ) 1 , x , ⋯ x n − 1 {f(x)1,x,\cdots x^{n-1}} f(x)1,x,⋯xn−1 2. 几个常用积分公式及其复合积分公式
复合公式的代数精度不变计算精度提高表现为误差估计减小 这些公式用于已知原函数时候的数值积分复合公式是在划分区间之上应用梯形或Simpson公式。
2.1 中点公式 I ∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) f ( a b 2 ) I ′ I\int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx (b-a) f(\frac{ab}{2})I I∫abf(x)dx≈(b−a)f(2ab)I′ 误差 I − I ′ 1 24 ( b − a ) 3 f ′ ′ ( ξ ) , ξ ∈ [ a , b ] I-I \frac{1}{24}(b-a)^3f(\xi) \,\,,\,\, \xi\in[a,b] I−I′241(b−a)3f′′(ξ),ξ∈[a,b] 代数精度为 1 {1} 1
2.2 梯形公式 I ∫ a b f ( x ) d x ≈ 1 2 ( b − a ) [ f ( a ) f ( b ) ] I ′ I\int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \frac{1}{2} (b-a) [f(a)f(b)]I I∫abf(x)dx≈21(b−a)[f(a)f(b)]I′ 误差 I − I ′ − 1 12 ( b − a ) 3 f ′ ′ ( ξ ) , ξ ∈ [ a , b ] I-I- \frac{1}{12}(b-a)^3f(\xi) \,\,,\,\, \xi\in[a,b] I−I′−121(b−a)3f′′(ξ),ξ∈[a,b] 代数精度为 1 {1} 1
2.3 抛物型公式/Simpson公式 I ∫ a b f ( x ) d x ≈ 1 6 ( b − a ) [ f ( a ) 4 f ( a b 2 ) f ( b ) ] I ′ I\int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \frac{1}{6} (b-a) [f(a)4f(\frac{ab}{2})f(b)]I I∫abf(x)dx≈61(b−a)[f(a)4f(2ab)f(b)]I′ 误差 I − I ′ − ( b − a ) 5 2880 f ( 4 ) ( ξ ) , ξ ∈ [ a , b ] I-I- \frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi) \,\,,\,\, \xi\in[a,b] I−I′−2880(b−a)5f(4)(ξ),ξ∈[a,b] 代数精度为 3 {3} 3
2.4 复合中点公式 I ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i 0 n − 1 h f ( x i 1 2 ) I ′ I\int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \sum_{i0}^{ n-1} hf(x_{i \frac{1}{2}}) I I∫abf(x)dx≈i0∑n−1hf(xi21)I′ matlab实现
%% 复合中点公式
% 输入函数积分下界积分上界区间数
% 输出积分值
function I fmid(f, a, b, n)h (b-a)/n; x linspace(ah/2, b-h/2, n); % n个区间n1个边界点n个中点;I h*sum(feval(f, x));
end2.5 复合梯形公式 I ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i 0 n − 1 h 2 [ f ( x i ) f ( x i 1 ) ] I ′ I\int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \sum_{i0}^{ n-1} \frac{h}{2}[f(x_i)f(x_{i1})] I I∫abf(x)dx≈i0∑n−12h[f(xi)f(xi1)]I′ 误差估计 ∣ I − I n ′ ∣ ≤ ( b − a ) 3 12 n 2 M 2 , 记 M 2 max a ≤ x ≤ b ∣ f ′ ′ ( x ) ∣ |I-I_n|\le \frac{(b-a)^3}{12n^2}M_2 \,\,,\,\, 记M_2\max_{a\le x\le b}|f(x)| ∣I−In′∣≤12n2(b−a)3M2,记M2a≤x≤bmax∣f′′(x)∣ matlab实现
%% 梯形积分公式
% 输入函数积分下界积分上界划分区间数
% 输出积分值
function I ftrapz(f, a, b, n)h (b-a)/n;x linspace(a, b, n1);y f(x);I h*(0.5*y(1) sum(y(2:n)) 0.5*y(n1));
end2.6 复合Simpson公式 I ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i 0 n − 1 h 6 [ f ( x i ) 4 f ( x i 1 2 ) f ( x i 1 ) ] I ′ I\int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \sum_{i0}^{ n-1} \frac{h}{6}[f(x_i) 4f(x_{i \frac{1}{2}}) f(x_{i1})] I I∫abf(x)dx≈i0∑n−16h[f(xi)4f(xi21)f(xi1)]I′ 误差估计 ∣ I − I n ′ ∣ ≤ ( b − a ) 5 2880 n 4 M 4 , 记 M 4 max a ≤ x ≤ b ∣ f ( 4 ) ( x ) ∣ |I-I_n|\le \frac{(b-a)^5}{2880n^4}M_4 \,\,,\,\, 记M_4\max_{a\le x\le b}|f^{(4)}(x)| ∣I−In′∣≤2880n4(b−a)5M4,记M4a≤x≤bmax∣f(4)(x)∣ matlab实现
%% 复合Simpson积分公式
% 输入函数积分下界积分上界划分区间数
% 输出积分值
function I fsimpson(f, a, b, n)h (b-a)/n;x_m linspace(ah/2, b-h/2, n); % 中点x_b linspace(a,b,n1); % 边界点I h/6*(f(a)4*sum(f(x_m))2*sum(f(x_b(2:n)))f(b));
end[!example]- 已知 f ( x ) ln x {f(x)\ln x} f(x)lnx 的部分点处的函数值如下表 x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.6931 1.0986 1.3863 1.6094 \begin{array}{cccccc} x 1 2 345 \\ \ln x 0 0.6931 1.0986 1.38631.6094 \end{array} xlnx1020.693131.098641.386351.6094 分别用复化梯形公式和复化Simpson公式求 ∫ 1 5 ln x d x \int_{ 1 }^{5} \ln x \mathrm dx ∫15lnxdx的近似值并估计误差。 解 复化梯形在区间 [ 1 , 5 ] {[1,5]} [1,5] 上取 x 0 1 , x 1 2 , x 2 3 , x 3 4 , x 4 5 x_01,x_12,x_23,x_34,x_45 x01,x12,x23,x34,x45 步长 h 1 {h1} h1 。 ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 2 [ f ( a ) 2 ∑ k 1 n − 1 f ( x k ) f ( b ) ] T 4 1 2 ( ln 1 2 ln 2 2 ln 3 2 ln 4 ln 5 ) 3.9827 \begin{align*} \int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \frac{h}{2}[f(a)2 \sum_{k1}^{ n-1}f(x_k)f(b) ] \\ \\ T_4 \frac{1}{2}(\ln12\ln22\ln32\ln4\ln5) \\ \\ 3.9827 \end{align*} ∫abf(x)dx≈T42h[f(a)2k1∑n−1f(xk)f(b)]21(ln12ln22ln32ln4ln5)3.9827 ∣ I − T 4 ∣ ≤ ( b − a ) 3 12 n 2 M 2 , M 2 max 1 ≤ x ≤ 5 ∣ ln ′ ′ x ∣ max 1 ≤ x ≤ 5 ∣ − 1 x 2 ∣ 1 |I-T_4|\le \frac{(b-a)^3}{12n^2}M_2 \,\,,\,\, M_2\max_{1\le x\le 5}|\lnx|\max_{1\le x\le 5}|- \frac{1}{x^2} |1 ∣I−T4∣≤12n2(b−a)3M2,M21≤x≤5max∣ln′′x∣1≤x≤5max∣−x21∣1 ∴ ∣ I − T 4 ∣ ≤ ( 5 − 1 ) 3 12 × 4 2 × 1 0.3333 \therefore |I-T_4|\le \frac{(5-1)^3}{12 \times 4^2} \times 10.3333 ∴∣I−T4∣≤12×42(5−1)3×10.3333 复化辛普森在区间 [ 1 , 5 ] {[1,5]} [1,5] 上取 x 0 1 , x 1 − 1 / 2 2 , x 1 3 , x 2 − 1 / 2 4 , x 2 5 x_01,x_{1-1/2}2,x_13,x_{2-1/2}4,x_25 x01,x1−1/22,x13,x2−1/24,x25 步长 h 2 {h2} h2 。 ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 6 [ f ( a ) 4 ∑ k 1 n f ( x k − 1 / 2 ) 2 ∑ k 1 n − 1 f ( x k ) f ( b ) ] S 2 2 6 ( ln 1 4 ln 2 2 ln 3 4 ln 4 ln 5 ) 4.0414 \begin{align*} \int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \frac{h}{6}[f(a)4 \sum_{k1}^{ n}f(x_{k-1/2})2 \sum_{k1}^{ n-1}f(x_k)f(b)]\\ \\ S_2 \frac{2}{6}(\ln14\ln22\ln34\ln4\ln5) \\ \\ 4.0414 \end{align*} ∫abf(x)dx≈S26h[f(a)4k1∑nf(xk−1/2)2k1∑n−1f(xk)f(b)]62(ln14ln22ln34ln4ln5)4.0414 ∣ I − S 2 ∣ ≤ ( b − a ) 5 2880 n 4 M 4 |I-S_2|\le \frac{(b-a)^5}{2880n^4}M_4 ∣I−S2∣≤2880n4(b−a)5M4 M 4 max a ≤ x ≤ b ∣ f ( 4 ) ( x ) ∣ max 1 ≤ x ≤ 5 ∣ ln ( 4 ) x ∣ max 1 ≤ x ≤ 5 ∣ − 6 x 4 ∣ 6 M_4\max_{a\le x\le b}|f^{(4)}(x)|\max_{1\le x\le 5}|\ln^{(4)}x|\max_{1\le x\le 5}|- \frac{6}{x^4}|6 M4a≤x≤bmax∣f(4)(x)∣1≤x≤5max∣ln(4)x∣1≤x≤5max∣−x46∣6 ∴ ∣ I − S 2 ∣ ≤ ( 5 − 1 ) 5 2880 × 2 4 × 6 0.1333 \therefore |I-S_2|\le \frac{(5-1)^5}{2880 \times 2^4} \times 60.1333 ∴∣I−S2∣≤2880×24(5−1)5×60.1333
