时间轴网站代码,网站页面优化方法有哪些内容,wordpress新文章数据库,展示型网站建设的建议Chapt 3. 螺旋运动与旋量代数
3.1 螺旋运动
螺旋运动是关于一条空间直线的一个旋转运动#xff0c;并伴随沿此直线的一个平移。是一种刚体绕空间轴 s s s旋转 θ \theta θ角#xff0c;再沿该轴平移距离 d d d的复合运动#xff0c;类似螺母沿螺纹做进给运动的情形。
一…Chapt 3. 螺旋运动与旋量代数
3.1 螺旋运动
螺旋运动是关于一条空间直线的一个旋转运动并伴随沿此直线的一个平移。是一种刚体绕空间轴 s s s旋转 θ \theta θ角再沿该轴平移距离 d d d的复合运动类似螺母沿螺纹做进给运动的情形。
一些定义
当 θ ≠ 0 \theta\neq0 θ0 时将移动量与转动量的比值 h d θ h\frac{d}{\theta} hθd 定义为螺旋的节距或螺距。因此旋转 θ \theta θ 角后的纯移动量为 h θ h\theta hθ。
当 h 0 h0 h0 时为纯转动当 h ∞ ( θ 0 ) h\infin (\theta0) h∞(θ0) 时为纯移动。
定义3.1 螺旋运动的三要素是轴线 s s s、螺距 h h h和转角 ρ \rho ρ。螺旋运动表示绕轴 s s s旋转 ρ θ \rho\theta ρθ再沿该轴平移距离 h θ h\theta hθ的合成运动。如果 h ∞ h\infin h∞那么相应的螺旋运动即为沿轴 s s s移动距离 ρ \rho ρ的移动记作 S ( s , h , ρ ) S(s,h,\rho) S(s,h,ρ). p ( θ , h ) r R ( θ , s ) ( p − r ) h θ s , s ≠ 0 p(\theta,h)rR(\theta,s)(p-r)h\theta s ,s\neq 0 p(θ,h)rR(θ,s)(p−r)hθs,s0 其中 R ( θ , s ) ∈ S O ( 3 ) R(\theta,s)\in SO(3) R(θ,s)∈SO(3)是关于空间某一条直线 s s s的刚体旋转运动。 表示成齐次坐标的形式为 g ( p 1 ) [ R ( I − R ) r h θ s 0 1 ] ( p 1 ) g\begin{pmatrix} p\\ 1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} R (I-R)rh\theta s \\ 0 1 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} p\\ 1 \end{pmatrix} g(p1)[R0(I−R)rhθs1](p1) 由此可得刚体螺旋运动的描述为 [ R ( I − R ) r h θ s 0 1 ] , s ≠ 0 \begin{bmatrix} R (I-R)rh\theta s \\ 0 1 \end{bmatrix},s\neq0 [R0(I−R)rhθs1],s0 Chasles-Mozzi定理(1830)任意刚体运动都可以通过螺旋运动即通过绕某轴的转动与沿该轴移动的负荷运动实现。即刚体运动与螺旋运动等价螺旋运动是刚体运动刚体运动也是螺旋运动。螺旋运动的无限小量为运动旋量。
Chasles理论推广对于任意的刚体运动总能将其表达为螺旋运动满足如下关系式 [ R P 0 1 ] [ R ( θ , s ) h θ s ( I 3 − R ) r 0 1 ] \begin{bmatrix} R P\\ 0 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R(\theta,s) h \theta s(I_3-R)r \\ 0 1 \end{bmatrix} [R0P1][R(θ,s)0hθs(I3−R)r1] 更进一步对于转动情况定义矩阵指数与矩阵对数 e x p : [ S ] θ ∈ s e ( 3 ) → T ∈ S E ( 3 ) . exp: [S]\theta\in se(3) \rightarrow T\in SE(3). exp:[S]θ∈se(3)→T∈SE(3). l o g : T ∈ S E ( 3 ) → [ S ] θ ∈ s e ( 3 ) . log: T\in SE(3) \rightarrow [S]\theta\in se(3). log:T∈SE(3)→[S]θ∈se(3).
由Euler-Rodrigues formula 得如下命题
令 S ( ω , v ) S(\omega,v) S(ω,v)为螺旋轴若 ∣ ∣ ω ∣ ∣ 1 ||\omega||1 ∣∣ω∣∣1则对于任意沿螺旋轴的距离 θ ∈ R \theta \in R θ∈R都有 s [ S ] θ [ e [ ω ] θ ( I θ ( 1 − c o s θ ) [ ω ] ( θ − s i n θ ) [ ω ] 2 ) v 0 1 ] s^{[S]\theta}\begin{bmatrix} e^{[\omega]\theta} (I\theta(1-cos\theta)[\omega](\theta-sin\theta)[\omega]^2)v \\ 0 1 \end{bmatrix} s[S]θ[e[ω]θ0(Iθ(1−cosθ)[ω](θ−sinθ)[ω]2)v1]
Reference
[1] Lynch, K. M., Park, F. C. (2017). Modern robotics. Cambridge University Press.
[2] Dai, J. S. (2014). Geometrical foundations and screw algebra for mechanisms and robotics. Higher Education Press, also Screw Algebra and Kinematic Approaches for Mechanisms and Robotics.
[3] Ding, X. L. (2021). Modern Mathematical Theory Foundation of Robotics. Beijing: Science Press.
[4] Gao, X. et al. (2017). Visual SLAM fourteen lessons: From theory to practice. Electronic Industry Press.
